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初中数学获奖论文浅谈反证法在中学数学中的应用

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发表于 2014-3-26 20:51:13 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
初中数学获奖论文浅谈反证法在中学数学中的应用
摘  要
反证法是教学中非常重要的一种方法,当我们解决数学问题时正向思维就是,一般总是采用从正面入手的常规思维途径进行思考。可如果用这种思维方式对于特定的数学问题形成了一种较为强烈的意识,就转变成思维定势。然而有些问题需要克服思维定势的消极面,从辩证思维的观点出发,并且要从已有的习惯思路的反方向去思考分析问题这样能更容易,所以就要运用反证法解决问题。
关于反证法的应用的文章在近几年层次不穷,但是我发现其中较多的文章是在阐述反证法在高等数学中的应用,反而忽略反证法入门知识在中学数学中的应用,从而使得许多学生只能观其形却不能明其意,致使一些初学反证法的学生只会反证法却不知如何去应用。在此,本文就反证法的定义、逻辑原理、证明模式、以及解题的方法来说明反证法在中学数学中的应用,使大家对反证法入门有了更深刻地了解。
关键词:推理,反证法,证明,矛盾,逻辑原理,假设。
1. 引  言
有个很著名的“道旁苦李”的故事:从前有个名叫王戎的小孩,一天,他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘,尝了之后才知是苦的,独有王戎没动,王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法,从反面论述了李子为什么不甜,不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
反证法不但在初等数学中有着广泛的应用,而且在高等数学中也具有特殊作用。数学中的一些重要结论,从最基本的性质、定理,到某些难度较大的世界名题,往往是用反证法证明的。
2.反证法的实质
反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。  
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。  
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。  
3.反证法的逻辑依据、种类及模式
3.1  逻辑依据
反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。所谓“矛盾律”是说:在同一论证过程中两个互相反对或互相否定的论断,其中至少有一个是假的。而所谓“排中律”则是说:任何一个判断或者为真或者为假,二者必居其一。也就是说结论“p真”与“非p真”中有且只有一个是正确的。
关于反证法,法国数学家阿达玛曾说过:“这种方法在于表明:若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾。”这段话可以理解为:假设命题的结论不正确,并运用此判断,在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾,(根据矛盾律)知该相反判断的错误性,(再根据排中律)进而知判断本身的正确性。这就是反证法的逻辑依据。由此可见,证明原命题的逆否命题只是反证法的一种具体形式。
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 楼主| 发表于 2014-3-26 20:51:17 | 只看该作者

3.2  种类
运用反证法的关键在于归谬,因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同,分为简单归谬法和穷举归谬法。
3.3  模式
设待证的命题为“若A则B”,其中A是题设,B是结论,A、B本身也都是数学判断,那么用反证法证明命题一般有三个步骤:
(1)        反设:作出与求证结论相反的假设;
(2)        归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;
(3)        结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。
4.反证法的适用范围
反证法”虽然是在平面几何教材中出现的,但对数学的其它各部分内容,如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么,究竟什么样的命题可以用反证法来证呢?当然没有绝对的标准,但证题的实践告诉我们:下面几种命题一般用反证法来证比较方便。
4.1否定性命题
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题,直接证法一般不易入手,而反证法有希望成功。
例  求证:在一个三角形中,不能有两个角是钝角。已知:∠A,∠B,∠C是三角形ABC的三个内角。求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个钝角。
证明:假如∠A,∠B,∠C中有两个钝角,不妨设∠A>900,且∠B>900,则∠A+∠B+∠C>1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。 故 ∠A,∠B均大于900不成立。所以,一个三角形不可能有两个钝角。
4.2限定式命题
即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。
例  在半径为 的圆中,有半径等于1的九个圆,证明:至少有两个小圆的公共部分的面积不小于 。
证明:每个小圆的公共部分的面积都小于 ,而九个小圆共有 个公共部分,九个小圆的公共部分面积要小于 ,又大圆面积为 ,则九个小圆应占面积要大于 ,这是不可能的,故至少有两个小圆的公共部分面积不少于 。
例  已知方程 , , 中至少有一个方程有实数值,求实数 的取值范围。
分析:此题直接分情况用判别式求角就特别麻烦,可用反证法,假设三个方程都无实数根,然后求满足条件 的集合的补集即可。
证明:假设三个方程都无实根,则有:
   解得   
∴所求 的范围为 .
4.3无穷性命题
即涉及各种“无限”结论的命题。
例  求证: 是无理数。
分析:由于题目给我们可供便用的条件实在太少,以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的,“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设 是有理数时,就增加了一个具体而有效的“条件”,使得能方便地将 表示为一个分数。
证明:假设 是有理数,则存在 互质,使 ,从而, 为偶数,记为 ,∴ ,∴ ,则 也是偶数。由 , 均为偶数与 、 互质矛盾,故 是无理数。
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 楼主| 发表于 2014-3-26 20:51:21 | 只看该作者

4.4逆命题
某些命题的逆命题,用反证法证明时可利用原命题的结论,从而带来方便。
例  正命题:若四边形有一个内切圆,则对边之和必相等。
逆命题:若四边形对边之和相等,则它必有一个内切圆。
逆命题的证明:如图,若AB+CD=AD+BC……(1),设四边形ABCD不能有一个内切圆,则可作⊙O与其三边AD、DC、AB相切,而BC与⊙O相离或相交,过C作⊙O的切线交AB或延长线于点E,由正命题知:AE+CD=AD+CE……(2).当BC与⊙O相离时,(1)-(2)得AB-AE=BC-CE BC=CE+BE,这与三角形两边之和大于第三边相矛盾;当BC与⊙O相交时,(2)-(1)得AE-AB=CE-BC BC=CE+BE,同样推出矛盾,则BC与⊙O不能相交或离,BC与⊙O必相切,故四边形必有一个内切圆。
4.5某些存在性命题
例 设x,y∈(0,1),求证:对于a, b∈R ,必存在满足条件的x, y,使|xy - ax - by|≥ 成立.
证明:假设对于一切x , y∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| < 恒成立,令x = 0 , y = 1 ,则|b|< 令x = 1 , y = 0 , 得| a| < 令x = y = 1 ,得| 1 - a - b| < 但| 1 - a - b| ≥1 - | a| - | b| > 1 - - = 产生矛盾,故欲证结论正确。
4.6全称肯定性命题
即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的,这类肯定性命题可以用反证法试试。
例  求证:无论 是什么自然数, 总是既约份数。
证明:假设 不是既约分数,令 (1), (2)( ),且 为既约,由(2)×3-(1)×2得 ,因 为整数, 为分数,则 不成立,故假设不成立,分数 是既约的。
4.7一些不等量命题的证明
如:不等式,反证法是证明它的一种重要方法,但当结论反面有无穷多种情况时,一般不宜用反证法。
例  在△ABC中,∠C>∠B,求证:AB>AC.
分析:此题看似简单,不用反证法,用平面几何的知识也能解决,也可以用反证法加以证明。
证明:假设AB不大于AC,即AB≤AC,下面就AB<AC或AB=AC两种情况加以证明,若说明这两种情况都不成立,则假设错误,即原命题成立.
(1)        若AB=AC,则△ABC为等腰三角形,∴∠B=∠C,与已知∠C>∠B矛盾.
(2)        若AB<AC,在AB延长线上取一点D,使得AD=AC,连接DC. ∵AD=AC ∴△ADC为等腰三角形 ∴∠ADC=∠ACD,又∵∠ABC为△ABD的一个外角    ∴∠ABC>∠BDC=∠ACD 而∠ACD>∠ACB=∠C ∴∠ABC>∠C 即∠B>∠C,与已知矛盾. ∴假设不成立,原命题成立.
4.8基本命题
即学科中的起始性命题,此类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少,或由题设条件所能推出的结论很少,因而直接证明入手较难,此时应用反证法容易奏效。如:平面几何在按照公理化方法建立起它的科学体系时,最初只是提出少量的定义、公理。因此,起始阶段的一些性质和定理很难直接推证,它们多数宜用反证法来证明。
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 楼主| 发表于 2014-3-26 20:51:26 | 只看该作者

例  已知:如图 AB⊥EF于M。CD⊥EF 于N。求证:AB∥CD
证明:假设AB,CD不平行,即AB,CD交于点P ,则过P点有AB⊥EF ,且CD⊥EF,与“过直线外一点,有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾 。∴假设错误,则AB∥CD。
例  求证:两条相交直线只有一个交点。已知:如图,直线a、b相交于点P,求证:a、b只有一个交点。
证明:假定a,b相交不只有一个交点P,那么a, b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线,直线b也是由P、Q两点确定的直线,即由P、Q两点确定了两条直线a, b。与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾,则a, b不可能有两个交点,于是两条相交直线只有一个交点。
4.9整除性问题
例  设a、b都是整数,a2+b2 能被3整除,求证:a和b都能被3整除.
证明:假设a、b不都能被3整除,分三种情况讨论:(1)a、b都不能被3整除,因a不能被3整除,故a2不能被3整除,同理,b2不能被3整除,所以
a2+b2也不能被3整除,矛盾.(2)a能被3整除,b不能被3整除,可得a2能被3整除,b2不能被3整除,故a2+b2也不能被3整除,矛盾.同理可证第三种情况.由(1)(2)(3)得,原命题成立.
5.运用反证法应注意的问题
5.1必须正确否定结论
正确否定结论是运用反证法的首要问题。
如:命题“一个三角形中,至多有一个内角是直角”。“至多有一个”指:“只有一个”或“没有一个”,其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”,即“至少有两个是直角”。
5.2必须明确推理特点
否定结论导出矛盾是反证法的任务,但何时出现矛盾,出现什么样的矛盾是不能预测的,也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的. 一般总是在命题的相关领域里考虑( 例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等),这正是反证法推理的特点。因此,在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾。只需正确否定结论,严格遵守推理规则,进行步步有据的推理,矛盾一经出现,证明即告结束。
5.3了解矛盾种类
反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的,推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾,可能与已知真命题(定义或公理、或定理、或性质)相矛盾,可能与临时假设矛盾,或推出一对相互矛盾的结果等。
反证法是数学中一种重要的证明方法,在许多方面都有着不可替代的作用. 它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。反证法不仅可以单独使用,也可以与其他方法结合使用,并且可以在论证一道命题中多次使用,只要我们正确熟练运用,就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨,提高数学解题能力。
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