初中数学获奖论文浅谈反证法在中学数学中的应用
摘 要
反证法是教学中非常重要的一种方法,当我们解决数学问题时正向思维就是,一般总是采用从正面入手的常规思维途径进行思考。可如果用这种思维方式对于特定的数学问题形成了一种较为强烈的意识,就转变成思维定势。然而有些问题需要克服思维定势的消极面,从辩证思维的观点出发,并且要从已有的习惯思路的反方向去思考分析问题这样能更容易,所以就要运用反证法解决问题。
关于反证法的应用的文章在近几年层次不穷,但是我发现其中较多的文章是在阐述反证法在高等数学中的应用,反而忽略反证法入门知识在中学数学中的应用,从而使得许多学生只能观其形却不能明其意,致使一些初学反证法的学生只会反证法却不知如何去应用。在此,本文就反证法的定义、逻辑原理、证明模式、以及解题的方法来说明反证法在中学数学中的应用,使大家对反证法入门有了更深刻地了解。
关键词:推理,反证法,证明,矛盾,逻辑原理,假设。
1. 引 言
有个很著名的“道旁苦李”的故事:从前有个名叫王戎的小孩,一天,他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘,尝了之后才知是苦的,独有王戎没动,王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法,从反面论述了李子为什么不甜,不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。
反证法不但在初等数学中有着广泛的应用,而且在高等数学中也具有特殊作用。数学中的一些重要结论,从最基本的性质、定理,到某些难度较大的世界名题,往往是用反证法证明的。
2.反证法的实质
反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
3.反证法的逻辑依据、种类及模式
3.1 逻辑依据
反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。所谓“矛盾律”是说:在同一论证过程中两个互相反对或互相否定的论断,其中至少有一个是假的。而所谓“排中律”则是说:任何一个判断或者为真或者为假,二者必居其一。也就是说结论“p真”与“非p真”中有且只有一个是正确的。
关于反证法,法国数学家阿达玛曾说过:“这种方法在于表明:若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾。”这段话可以理解为:假设命题的结论不正确,并运用此判断,在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾,(根据矛盾律)知该相反判断的错误性,(再根据排中律)进而知判断本身的正确性。这就是反证法的逻辑依据。由此可见,证明原命题的逆否命题只是反证法的一种具体形式。 |