透视反例的价值

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美国数学家B.R.盖尔鲍姆和J.M.H.奥姆斯特德指出:“冒着过于简单化的风险，我们可以说数学由两大类(证明与反例)组成，而数学发现也是朝着两个主要的目标:提出证明与构造反例。”由此可见，证明虽然在数学学习中占据着重要的地位，但反例在数学学习中的重要性也不容忽视。

  一、 修正“直觉猜测”

  学生在数学学习中的创造性,往往离不开直觉思维，但由于直觉思维不够严密，所以依靠直觉得到的只是猜想。这时, 可以借助反例，帮助学生及时发现猜想中的谬误，修正猜测的结果。

  例如，教学二年级（上册）的“认识图形”，教师最后设计了这样一个练习：一个正方形有四个角，剪掉一个角，还剩几个角？问题一出示，学生马上凭直觉认为还剩三个角，教师并没有马上说出结论，而是让学生动手操作，自己去探明究竟。操作后，学生很快发现：把正方形剪去一个角后，还可能剩下四个角或五个角。这些反例有效地修正了学生的直觉猜测，帮助学生建立了正确的认识。

  二、 直抵“概念内核”

  如果仅要求学生从正面去认识、理解数学知识,容易使学生的思维处于惰性状态，认识肤浅而不能深入。适时穿插反例，就能促使学生进行深层次的思考。

  例如，面对研讨的问题，当学生指出第一、三、四个图形的涂色部分不是整个图形的1/4时，教师还应追问理由，让学生深刻体会到：只有在平均分的情况下，才会产生分数。对于第一和第三幅图，教师还可以引导学生想办法把它们平均分，然后再说一说涂色部分是整个图形的几分之几。通过正例和反例的有机沟通，帮助学生深刻理解概念，直抵概念内核。

  三、 克服“思维定势”

  学生在某一阶段的学习中,由于受过去认识的习惯性影响,对当前事物的感知容易产生思维定势。教师要根据学生的心理特点,抓住机会恰当地利用反例，帮助学生消除思维定势。

  例如，教学六年级（下册）“圆锥的体积计算”， 如果教师仅仅让学生准备等底等高的圆柱和圆锥来做实验的话，往往会让学生产生这样的思维定势：圆锥体积是圆柱体积的1/3。在教学时，教师可让学生准备几组底、高并不相等的圆柱和圆锥，通过实际操作中的观察、比较，强化圆锥是和它等底等高的圆柱体积的1/3。课堂上，教师如果能充分发挥反例的作用，就能有效地克服学生的思维定势。

  总之，一个正确认识往往要经过正反两方面的比较和鉴别才能确立。反例通过证伪，从反方向帮助人们理解概念，加深对概念的认识。