极限思想在小学数学中的渗透

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一、在形成新概念时渗透极限思想

    小学几何概念中有许多概念是具有无限性的，如直线、射线、角的边、平行线的长度等等，它们都是可以无限延伸的。这些概念在现实生活中并不是真实存在的(现实生活中你找不到一条能无限延伸的线)，它们只是存在于人脑的想象之中，是人脑抽象的结果。而这种想象又是进一步学习数学的必不可少的基础能力。因此，在图形教学中培养学生空间想象力，培养学生的无限观念是非常重要的。

    【案例】“射线的初步认识”

    师：请同学们在白纸上画一条3厘米长的线段，说一说它有什么特点。

    生：1．它是直的、用尺可以量出长度；2．它有两个端点……

    师：请同学们在白纸上画一条5厘米长的直线，有什么问题?

    生a：好了!(得意)

    生b：不对!(反对)直线是没有长短的……

    师：为什么?

    生：因为直线可以向两边无限延长。

    师：无限延长是什么意思?

    生：就是无限的长，没完没了的意思……

    下面请同学们仔细观察老师的演示：

    师：(用红外线光电筒照在黑板上)请同学们画出来。

师：(打开窗户，将红外线光电筒照射向天空)如果光束没有受到阻碍的话，请你画出来……

(学生有很多种情况，请学生自己说出自己的理由，交流反馈)

师：这就是我们今天要学的射线，它有什么特点呢?

生：一个端点、直的、可以向一个方向无限延长、不可度量。

    师：射线是直线的一半吗?

    生a：是的，因为直线上点一个点，就可以有两条射线。

    生b：不对，它们都是可以无限延长的，所以无法比较，不能说是谁的一半……

让学生一下子认识到图形的无限性是有一定难度的，上面的教学片段中，教师通过学生自己动手，建立起对“线段”“射线”“直线”在认知的矛盾冲突，这样巧妙的教学设计使得学生轻松地建立了对“直线”“射线”的“无限”的空间感观，真实、自然又不失严密。在我们周围的事物中，是找不到那种可以真正地被看成是“无限的直线”的东西的。那么今后学生因为想象出了无限的直线，他们的空间图形观念则产生了质的飞跃，因为借助于这样的直线去认识世界，将比没有它要方便得多。学生在教师的引领下，走出有限的几何观念，形成无限的几何观念，极限思想在图形概念形成初期呼之欲出，进发出其绚丽的色彩!

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二、在公式推导过程中渗透极限思想

数学思想方法呈隐蔽形式，渗透在学生获得知识和解决问题的过程中，如果能有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，看到知识背后负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识才是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。我们要力争做到即使在以后学生具体的知识忘了．但数学地思考问题的思想方法还常存于脑中。

【案例】“圆的面积”

在教学“圆面积公式的推导”一课时，我是这样设计的。   

师：我们学过了一些图形的面积计算公式，今天我们来研究圆的面积公式。你们有什么办法吗?

    生：可以把圆转化为我们学过的图形。

    师：怎么转化?

    生：把圆平均分。(大屏幕上演示把圆平均分成了2份，把两个半圆使劲地拼，结果还是一个圆。)

    师：转化不成已经学过的图形，怎么回事?

生：平均分的份数不够多。

师：是这样吗?那我们分得多一些，请大家仔细观察。(演示把一个圆分割为完全相同的小扇形，并试图拼成长方形。从平均分成4个、8个到16个。)

    师：你们有什么发现?同桌轻轻交流一下。

生1：16个拼起来，比较像长方形。

生2：分的份数越多，拼成的图形就越接近长方形。

    师：你们都同意他们的看法吗?(学生表示同意)那我们再来分一分这个圆。(课件演示把圆平均分成32个、64个……完全相同的小扇形。)

    师：大家再仔细看一看，想一想，如果一直这样分下去，拼下去会怎样?

    生1：拼成的图形就真的变成了长方形，因为边越来越直了。

师：拼成的长方形与原来的这个圆究竟有怎样的关系啊?

……

这个过程中从“分的份数越来越多”到“这样一直分下去”的过程就是“无限”的过程，“图形就真的变成了长方形”就是获得的结果。学生经历了从无限到极限的过程，感悟了极限思想的巨大价值。

学生有了这个基础，到将来学习圆柱体积公式的推导时就会很自然地联想到这种办    法，从而再一次加以利用解决问题，在不断的应用中学生的极限思想会潜移默化地形成。

    以上计算公式的推导过程，采用了“变曲为直”，“化圆为方”极限分割思路。在通过有限想象无限，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的最终结果。既使学生掌握了计算公式，又萌发了无限逼近的极限思想。

    三、在数学练习中渗透极限思想

    学生的数学思想的形成是靠不断的积累、不断的运用来形成的，能够自主运用思想

解决问题是学生数学素养的具体体现，它应该贯穿于数学学习的始终。练习作为学生数

学学习的重要环节，也应该承担这方面的任务。因此，教师在设计练习题时要注意极限思想的体现。

【案例】“用转化的策略解决问题”

    计算：1/2+1/4+1/8+1/16

    师：仔细观察这个算式有什么特点?

    生：任意相邻的两个分数，后一个分数总是前一个分数的一半。

师：用什么方法求和?

生1：通分转化。

    生2：可以转化成小数求和。

    师：还有不同的方法吗?

    生：用数形结合的方法。

先画一个大正方形，它的面积是1，如图所示，从图中可以直观地看出：1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16=15/16在此基础上可以把问题进一步变化为：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+……=？

用数形结合的方法，从图中直观地看出随着加数的不断增加，空白部分的面积逐渐

扩大，并且越来越接近正方形的面积即不断地逼近1，当有无限多项相加时其结果为1。

    通过多种办法解决这个题目的动态过程中，学生在收获知识的同时，极限思想、数形结合的思想又为学生解题方法的创新提供了可能，培养了思维的灵活性。总之，练习的设计不能仅仅着眼于一个问题的解决，而要关注学生在解决这个问题中自主领悟到的数学知识及思想方法，更要关注在解决问题中数学素养的形成。