2013年湖南省张家界市中考数学试卷参考答案与试题解析

中学生作文

（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，
将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a= ．
∴y= （x﹣2）2+3= x2+2x+1．

（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，
∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，
∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，
∴点E的坐标为（4，1）．
如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），
∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．
又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，
∴△CEQ∽△CDO．

（4）存在．
如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．
（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．
由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；
而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，
由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，
即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）
如答图③所示，连接C′E，
∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，
∴△QC′E为等腰直角三角形，
∴△CEC′为等腰直角三角形，
∴点C′的坐标为（4，5）；
∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（﹣1，0）．
过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″= = = ．
综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为 ．点评：        本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．本题难点在于第（4）问，如何充分利用轴对称的性质确定△PCF周长最小时的几何图形，是解答本题的关键．