小学数学教师优秀论文 谈数形结合思想在低段数学教学中的应用

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文章 重视图形直观 提升数学“四能”

  ——数形结合思想在低段数学教学中的应用

湖师附小教育集团 庄晓彤 金品

[内容摘要]图形直观是凭借图形的直观特点，把复杂的数学问题变得简明、形象，它有助于提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。本文从运用图形直观的意义出发，探究低段教材与图形直观整合的方法及教学中实施图形直观的策略，旨在渗透数形结合的思想，从而提高数学“四能”。

[关键词]图形 意义 策略四能



图形直观是凭借图形的直观特点，将抽象的数学语言与直观的图形语言、抽象思维同形象思维有机结合，充分展现问题的本质，把复杂的数学问题变得简明、形象，它有助于提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，即数学“四能”。

小学低段教材中多次运用图形直观，以使学生思维的形象性与数学内容的抽象性达到完美、统一，提高数学“四能”。但由于低段学生认知水平、理解能力有限，在遇到问题时，若没有教师的提示，只有极少的人会将问题转化为图形来思考，这也表明了低段学生目前的图形意识较为薄弱。低段数学知识虽简单、浅显，但教师必须重视图形直观能力在日常教学中的有机渗透。将无形的数学思想方法贯穿于有形的图形直观之中，才能有利于学生数学能力的提升。

    笔者在二下第一单元教学时，遇到了这样的例题：面包师做了54个面包，第一小组买了22个，第二小组买了8个，还剩多少个？大部分小朋友的列式是：54-22-8=24，而少数人列出了：22+8=30，54-30=24。许多人对第二种方法难以快速理解。

无独有偶，这让我想起了二上的一道习题：飞机场停了18架飞机，飞走了7架，原来有多少架？当时学生都认为是18-7=11。显然，学生在做这两道题时，并不理解其中的数量关系，只看到了文字的表面，认为“买了”、“飞走”就应该用减法。

在数学中，我们经常会运用画图的方式来简化题目，分析其数量关系，寻找解决问题的途径；且二年级的学生已经积累了大量的图形经验。基于这样的思考，我设计了让学生通过画图表达题意的环节，同时一一展示学生作品。

     

从学生的作品中，我们清晰地看到他们对数学关系的直观表达。这些作品也让学生更好地理解了两种解题方法。

在低段的学习中，教材中多次运用图形直观帮助学生理解数量关系；另外，图形直观是以后学习中的一种重要解题策略。因此，本论文将深入探究人教版低段数学教材，以图形直观理解数量关系，通过外在的直观形式，走向内在的数学思考，彰显图形的思维价值，提升数学学习的有效性，形成数形结合的思想。

一、数学教学中运用图形直观的意义

（一）养成有序思维

周密严谨的思维可保证结论的正确性。有序思维的养成，有利于优化学生的思维品质，提高思维效率，加速问题的解决。教学中应鼓励学生借助图或表格来理清思路、排除干扰、掌握方法，经历从无序到有序的思考,让学生充分感悟到思考问题要有序、全面才能不重不漏。

例如：4人握手，每两个人握一次，一共要握多少次（搭配问题）？

二年级学生的思维极其活跃，他们会用语言表达搭配的方案，但往往会重复、说不全面。在教学中教师可以鼓励学生用画图的方式将想法表达出来（学生的作品如下）。从学生的作品中，我们可以清晰地看出，有些人是先确定第一个握手的人，而有些人是四人拉手握一次，再交叉握一次。



      
                           

    画图能清晰表达学生的思维过程，使学生的思考有序、全面，促进了有序思维的养成。

（二）形成数形思想

    数形思想，就是把数量关系与图形直观结合起来分析问题和解决问题。在低段教学过程中，教师可以引导学生借助简单的图形、符号和文字，沟通数与形之间的关系，在直观的图形中化解复杂的数量关系，从而促进学生数形思想的形成。

例如：同学们排队，从右边数起，丁一排在第9个，从左边数起，丁一排在第4个，一共有多少人？

学生的习惯算法是：9+4=13，只有少部分学生会想到丁一被算了2次。此时教师引导学生画图（如下），学生就会直观地感受到这样的算法是不对的。





                     丁一

数与形是数学知识的两个方面。在低段教学中适时的引导学生用直观图形表达数量关系，可让学生意识到图形的优势，从而形成数形结合的思想。     

（三）建立数学模型

   在低段，“十一类简单应用题”是学生经常碰到的，但有许多学生对这些问题不知所措，关键是没有建立好一定的数学模型。学生若能通过多方位、多层次思考，将典型数学问题转换为典型图形，将有利于学生弄清数学问题的含义，便于找到解题的策略。

    例如：乘法概念模型的建立

    几个几的“份总”的数量关系在小学阶段以不同的形式出现，但原型都是乘法的意义。比如5×3=15可以表示成一下两幅图，让学生理解一个乘法算式可以表示两种意义，在以后的解题中，无论碰到哪种情况，都能轻松自如地应对。



  

   











画图是学生喜欢的学习方式，这样的学习不仅有趣、灵活、扎实，更有利于数学模型的建立。

二、推敲教材，使教学内容与图形直观有效整合

数学知识和数学思想方法是小学数学教材体系的两条主线。但数学思想方法往往蕴藏在数学知识中。教师应深入钻研教材，仔细推敲教材各部分的编排意图，挖掘蕴含其中的思想方法，并从学生思维发展的角度出发，对教材进行整合和延伸，使教学内容与图形直观有效整合。

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笔者以人教版二下教材为例，与图形进行整合，将数形结合的思想渗透于平时的知识学习、习题练习中。

单元	教学内容	教学内容与图形的结合方式	意图
第一单元 解决问题	用带小括号的算式解决问题	面包师做了54个面包，第一小组买了22个，第二小组买了8个，还剩多少个？ 让学生用画图的方式表达题意。	运用直观化工具，将抽象、复杂的数学问题有效转化为直观、形象的图形，解题思路一目了然，不同层次的学生能获得属于自己理解的一种解题方法。
第二单元 表内除法（一）	平均分  除法的初步认识	每份2个，10个面包可以平均分成多少份？ 把10个面包平均分成2份，每份有多少个？	在计算教学中，教师合理、恰当地借用图形直观，清楚地揭示计算过程，可帮助学生结合图形理解和感悟计算方法。
第三单元 图形与变换	数角的个数 平移	数角的原型是二上排列组合中的握手问题。通过二上的画图研究，学生对数角已经较为熟练，并有部分同学可以通过前面学习的结论进行计算。 在平移的练习中，学生经常因为数格子出现错误，因此，在这节课中，可以通过让学生“找点，画路线图”的方式准确无误地进行平移。	图形直观能化抽象为具体，化繁杂为明简，变生疏为熟悉，变深奥为浅显。
第四单元 表内除法（二）	求一个数是另一个数的几倍	通过圈一圈的方法，认识到一个数是另一个数的几倍，就是，另一个数中有几个这样的“一份数”	图形直观能将抽象的概念形象化，使学生轻松习得概念，掌握知识。
第五单元 万以内数的认识	数的表示 数的大小	用画珠子的方法表示数，让学生体会到计数单位与数位顺序表。利用小方块，可以让学生体会到数的大小和数的组成。	在数的认识中运用图形直观，能发展学生的数感。
第七单元 万以内的加法和减法（一）	加减法 解决问题	万以内数的加减法的模型是一年级20以内数的加减法。我们可以结合一年级的模型来练习。比如脱离实物情境图，通过圆点图，更好的理解加法和减法的意义。并能根据圆点图进行编题。                                                      ?个             ?个                    7个	解决问题的关键是读懂题意，图形直观能降低解题难度，更准确、简单、全面得明确题意。
第九单元 找规律	寻找数形结合的规律	随着知识的加深，数形结合找规律题目也曾多，有时，单纯从数字上很难找到规律，我们可以通过画一画图的方式，可以达到事半功倍的效果。	图形直观能化抽象为具体，化繁杂为明简，变生疏为熟悉，变深奥为浅显。

    只有对图形直观有足够的重视，才能有利于教师从整体上把握数学教学，将数学的本质、知识的形成过程，解决的问题过程，思维的方式方法展现给学生，学生的数学能力才能得到提升。

三、数学教学中实施图形直观的策略

    在利用图形直观解题的过程中，学生要读题、找条件和问题，把文字转成图画，再把图画转成思维，即发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程。要发展学生的图形直观能力，关键在于提高学生的读图能力、画图能力和解题能力。

    （一）培养学生的读图能力

读图能力，即发现问题、提出问题的能力。读懂图意是有效解题的关键。在教学过程中该如何培养学生的读图能力，笔者认为应做到以下几点：

    1.早期渗透，丰富图形的储备

    在低段教学中，教师应把握教材中的图例，在不同的知识领域寻找切入点来渗透图形语言。如数的认识，比多比少，加减乘除运算等等，都是图形语言的渗透点。人教版低段数学教材中出现的图形语言主要有三类：实物类，操作类，线段类。

         

       （实物类）           （操作类）                  （线段类）

    2.相互转换，明确图形的意义

数学语言包括符号语言、图形语言和文字语言。加强数学语言的互译是培养学生读图能力的有效途经。在低年级的教学中，要特别重视学生用语言表达图意的过程，做到会画图，也会讲图，让静止的图形“动”起来。

例如：你能将下图编程一道文字题吗？

         现在有25架飞机

                                   

      

      原来？架    飞来了17架

操场上有一些人在做游戏，来了23人，现在有65人，操场上原来有多少人？你能用画图的方式表达图意吗？

    （二）培养学生的画图能力                       

1.示范引导，教给画图的技能

低段学生，虽然已经有图形语言的积累，但如何简洁、科学画图仍需要教师示范引导。教师应根据教学需要，从学生的认知角度出发，与观察、语言表达相结合，指导学生进行有目的的画图分析，促使学生画图方法的形成。

例如：长方形纸片，直直地减去一个角，还剩几个角？

对于二年级学生，看到这样的体会，就会马上想着动手操作，但是画图能更好地、有序地解决问题，此时就需要教师示范，再让学生动手画图。

师：长方形纸片，直直地减去一个角，我们可以在图中用一条虚线表示（图1），还有其他情况吗？你能表示出来吗？（学生作品：图2、图3）

          （图1）              （图2）                     （图3）

2.有效训练，强化画图的能力

     有代表性的、易被学生接受的练习，才能真正培养学生画图解题的能力。教学设计应遵循学生的认知水平，从图文结合，到只有图，再到需要借助画图解决的文字叙述练习，循序渐进，使知识形成正迁移，才能达到培养学生画图意识，进而达到提到画图解题能力的教学目标。

（1）一题多画

同样的题目，由于数学理解与符号抽象层次不同，可以训练不同水平的学生画出不同思维层次的作品。常见的图有：示意图，线段图，集合图，树图。

例如：“求一个数的几倍是多少”教学片段

扫地的有7人，擦桌子的人数是扫地的2倍，擦桌子的有多少人？

师：你能用画图的方法，把这道题的意思表达出来嘛？

学生尝试画后进行交流：

  

（图1 ）                                （图2）

  （ 图3 ）                                 

师：这是你们的作品，比较它们，有什么共同点？图2和图3有什么区别？

生：它们都表示出了2倍关系。图2是一条线段代表一个人，而图3用一条线段代表了7个人，能更直接看出擦桌子的人是扫地的2倍。

通过以上的画图，帮助学生抽象出“一份数”，更有利于学生建立倍的数量关系。并通过对比，使线段图的优势更为突出。

    （2）一画多题

同一幅图可以表征不同类型的问题，让学生感受解决这些不同类型问题的策略却始终如一，使学生更深刻地理解画图策略，进而形成“数形结合”、“变与不变”、“化归”等重要的数学思想。

例如：二上排列组合教学片断“4人握手，每两个人握一次，共要握多少次？”

    环节一：4人小组内操作演示

    环节二：将演示过程用简单的图或者文字表达出来。

环节三：作品展示：

        

            

有个学生会通过以上的图，发现规律：3+2+1=6

环节四：变式练习

                                   图中一共有多少条线段？

   图中一共有多少个角？

     小红每天早上要吃2中水果，现在家中有草莓、香蕉、苹果、橘子，有几种搭配方法？   

（三）提高学生的解题能力

    1.巧设环节，产生画图的需要

    从学生的认知需要出发，巧妙地设计教学环节，让学生感受到画图解题的作用，经历“我要画”的学习体验，才能变被动为主动。通过教学渗透，把图形变为学生运用自如的思维工具，从而提高学生的解题能力。

     在二下学习完除法的初步认识后，学生对“等分除”和“包含除”难以区分，在列算式时无法判断谁是除数，谁是商。经过思考，我选择了一道饱含除法两种情况的典型题目，并设计了如下环节：

环节一：读一读题目，请你列算式解决。

生1:第一题15÷5=3，第二题15÷5=3

生2：我觉得第二题不对，应该是15÷3=5（由于受第一题的影响，几乎有一半的学生第二题能填出答案，但列式是错误的。）

师：你能说说理由吗？

生2：第二题，每个长方体用3个木块，也就是每份3个，但不知道有几份，所以15÷3=5，第一题要摆5个一样的长方体，也就是把15平均分成5份，想知道一份有几个，可以画图解释

    通过学生自己的讲解，不仅让其他学生明白了算法，更让他们体会到了画图的重要性。

环节二：变式练习：

    2.开展评价，提高创新的能力

    课堂教学中要经常提供学生画图展示和评价的机会，让学生的经验、方法、心得适时碰撞、吸纳，迸发出创新的思维火花。

例如100以内的加减法中有一道练习：全班共有47人，参加美术小组的有28人，参加数学小组的有35人，有多少人同时参加了两个星期小组？其中有一个小朋友画了这样的图（如下），很有创意。并通过画图评价，培养了学生的创新意识。                     

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总之，图形有助于学生清晰地表达，有序地思考，使学生快速理解和掌握数学知识、基本技能和基本思想。笔者在低段渗透图形教学后，学生的解题能力提高了，而且他们更愿意用图形去呈现数量关系、表达思维过程。因此，在低段渗透数形结合的思想，培养学生的读图能力、作图能力和解题能力，对教学质量的提高、数学“四能”的提升都有着重要的意义。

参考文献

[1]张广祥.图形在数学思维中的作用.数学教学通讯,2002（8）．

[2]何军.浅谈图形语言在解题中的巧用．数学通报,2008（7）．

[3]袁晓萍.画出来的精彩.教学月刊小学版,2011（3）.

[4]何军.发挥图形语言在数学教学中的作用.教学与管理,2011(7).