中学数学优秀教学论文图形计算器在高一函数教学中的几个应用

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中学数学优秀教学论文图形计算器在高一函数教学中的几个应用
摘要：函数是高中数学教学的重要内容。应用图形计算器的函数功能和绘图功能，可以大大的简化问题，使学生在应用中加深对函数概念的理解，逐步体会数形结合的重要思想，激发学生学习数学的兴趣。利用图形计算器建立数学模型的一般步骤：首先，运用图形计算器做出散点图；其次，猜测函数模型，求出函数解析式；最后，做出函数图像，对拟合程度进行分析比较，也可运用相应数值进行检验分析。
关键字：图形计算器；函数教学；函数模型；数学应用
引言：
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程注重信息技术与数学课程的有机整合，利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现，这样有利于学生认识数学的本质，激发学习数学的热情，提高数学素养。使现代信息技术成为学生学习的有效手段和工具，成为获取信息资源和开展学习交流的广阔平台。
在认识并发挥现代信息技术对数学课程改革的积极作用的同时，高中数学课程随着图形计算器、计算机等辅助工具的进入逐步搭建了基于信息技术的数学活动平台，学生借助计算器和简单的数学应用软件在数值计算和图像、图形等问题的探索研究中经历了通过数字化数学活动观察数学现象、探究数学问题的过程，体验应用现代信息技术解决数学问题的可能性和优越性，认识它与传统数学方法不同的特点。
“图形计算器（Graphing Calculator，GC），是一种手持的数学工具，更具体的说是一种专门用于数学学习与教学（中学与大学）的手持技术。”
王长沛.图形计算器,不可替代的“数学工具”?[J].中小学信息技术教育,2007(3).图形计算器具有如：“便携，实时，准确，综合，直观”
吴绍兵,于明.关于课堂教学图形计算器使用恰当性的研究[J].数学教育学报,2009(2).等优点，它具有强大的数据处理功能、函数功能、图形功能、简单的编程功能和进行一些数理实验功能，可以用数字的、解析的和图形的等多种方式表示各种数学对象，具有很好的交互性。利用这些功能学生可以充分动手实践进行数学活动。
因此，信息技术与数学课程的整合可以基于图形计算器作为手持技术搭建教师和学生理想的数学活动平台。下面结合自身教学实践，谈一下图形计算器在高一数学函数教学中的一些应用。
函数是高中数学教学的重要内容，高中数学的绝大多数问题都与函数有紧密地联系。但是，因为函数部分的概念抽象，综合程度高，解题方法灵活多样，故其难点较多，学生学习起来也很吃力。应用图形计算器的函数功能和绘图功能，可以大大的简化问题，使学生在应用中加深对函数概念的理解，逐步体会数形结合的重要思想，激发学生学习数学的兴趣。
1 借助GC，研究初等函数的性质
基本初等函数是高一数学的重要内容，也是教学中的重难点。传统的教学主要是老师传授知识，学生学得慢，忘得快，而且学习兴趣不高。借助图形计算器让学生自主探究这些基本初等函数的图像和性质，学生学习兴趣高，学得快，而且记得牢。
例如：在指数函数的教学中，指数函数的底数与函数图象的关系，既是教学的重点，又是难点。多数情况下，老师会直接给出函数的图像，然后通过图像告诉学生指数函数的一些性质。这样教学虽然教师讲起来会比较省力，但是学生接受起来会比较困难，更重要的一点是，学生忘得快。俗话说：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，如果能将探索指数函数性质的任务交给学生，让学生利用图形计算器来探究指数函数的底数与函数图象的关系，教师做适当的引导。这样处理，一方面减轻了教师的负担，另一方面也能取得较为理想的效果，可谓一举两得。
案例一：指数函数的图象和性质教学案例节选
问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
教学方法：利用图形计算器，分组探究，合作学习。
研究方法：全班分成若干小组，小组成员借助图形计算器，画出函数的图象，结合图象研究指数函数的性质。
研究内容：指数函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性。
探索研究：

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教师设疑：
1．请你利用图形计算器，作出下列函数的图象：
（1），，，观察这三个函数图像与底数之间有什么关系？
小组探究：
，，的图像分别如下：
   
   
   
        总结归纳：当底数>1时，底数越大，图像在第一象限上升越快。
（2），，，观察这三个函数图象与底数之间有什么关系？
小组探究：
，，的图像分别如下：
   

   

   
        总结归纳：当0<底数<1时，底数越小，图像在第二象限下降越快。
        教师设疑：
2．请在同一直角坐标系中作出下列函数的图像：
（1）和；从图象中你能发现二者的图象有什么关系？
小组探究：
   
问题回答：二者图像关于y轴对称。

（2）和；从图象中你能发现二者的图象有什么关系？
小组探究：
   
问题回答：二者图像关于y轴对称。
（3）和；从图象中你能发现二者的图象有什么关系？
小组探究：
   
问题回答：二者图像关于y轴对称。
归纳总结：底数互为倒数的两个指数函数，其图像关于y轴对称。

3．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？

图象特征
函数性质




向x、y轴正负方向         
函数的定义域为      
图象关于原点和y轴是否对称      
函数的奇偶性         
函数图象都在x轴      方（填“上”或者“下”）
函数的值域为         
函数图象都过定点         
   
自左向右看，
图象     （填“上升”或者“下降”）
自左向右看，
图象     （填“上升”或者“下降”）
在定义域上是
   函数（填“增”或“减”）
在定义域上是
   函数（填“增”或“减”）
在第一象限内的图象纵坐标都  1（填“>”or“<”）
在第一象限内的图象纵坐标都  1（填“>”or“<”）
When   1
（填“>”or“<”）
When   1
（填“>”or“<”）
在第二象限内的图象纵坐标都  1（填“>”or“<”）
在第二象限内的图象纵坐标都  1（填“>”or“<”）
When   1
（填“>”or“<”）
When   1
（填“>”or“<”）
   
        通过学生自己动手，在教师的引导下主动探究，归纳总结出指数函数的性质，一方面激发了学生学习数学的兴趣，活跃了课堂气氛，同时培养了学生自己研究问题的意识和能力，另外，还取得了较传统教学好的教学效果，可谓一举多得。

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2 借助GC，研究未知函数图像和性质
        在学习函数的性质时，对于未知的函数，学生往往无从下手。此时，如果我们能够借助图形计算器，让学生自己动手画出图像，总结性质，无疑将会有利于培养学生的自主探究意识和数学能力。尤其是在研究复合函数时，学生往往不明白为什么需要判断“内、外”层函数的单调性，在处理这一问题时，教师往往也没用很好的办法，只能让学生先记住方法，通过死记硬背来做题。如果借助图形计算器，让学生能够首先直观的得到复合函数的图像，再来研究和理解“同增异减”，就容易多了。
        案例二：复合函数单调性的研究
        请你利用图形计算器，研究函数的单调性，以及的单调性与，单调性的关系？
        可以让学生分别作出函数，和的图像，然后通过观察和教师的引导，得出复合函数单调性的判断方法“同增异减”。
内层函数的图像：
        
单调区间：单调减区间；单调增区间。
外层函数的图像：
        
单调区间：在整个定义域上为增函数。
复合函数的图像：
        
单调区间：单调减区间；单调增区间。
总结：在区间上单调递减，单调递增，二者单调性相异，所以复合函数在上单调递减；在区间上单调递增，也单调递增，二者单调性相同，所以复合函数在上单调递增。
接下来，我再以高中阶段一个重要的函数——“对勾函数”为例，简单介绍一下GC在研究未知函数图像和性质中的应用。
案例三：研究函数的图象及性质
在函数的教学中，遇到函数的时候，老师会直接给出它的图像和关键点，并让学生牢记，以便运用。学生可利用图形计算器作出它的图像，总结出它的性质，和以前老师讲解的进行验证比对。
①利用图形计算器作出函数的图象

②画出函数图象后，利用坐标跟踪功能可度量出函数图象在第一象限和第三象限的最低点的横坐标是1和－1，
   
③归纳性质：函数的单调递增区间是( －∞ ,－1)和( 1 ,+∞)，单调递减区间是( －1 ,0) 和 ( 0 , 1) ，图象关于原点对称，是一个奇函数．
④拓展延伸：由此，我们又画出了的图象，发现了图象在第一象限和第三象限的最低点的横坐标分别是和－，
   
   
可知：图象在第一象限和第三象限的最低点的横坐标是和－，并且函数的单调递增区间是( －∞ ,－)和(,+∞)，单调递减区间是( － ,0) 和 ( 0 , ) ，图象关于原点对称，是奇函数．
小结：利用图形计算器研究未知函数的一般步骤：利用图形计算器的绘图功能，作出函数图像（可以先选择特殊的，如要研究的性质，可以先做出的图像）；根据函数图象，找到图像的最值点；利用最值点，将图像划分为几部分，分别判断函数在这几部分的单调性和奇偶性；将这些性质推广到一般形式。
学生可以通过更多的操作，感知和体会知识的发生过程及数学问题的本质，方便学生对规律的探究和结果的验证。这样的学习不仅仅使学生获取知识更具有实践性、主动性，同时也有助于学生形成一种良好的学习习惯和学习观念，让学生认识到：数学的学习不能只是被动的接受，而是需要自己主动地建构。

3 借助GC，建立数学模型，解决实际问题
在中学开展数学建模活动，可以激发学生的学习动机和兴趣；可以培养学生的直觉思维能力和发散思维能力。培养学生运用数学建模解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象为数学问题。因此必须首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，再把数学模型纳入某知识系统去处理。
学生借用图形计算器这一数学工具既培养了他们的数学思想，又提高了他们的信息素养。在使用图形计算器的过程中，他们能够方便、快捷地建立函数模型，从而培养他们利用数学解决生活实际问题的能力，使他们得到成功的喜悦，进一步建立学好数学的信心。
例如，在高一数学必修一第三章《函数的应用》部分，我们就可以利用图形计算器来让学生了解数学建模的一般方法和步骤，提高学生的数学应用能力。
案例四：利用图形计算器，建立数学模型，解决实际问题
在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：
年龄

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根据以上数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？
  首先，运用图形计算器做出散点图：
   

其次， 可以运用必修一中函数应用的相关知识，求解相应的函数表达式，但是基于图形计算器强大的操作功能，所以学生可以直接根据不同需要选择不同的函数类型进行猜想并拟合。
猜想可能的函数模型并求解相应的函数表达式：
（1）一次函数：（回归直线）
   
   
（2）二次函数：
   
   
（3）指数函数：
   
   
（4）对数函数：
   
   
（5）幂函数：
   
   
        第三，运用图形计算器既可以通过图形观察函数图像与散点图的拟合程度，又可以直接找到相应的函数表达式，简化了我们求解函数表达式的过程。但是问题也随之产生，有时候单纯从函数图像，我们并不能发现哪一个函数与实际数据的拟合程度更好。这时我们可以借助选修2-3《统计案例》中学到的拟合函数的函数值与实际数据的误差平方和来衡量不同拟合函数的优劣。平方和越小代表函数的拟合程度就越高。具体数据如下：
     
一次函数拟合误差             二次函数拟合误差
     
指数函数拟合误差                对数函数拟合误差

幂函数拟合误差
所以根据误差平方和数值的大小，我们可以判断出与这一实际数据相对应的对数函数的拟合程度最高。通过上述的建模的过程，学生不但解决了实际问题，同时对于初等函数的图像和性质有了更深的认识和了解。
通过以上这个例子的讲解，可以看出，借助图形计算器我们可以引导学生把不同模块的内容整合在一起，从不同的角度，不同的方面去思考解决问题的方法。指引学生去寻找解决问题的多种不同方法，让他们形成做数学，玩数学的学习习惯，这样才能更大限度的发挥出图形计算器强大的功能。
小结：利用图形计算器建立数学模型的一般步骤
首先，运用图形计算器做出散点图；
其次，猜测函数模型，求出函数解析式；
最后，做出函数图像，对拟合程度进行分析比较，也可运用相应数值进行检验分析。
4 结束语
作为高中阶段最重要的知识点之一，函数既是教学中的重难点，又是学生学习中容易出问题的地方。充分利用图形计算器，发挥手持技术的优势，结合高中数学函数教学，通过观察、猜想、动手操作、问题解决等一系列的学习过程,培养学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣，树立学习数学的自信心。