追求有效的数学课堂

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记者(以下简称“记”)：作为一名特级教师和教研员，您一定非常关注小学数学课堂教学研究，因为课堂是促进学生发展的主阵地。

朱红伟(以下简称“朱”)：的确是这样。课堂是实施素质教育的主战场，把握好课堂就把握了主动。对于一个合格的教师来说，设计教法和学法来组织课堂教学，应该不是太大的问题。问题在于，教师所设计的教学应该是有效的，这个有效不仅仅是有效果，更应该有效益。

记：有效，听起来是很普通的字眼，但实际上真正达成有效教学并不容易。如何才能提高数学课堂教学的效益?

朱：结合我的工作经历和思考，我认为有效的数学课堂教学应该具有“简洁、真实、循序、有度”的特征，或者说，提高数学课堂教学效益，至少可以从这四个方面有所追求。

追求简洁的数学课堂

记：最近，很多教师都在谈论数学教学“简约化”的问题。您的说法是“简洁”，我感觉更恰当了。简约只是简略，而简洁是简明扼要的意思。

朱：数学教学本来就应该是简明扼要的。数学教学要注意整合三维教学目标、研究并精选教学内容、合理预设学习过程和有效设计练习等，让复杂的数学学习过程变得简明，使学生容易理解数学本质。

    从课堂教学的现状来看，我认为教师在教学中特别要注意以下三个方面的问题：

第一，问题情境应简单明了。

数学课程标准明确提出，要让学生学习身边的、现实世界中的数学，这无疑要求教师善于从现实生活中挖掘学习素材，通过创设简单明了的问题情境来引领学生学习数学。我曾经听一位教师教学三年级(上册)的《认识分数》，教师利用教材创设的情境，通过春游场景中小朋友“平均分”东西，引出分数。可能教师过分强调了学生的学习兴趣和课堂氛围，把问题情境扯得很远，让学生交流春游时喜欢游览的地点，喜欢游览的项目，春游的心情，春游涉及的事项，春游需带的物品等等，然后再切入“平均分”，引入“分数”的学习。数学学习无疑应该顾及学生的学习情感和学习兴趣，但激发学习情感和学习兴趣是为了学生更好地学习数学。如果仅仅为了所谓的兴趣和氛围，而过多地浪费了学生学习的时间，影响学习的效率，这是本末倒置，这样的教学是低效的。教师应该用好问题情境，但不能因为情境而降低数学课堂的效率，要让问题情境简单一点。

第二，教学过程应能简则简。

教师在教学环节中要根据教学目标和教学内容，有意识地安排学生的学习活动，要让学生充分地经历学习过程。在组织这些学习活动时，要考虑活动的时机、形式和效果，而不能过分的形式化。在一次课堂教学调研中，我听了《认识年、月、日》的课。教师利用不同年份的年历卡，让学生知道每个月的天数分别有28、29、30、31天，其中二月的天数有28或29天，让学生在自主探究和合作交流中归纳出每个月的天数，这一环节处理得很好。接下来教师安排学生先想一想“给不同的月份取个名字”，然后又让学生讨论、交流，再反馈。有学生说“二月份是小月，30天的是中月，31天的是大月”，也有学生说“28天是小月，29天是中月，30天是大月，31天是巨月”。在从众心理的影响下，学生“创新”出各种说法，教师最后不得不说“我们看一下书上是怎么说的”。这一环节花费了好几分钟，看似学生积极参与到了学习活动中，经历了自主“创造”的过程，但由于所选择的教学内容缺乏数学的“创造”价值，也就是“创造”的时机把握得不好，因此，教学效率显得极低。我认为，类似这样的教学过程应当能简则简，把有限的时间花费在更重要的地方。

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第三，思维训练应化繁为简。

现代教学论认为，数学教学是数学思维活动的教学。数学教学的核心是促进学生思维的发展。在小学数学教学中，教师要将知识发生、发展的过程与学生学习知识的心理活动统一起来，引导学生在观察、实验、猜想、验证等数学活动中，发展形象思维和抽象思维，甚至包括直觉思维。在具体的思维训练过程中，我们要克服“烧中段”的现象，同时也要避免人为地将思维训练复杂化。

三年级(上册)《认识周长》第62页“想想做做”第4题，第一小题是计算一个腰为5厘米，底为6厘米的等腰三角形的周长。我认为这道题的设计意图首先是通过计算，进一步理解周长的含义，其次是在计算的过程中对学生进行思维训练。在教学时，教师可以鼓励学生用不同的方法来计算这个图形的周长，一般方法有：(1)5+5+6＝16厘米；(2)5×2+6＝16厘米。在肯定学生做法的同时，还必须回归周长的概念，也就是让学生明确，不管用哪种方法解答，都是计算出了三条边长的总和，就是这个三角形的周长。但在教学时，有的教师却要求学生理解并掌握5×3+1＝16(厘米)、6×3－2＝16厘米等方法。我认为，如果学生主动想到这些方法，教师应该认同；如果学生没有想到这些方法，教师刻意让学生学习就不是特别合适。因为不宜将后面两种计算周长的方法看作优化的方法，这样的方法既难以解释周长的含义，也脱离了大多数学生实际的思维水平。思维训练要注重化繁为简。

追求真实的数学课堂

    记：教育是“教人求真”的。作为一门理性的科学，数学教学当更如此。您所说的真实，在教学中如何把握?

朱：数学教学要引导学生“求真”，数学教学研究本身也要“求真”。数学教师应努力探索数学教学的基本规律，注重数学教学的实质，适当淡化形式，使学生的数学素养真正得到培养与提高。

首先，教师应巧于选择真实的教学情境。

    布鲁纳说：“学习的最好刺激乃是对所学材料的兴趣。”教学情境的创设必须与学生的生活实际联系起来，让学生体验情境中的数学问题。这样不仅有利于学生理解生活情境中的数学问题，而且有利于学生体验数学在生活中的广泛应用，培养学生用数学的眼光观察生活的能力和初步解决实际问题的能力。

六年级(下册)《确定位置》一课，教材例题安排的是“用北偏东30°方向6千米处来表示灯塔相对于轮船的位置”。教师在教学过程中，考虑到激活学生的生活经验，利用实物投影仪展示苏州乐园的示意图，然后固定某一个景点作为中心点认识诸如“东偏南”“北偏东”等方向。在此基础上，通过覆盖透明胶片，引导学生体会要用“北偏东30°方向”等才能比较清楚地描述具体的方向。最后，通过示意图上的比例尺和图上距离，计算中心点到景点的实际距离。巩固练习时，教师又要求学生利用原中心点表示不同景点的位置，还让学生尝试变换中心点来自由表达。这样的情境创设，使数学和学生熟悉的生活紧密联系在一起，学生能够依托已有的生活经验轻松地掌握知识，提高技能，并在不同层次的认知中发展能力。

其次，教师应敢于暴露真实的学习状态。教师对实现教学目标的期待往往导致在教学过程中有意识地选取学生正确的想法或答案，而对错误“视而不见”。也有教师认为在课堂上用宝贵的时间来处理个别学生的错误，对其他学生而言是个浪费，这就容易掩盖学生在课堂学习过程中的一些真实状况，影响教学活动的真实性和针对性。

一位教师在教学《平移》时，引导学生通过对直线图形平移变换的观察、判断和选择，初步建立了平移的概念，然后安排学生画出平移后的直线图形，加深对平移变换的理解。在巡视学生练习时，教师发现有学生平移时图形变形了，特别是一些斜边的平移。这类错误可能只暂时显现在几个学生的学习中，但这一点显然应该是学生学习这一部分

内容的难点。于是，教师请其中一个出错的学生在实物投影仪上展示并说出画平移图形的过程，引导学生在交流的过程中逐步达成共识：用定点连线的方法比较好。这位教师抓住了看似因学生粗心引起的错误，让学生展开讨论，寻找出错的原因和克服类似错误的方法，不但让学生对平移有了进一步的认识，而且借助学生在学习过程中暴露的问题突破了本课的教学难点，并由此归纳出画出平移图形的方法。

    我认为，教师在课堂上要敢于暴露学生学习时的真实状态，面对学生在学习中出现的各种错误，要有选择地加以利用，让学生的学习错误成为教学的资源。

最后，教师应善于把握数学的本质内涵。数学的本质内涵一般包括：数学知识的内在联系，数学规律的形成过程，数学思想方法的提炼，数学的理性精神等。数学教学是学科教学，无论你是“教学生学什么”，还是“教学生怎么学”，教师都必须透彻地理解和领会数学本质。为求“透彻”，我们必须深入研究教材，弄清问题产生的背景、抽象的过程、结果的表述等等，真正把握数学的本质内涵。   

我曾经听过一节二年级的《角的初步认识》。教师注意结合生活实际，让学生通过具体的事物来感知“角”。为了让学生更为深切地感知“角”，教师除了借助媒体让学生感知具体物体抽象出的角，在具体物体上找“角”，通过小棒等物体做“角”之外，还让学生摸摸“角”，并用语言描述角的两条边是“平平的”“直直的”，角的顶点是“尖尖的”“刺刺的”。教师以为这样能让学生更为直观地记住“角”和角的各部分名称，殊不知，反而给学生认知角造成了负面影响。所以，接下来教师出示教材上的一些图片，如剪刀、钟面等，让学生指出这些物体的“角”在哪里，有些学生就指着剪刀的尖或者指针的尖说“这就是角”。实际上，在由实物抽象出数学意义上的“角”之后，教师就应及时引导学生联系角的几何图形加深对角的认识。

    将数学问题与生活情境有机结合，能够提高学生的学习兴趣和对数学问题的形象理解，但同时也要注意其中的一些无关因素可能干扰学生对数学知识本质的认识和理解。因此，教师要注意摆脱“数学”与“生活”的纠缠，注重引导学生把握数学知识的本质。

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追求循序的数学课堂

记：朱熹在中国教育史上首次明确提出了“循序渐进”这一学习原则。对数学教学而言，教学内容本身是有“序”的，学生的认知过程是有“序”的，这就决定了教师的教学也应是循序渐进的。

朱：循序渐进可以说是一条普遍有效的教学原则，也是中国传统教育的精髓。数学教学要努力找准学生认知发展、数学知识结构这两条“序”线的“黄金结合”，采用“由易到难，从简到繁；从感性到理性，由具体到抽象；由已知到未知，从现象到本质”等不同的形式，努力促进学生认知水平与情意水平的有序深化。

首先，应重视研究知识本身的序。

学生头脑中的知识结构组织得越好，就越有利于接受、理解新知识，越容易保存、运用已有的知识。相反，那些零散、孤立、无序的知识，恰似一盘散沙，很容易遗忘，在需要提取应用时，也难于重现和重组，学生对这些知识的理解是僵化的、机械的。因此，教师要重视对学生头脑中的知识、经验进行有序的梳理和整合，使新旧知识通过相互作用最终形成一个多层次、多类型、相互关联的有序整体。在小学数学教材中“认识分数”的教学就是一个整体。三年级(上册)通过一个物体、一个图形、一个计量单位的平均分来初步认识分数，三年级(下册)则由一个整体的平均分来认识分数，而到了五年级(下册)，则通过单位“1”的平均分来进一步认识分数。这是一个逐渐拓展概念、完善概念的过程。同样，对运用分数的意义解决简单的实际问题，也是逐步推进的。学生的认知也是由具体感知到逐步抽象概括的过程。因此，在教学过程中，教师应充分考虑知识本身的“序”，分层次、分阶段渐进式地进行教学，既要做到教学到位，又不能越位。同时，教师还应设法使新知识与学生认知结构中已有的相关知识联系起来，在呈现新知识的过程中，注意揭示新旧知识的联系点、生长点，搭好新旧知识的桥梁，形成合理的认知结构。

其次，应严格遵循学生认知的序。

    心理学家认为，小学儿童思维的基本特点是从以具体形象思维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式。但这种抽象逻辑思维在很大程度上，仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大程度的具体形象性。比如概念学习，要求学生指出概念中最主要的本质的东西，常常是比较困难的。他们的思维活动在很大程度上还是与前面的具体事物或其生动的表象联系着。如果不考虑学生的认知特点，不遵循学生认知的规律，教学活动往往就会事倍功半，十分低效。反之，则可以使教学效率提高。

    在一节《百分数的认识》中，教师引导学生讨论三位著名篮球运动员姚明、王治郅、易建联投篮命中的情况，由于投篮次数和命中次数各不相同，引出通过观察投中数是投球次数的几分之几来分析投篮水平的高低，并进一步引导用通分来比较分率的大小，感受分率的作用。当数据变得较难处理时，也可以都转化成分母是100的分数来表示，即

百分数，这样，百分数的导人就显得自然而有必要。学生已在隐约之中感悟到百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。接着，教师请学生拿出课前收集的一些百分数实例，试着解释其中百分数所表示的意义。在通过对大量实例感性认识的基础上，教师让学生尝试说说什么是百分数，讨论、辨析百分数的意义。最后，教师让学生阅读课本，讨论一下百分数有什么样的特点，了解百分数又叫做什么。同时，运用百分数的意义解释一些生活中的实例。这样的设计充分考虑了学生的认知规律，学生对百分数的认识经历了感知——表象——概念(符号)的过程。特别是在感悟百分数意义的环节，教师很好地分析了学生的认知需求，分三个层次来引导：第一个层次通过分数导入百分数，学生在隐约之中感悟百分数；第二个层次通过对大量生活实例的分析，让学生在互相交流中进一步感悟、归纳百分数的意义；第三个层次在运用百分数的意义分析的过程中，进一步体会百分数的意义。感悟不是教师教给学生，而是学生自己在学习中逐步体会、感受、领悟知识的内涵和外延。

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再次，科学把握教学渐进的序。

教学必须有机地处理好知识发展的序和学生认知推进的序。教师要善于把握新旧知识之间的内在联系，充分利用已有知识、运用已有的方法和策略学习新知识。同时，在学习新知识的过程中要遵循学生的认知特点，螺旋上升，层层推进，使学生更为牢固地掌握知识，培养能力，发展思维。

在和一位教师研讨《认识平行》一课时，我们是这样安排学生认识平行的：先在课前交流中让学生猜测，教师是乘什么交通工具来上海的，巧妙地利用自己来自外地这一情况和学生交流，既沟通了师生的感情，也为下面的教学做好了情境铺垫和资源储备。接着，教师利用汽车笔直地向前行驶车轮留下的痕迹引出线与线之间的关系，即相交和不相交。同时，通过学生比较熟悉的生活情境来认识和理解两条直线“相交”和“不相交”的位置关系。利用具体的场景“痕迹”，逐步抽象出数学中的“直线”，自然贴切，有利于学生的理解。然后，教师通过四种上海的街景抽象出几组直线，辨析“相交”和  “不相交”。特别引导学生通过辩论认识立交桥上、下桥面上的直线是没有交点的，它们是不相交的两条直线，进一步理解什么是“相交”，同时为“不在同一平面内”做铺垫。进而，通过比较两种不相交的情况认识并归纳出乎行，即把“同一个平面内，不相  交的两条直线”称为“互相平行”。最后在巩固平行的基础上进一步理解“互相平行”。教师的设计构成了一个相互关联的有机整体。学生沿着“相交和不相交”到“不相交中是否是同一平面”，再到“同一平面内的不相交是平行”，最后到“相互平行”这一条循序渐进的线路，由远及近，从局部到整体，从粗略到精确，从感性到理性，从直观到抽象，逐步获得了对平行的认识。在这一过程中，学生不仅主动获取了有关数学知识，而且也能初步体会到数学知识内在的逻辑结构，有助于进行合理的知识建构，观察、思维、概括能力得到了有效的培养。

追求有度的数学课堂

    记：有人说，教学的全部技巧在于一个“度”字。所谓“度”，就是尺度、分寸。您认为怎样的教学才“有度”?

朱：“有度”就是掌握事物的规律和方法，同时又要随着事物的变化而变化。小学数学教学要把握好契机，掌握好火候，做到繁简有度，难易有度，张弛有度，扶放有度……总之，就是要找到一个平衡点，做到“目标定位在数学与生活之间；资源统整在简单与丰富之间；过程架构在确定与可能之间；手段选择在传统与现代之间；方式指引在自主与合作之间；活动评价在过程与结果之间”。

一是难易有度。

    无难度的、平淡的学习，容易引起学生学习兴趣的降低和注意力的分散。而要求过高、难度过大的学习，也容易使学生望而生畏，影响学习的积极性。因此，教师可以在努力达成教学目标的前提下，根据学生的实际情况，把学习过程有机地分解为坡度恰当、拾级而上的递进式学习环节，使学生在兴趣盎然的氛围中，在思维的动态发展中不断完

善认知结构。因此，我们完全应该根据学生的实际情况，在保证总体目标不变的前提下，适当地增删、加工教材，用合适的方式和有效的手段，向不同层次的学生呈现恰当的学习内容，科学地把握教学的难易度。

我在教学数学活动课《图形的平分》时，努力把握教学的难易度。教学是这样设计的：先创设情境，一个圆形花坛里准备种两种花，分别是郁金香和康乃馨，要使两种花种的面积一样多，你觉得可以怎样种?平均分的方式很多，如果今天我们只研究用一条直线平均分，你能说出这条直线在哪里吗?你能用一条直线平分长方形、正方形、平行四边形和圆吗?先让学生完成基本图形的平分，并分别有侧重地交流不同的分法，再由四个不同图形的分法，归纳、概括出共同点，即经过“中心点”的直线可以平分这些图形。在学生都能较好地掌握基本图形的平分方法后，让学生研究组合图形的平分，教师提供几个组合图形，外面是一个长方形，里面是一个圆形，圆形所在的位置有所不同，让学生任选一个找出这个组合图形的平分线，在充分探索和交流后，引导学生归纳平分的方法。然后，教师安排学生任取两个基本图形进行组合，看看能否找到一定的规律。最后，让学生运用规律来设计劳动实践基地，要求有一块菜地，菜地中间挖一个水池，并且用一根直线将菜地和水池同时平分。根据学生的学习状况，预留了备用题：除了刚才这些基本图形外，还有哪些图形也有这样的特点?讨论等边三角形、等腰梯形、正五边形和正六边形等图形，并让学生自主研究正六边形和其他组合图形。从基本图形出发，这样的设计考虑了学习的坡度，让每一个学生都能学会最简单的图形平分方法。在学生  掌握了基本方法后，再探索组合图形的平分方法。由于图形组合的位置各有区别，解决问题的难易度就会有所不同，给不同层次的学生都提供了适合的学习机会。而运用所学知识解决问题以及备用题的安排，为学生的学习提供了足够的弹性，努力实现不同学生得到不同发展的新课程理念。

二是扶放有度。

    教师善于“扶”，敢于“放”，学生才会主动学、善于学。“扶”首先体现在教师要根据学生现有的认知结构和智能发展水平，制订科学的教学预案。教师要把力气使在关节点上，帮助学生打开思路、指点路径、提示要领、掌握方法，促使学生自己去探索、思考，主动获取新知识。“放”要放得合理，主要体现在教师要选择适当的内容，让学生有机会探究。“放”并不是放任自流，什么都不管，而是要求教师发挥引导、调控作用，给学生指明探究的方向，提出适当的探究要求，提供必要的指导和帮助，还要对学习结果及时进行评价和反馈。教师还要了解学生的实际，注意学生的个别差异，尽可能使“扶”与“放”有机结合，有层次性，让每一个学生在原有的基础上得到发展。

    一位教师执教《周长的认识》。她是这样安排学生认识周长的：帮老师剪一剪圆形、长方形之类的图片，并指出手中图形一周的边线；找到儿童游泳池池口一周的边线；描一描苏州市地图的边线；指一指量角器、饼干盒盖、月饼盒盖、树叶上面这个面的周长；想办法测量一张书签、一枚硬币的周长，并说一说它们的周长在哪里，周长是多少，是用什么办法得到周长的，哪种测量方法比较好；生活中还有哪些地方需要测量周长，可以用什么方法去测量。这样的设计，先由教师“扶”，引导学生通过剪、找、描、指等操作活动，在感悟中循序渐进地认识周长，并逐步抽象概括出周长的概念。再通过“放”，

在学生初步掌握周长概念后，利用自己的生活经验来测量周长，交流测量的方法，解决生活中的实际问题。教师较好地处理了“扶”与“放”的关系，学生学得扎实主动。

三是学练有度。

学是练的前提条件，练又是把知识转化为技能和能力的途径，是下一层次学习的基础。学和练的适度把握直接影响着学生的学习兴趣和学习能力。从心理学的角度来说，教师连续讲解或者学生单纯探索的时间过长，给予学生的只是单调刺激，容易使学生的大脑皮层产生抑制，容易感觉疲劳，注意力难以维持，思维效率也会随之降低。而在学练结合的学习状态中，多层次的学习和多形式的练习，能引起和保持学生的注意力，有利于提高思维效率。学和练应前后连贯，环环紧扣，穿插进行，形成一个结构严密、紧凑、和谐的整体。

在《方程的意义》教学中，有位教师对学练结合的处理十分恰当。教师创设情境：用天平称两个苹果和一个菠萝的质量，可能会出现怎样的结果呢?在学生猜测、交流后明确：苹果每个300克，菠萝600克，天平会怎么样呢?要求学生用一个数学式子来表示这种相等的关系，从而引出等式的概念。教师将每个苹果质量改为240克，这时天平还会平衡吗?你能用式子表示吗?如果加一个小铁块使天平平衡，你想到用怎样的式子来表示呢?然后让学生根据书上四幅天平图列出式子并交流。继续出示：用50元买了三件文具，其中铅笔盒J元，钢笔5元，书包35元，用数学式子表示买文具所花的钱。观察这些式子，讨论：能不能按照一定的标准把它们分分类呢?学生各抒己见，概括出方程的意义；在学生理解方程的意义后，让学生辨析等式和方程，并进行看图列方程的练习。这样的设计，将学与练有机地融为一体。学后及时练，有利于学生巩固和掌握知识，又在练中丰富着知识。需要强调的是，学与练之间绝不能是机械的重复关系，两者应相互补充，相互促进。

记：谢谢您让我们有机会分享您对有效课堂教学的精彩见地，也让我们从丰富的课堂实例中更感性地认识了有效教学的魅力。

朱：实际上，影响课堂教学效益的因素有很多，我只是从几个侧面，选取其中的一些“点”来表达自己的一些想法，难免挂一漏万、以偏概全，愿向同行们讨教。