小学生学习数学的方法及培养途径

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为了适应学生的学习心理，发掘其潜能，义务教育教材已适当地降低了对数学知识体系严密性的要求，拉开了知识结构之间的“距离”，并以“结构化”与“问题化”互补的教材体系呈现出来。因而，学生必须掌握、并且具有一定的学习数学的方法，提高和发展学习能力，这也是上海“数学教育行动纲领”所提出的“基础能力”的要求。

　　为此，我们对小学生应具有的主要的学习数学的方法及其相应的培养途径进行了实践，以发展学生学习数学的能力。

　　1．良好的学习习惯。叶圣陶先生说过：凡是好的态度和好的方法，都要使它化成习惯。只有熟练成了习惯，好的态度和方法才能随时随地表现……一辈子受用不尽。叶老的话阐明了良好的学习习惯和学习方法的关系：良好的学习习惯既是学生形成学习方法的基础，又是他们具有了一定的学习方法的集中体现。因此，培养学生从小养成良好的学习习惯具有十分重要的意义。主要的培养途径有：

　　（1）课前预习。预习的方法：明天要学习什么内容，是否能用今天学习的知识去解决它；在不懂的地方画上记号；尝试地做一二道题，看哪里有困难……上课伊始，教师先检查学生预习情况，并把上面的预习方法经常交代给学生。学生预习后就可带着问题投入新课的学习，上课时就更有目的性和针对性。这样做对于提高课堂学习的效果，养成学生的自学习惯，提高自学能力都有积极作用。

　　预习数学内容会显得较枯燥，所以，教师要经常表扬自觉预习的学生，以激励全体学生预习的积极性。

　　（2）课后整理。要养成先复习当天学习的知识，再做作业，最后，把学习内容加以整理的习惯。例如，能被2、5整除的数的特征，一位同学整理如下：

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　　　　　　　个位是0的数同时能被2和5整除

　　这样，容易使学生学到的知识系统化，从而内化为他们的认知结构。
　　（3）在课内，要求学生：一要仔细看教师的操作演示、表情、手势；二要全神贯注地听老师的提问、点拨、归纳以及同学的发言；三要积极思考、联想；四要踊跃发表自己的想法，有困惑应发问，敢于质疑。
　　（4）要养成检查验算的习惯。检查验算的过程既是一种培养学生负责态度的途径，又是学生对自己思维活动的再认识过程。如有题：一个水池能盛水54吨，甲、乙两个水管同时向池内放水，3小时放满。
　　已知甲管每小时放水5吨，乙管每小时放水多少吨？学生设乙管每小时放水x吨，且列方程：5×3+3x=54，54-3x=5×3，54-5×3=3x，（x+5）×3=54，5+x=54÷3，54÷3-x=5……最后解得x=13。学生一方面要检验x=13是否是方程的解；另一方面要检查列方程的依据是什么，解答过程是否简练。如果发现错了，那么失败就成了成功之母。这种“认知元”的发展是学生养成良好的学习习惯的重要标志。
　　2．尝试活动。学生原有的认知结构具有同化作用，这是学生能进行尝试活动的心理支撑点。因此，学生具有了某一认知结构后，接着学习相应的后面知识时，教师可让学生去尝试学习。例如，学生掌握了整数四则混合运算顺序之后，可请他们去尝试学习“小数四则混合运算”，然后，教师稍作点拨：整数四则混合运算顺序同样适用于“小数四则混合运算”。学生就可同化新知识，从而构建新的认知结构：整小数四则混合运算的顺序都是：先乘除，后加减，有括号的要先算括号里的。
　　当学生掌握了“分数乘法应用题”，又理解了比与分数之间的关系以后，教师可让学生去尝试学习“按比例分配”的应用题。
　　3．操作活动。当学生原有的认知结构似乎能同化又同化不了新知识时，他们的学习心理就有求助于外围行为的倾向。这时，教师就请学生去进行动手操作活动，进而刺激其心理，促进他们实现学习心理的相互作用、互为转化——学到新知识。
　　例如，教学“圆的周长”，学生引起心理反映：只能测量、计算直线图形的周长，用什么方法来得到曲线图形的周长呢？这时，教师就可要求学生分组进行操作活动，以满足他们的心理对行为的要求：1元硬币、瓶盖、飞碟等的直径与相应的圆周长分别是多少？并把得到的结果记入下表：

　　测量曲线图形的周长，学生还是第一次，可是当学生看到事先准备好的线、绳和直尺，他们借助对图形周长概念的理解，首先还是想出了用测量的办法求圆的周长：有些学生用线绕测量物一周，再拉直放在直尺上量得其周长；有些学生将测量物在直尺上滚一圈测得其周长。学生的测量活动（行为）反过来又必将引起其心理活动，所以，教师这时可要求学生对测量的结果进行思维活动：从所填的表格中你们能发现什么规律？
　　当学生无知识基础可作学习新知识的支撑点时，教师可直接请学生进行多次的操作活动，以不断刺激其心理，引起思维活动，从而达到理解新知的目的。例如，正、负数的加法：

（+3）+（-2）=+1+2-2=+1

　　4．观察活动。所谓观察是指学生对客观事物或某种现象的仔细察看，因而是一种有意注意。培养的途径是：教师提供的“客观事物或某种现象”特征有序、背景鲜明，而且要给出一些观察的思考题。这样有助于学生明确观察目标，进而使他们边观察，边思考，边议论，边作观察记录，以发现数学规律、本质。
　　“乘法分配律”的教学，根据例证得到三个等式：
　　（5+3）×2=5×2+3×2
　　（6+4）×30=6×30+4×30
　　（25+9）×4=25×4+9×4
　　教师要求学生结合下面的两个思考题观察上面的三个等式都具有什么相同点（即规律）。①竖里观察，等式的左边都有什么特点？等式右边又有什么特征？②横里观察，等式的左边与右边有怎样的关系？
　　教师再要求学生把记录的文字：两个加数的和与一个数相乘，两个积的和，两个加数分别与一个数相乘……整理一下就得到了“乘法分配律”。
　　低年级学生观察时更需要意志力参与。教学“几个和第几个”时，教师请小朋友仔细看主题图：有几个人排队上公共汽车？小明排在第几个？教师在示范时又提醒学生：看谁看得认真，第一行从左边起老师涂色了几只？第二行从左边起第几只涂了色？然后，教师写上“3只”、“第3只”。

　　教师运用语言的调节功能，激励低年级学生有意识地进行观察，这样能有效地促进学生心理转化，学到新知识。
　　5．思考活动。所谓思考是指学习者对学习对象进行比较深刻的、周到的、复杂的思维活动过程。


比较有什么特点？学生经过思考、议论、相互启发和补充，逐步归纳出其特点：分子或分母中又含有分数。较好地理解了繁分数的意义。
　　学生有了思考方向，并进行广泛的联系和想像，他们才有可能捕捉到丰富的材料，进而去粗取精、去伪存真，找到解决问题的方法。如此长期培养学生，有利于他们形成思考的方法，提高思维的质量。
　　学生进行独立的思考活动的基本途径有：
　　（1）对思考对象进行分析、概括或抽象。例如，小军买3支圆珠笔，每支1.46元，共应付多少元？学生通过对题目分析，概括抽象出是求3个1.46是多少（或是求1.46的3倍是多少），所以可根据乘法的意义列式解答：1.46×3=4.38（元）。

　　
　　（3）对思考对象进行分析，弄清题意；接着对条件和问题展开联想；然后，借助已掌握的概念进行思维活动（如判断、推理、变通等），把条件与问题“接通”——建立模型。如：
　　一个正方形花坛四周铺有一条宽3m的水泥路，已知路面面积276m2（如下图），求正方形花坛的周长。

　　弄清题意：条件是有空白部分面积276m2，路宽3m，正方形的四条边长相等。问题是求正方形花坛的周长。
　　对条件与问题展开联想：正方形花坛边长知道了，其周长也就可求出来了。花坛边长与外正方形边长有联系：如将空白部分面积分成4个相等的梯形，则花坛边长与梯形的上底有联系（下左图）；如将空白部分面积平均分成4个长方形，则花坛边长与长方形的长有联系（下图）……

　　建立数学模型：如根据每个梯形的面积与空白部分总面积276m2的联系建立模型，则：
　　一个梯形面积=276÷4（m2）
　　进而，建立方程（设花坛的边长为xm）：
　　（x+x+3×2）×3÷2=276÷4
　　x=20
　　所以，正方形花坛的周长是20×4=80（m）。
　　同样可根据每个小长方形的面积是（276÷4）m2，求得花坛的边长为276÷4÷3-3=20（m）。
　　6．自学活动。中高年级学生随着识字量增多，数学知识的长进，他们已具备了一定的自学基础，这里主要是指学生课内的独立性自学活动。
　　（1）学生要掌握认真阅读课本的方法。对于课本中的例题及其他文字，要逐字逐词逐句逐段地阅读，反复地阅读，直至读懂、读明白意思为止；要把文字与插图结合起来看，这样有助于理解图意、弄清文字24意思；要有重点地阅读某些教学内容，如重点阅读“想”的过程，方框内的结论，把重点的词、勾画出来，这样有助于学生理解阅读教材的关键、本质。
　　（2）学生可做一二道题目试试，看会不会做，如果感到还有困难，那么再次进行阅读，再次尝试做题目。
　　（3）教师要求学生做类似例题的练习，并让他们说说是怎样想的，为什么这样做，以检查他们的自学效果。
　　（4）教师提一些关键性的问题，在师生的相互交流中，教师可做些点拨、归纳，以帮助学生系统地理解掌握自学内容，也可使学习困难者得到补偿学习。
　　7．合作学习。对于一些“问题性”程度较高，个体学习、同化有困难的材料，教师可改变课堂组织形式，让学生开展合作学习，以促进他们在相互补充、互为启发中完成心理转化，学到知识。
　　例如，教学“连续退位减法”：
　　6300-5464=

　　师：个位0减4，不够减，向前一位借“1”当10，10减4，差的个位上写6。那么，十位上、百位上应该填几呢？
　　随即，教师请学生4人一组开展合作学习。通过讨论，有的认为：十位上填4，百位上填9；有的认为十位上填3，百位上填8；还有的认为十位上填4，百位上填8。那么，十位上、百位上究竟应该填几呢？为什么？教师再次要求学生开展讨论，进行合作学习：看哪一组、哪一位同学讲得有道理。同学们经过两次合作学习，终于理解了“连续退位减法”的算理：十位上既要向前一位借“1”，又要借给后一位“1”，所以十位上应该是填3，百位上应该是填8。他们经验证也证实了这种计算方法是正确的。
　　8．数形结合。数学主要是研究数与形的学科，学生的思维特点又处于形象思维向抽象思维过渡的阶段。因而，数形结合是学生最喜欢、最常用的一种学习数学的方法。
　　例如，用“形”来帮助学习“数”。当学生理解了正小数、正整数都是正数，负小数、负整数都是负数后，教师直接请学生比较下列每组数的大小：
　　①1.2和-2.4②-3.5和0
　　③-2.4和-3④-3和-3.5
　　学生先画出一数轴，再在上面标出4组数中的各个数。

　　然后，他们受到数轴及数轴上的数的刺激，发现正、负整数及零的大小比较方法（负整数＜零＜正整数，或在数轴上表示的数是左小右大），同样适用于正、负小数及零大小的比较，进而也找到了正、负小数及零大小比较的方法，并得出：
　　①1.2＞-2.4 ②-3.5＜0
　　③-2.4＞-3 ④-3＞-3.5
　　又如，用“数”来帮助学习“形”。学生学习长方形的面积，先是数面积，后来发现用算“数”（长×宽）的方法能很快地知道长方形的面积。
　　学生学习活动中的学习方法，并非只是某一种学习方法在起作用，而往往是几种方法在起共同的、相互的作用，“一法为主，多法并重”的学习活动，才更有助于学生实现学习心理的相互作用、互为转化，获得学习成功。学生在学习活动中，一方面要有较为充裕的学习时间，因此，教师要舍得花时间让学生去学习；另一方面，需要相互之间商量议论和合作学习，这样才容易互为启发、补充，形成学习方法和数学思想。
　上海市青浦县教师进修学校 岳德明执笔　
（本课题组成员：何雪芳 程芳 严玲莘彪 梅丽娜 陈兴元 范红 岳德明）

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　　　　　　　个位是0的数同时能被2和5整除

　　这样，容易使学生学到的知识系统化，从而内化为他们的认知结构。
　　（3）在课内，要求学生：一要仔细看教师的操作演示、表情、手势；二要全神贯注地听老师的提问、点拨、归纳以及同学的发言；三要积极思考、联想；四要踊跃发表自己的想法，有困惑应发问，敢于质疑。
　　（4）要养成检查验算的习惯。检查验算的过程既是一种培养学生负责态度的途径，又是学生对自己思维活动的再认识过程。如有题：一个水池能盛水54吨，甲、乙两个水管同时向池内放水，3小时放满。
　　已知甲管每小时放水5吨，乙管每小时放水多少吨？学生设乙管每小时放水x吨，且列方程：5×3+3x=54，54-3x=5×3，54-5×3=3x，（x+5）×3=54，5+x=54÷3，54÷3-x=5……最后解得x=13。学生一方面要检验x=13是否是方程的解；另一方面要检查列方程的依据是什么，解答过程是否简练。如果发现错了，那么失败就成了成功之母。这种“认知元”的发展是学生养成良好的学习习惯的重要标志。
　　2．尝试活动。学生原有的认知结构具有同化作用，这是学生能进行尝试活动的心理支撑点。因此，学生具有了某一认知结构后，接着学习相应的后面知识时，教师可让学生去尝试学习。例如，学生掌握了整数四则混合运算顺序之后，可请他们去尝试学习“小数四则混合运算”，然后，教师稍作点拨：整数四则混合运算顺序同样适用于“小数四则混合运算”。学生就可同化新知识，从而构建新的认知结构：整小数四则混合运算的顺序都是：先乘除，后加减，有括号的要先算括号里的。
　　当学生掌握了“分数乘法应用题”，又理解了比与分数之间的关系以后，教师可让学生去尝试学习“按比例分配”的应用题。
　　3．操作活动。当学生原有的认知结构似乎能同化又同化不了新知识时，他们的学习心理就有求助于外围行为的倾向。这时，教师就请学生去进行动手操作活动，进而刺激其心理，促进他们实现学习心理的相互作用、互为转化——学到新知识。
　　例如，教学“圆的周长”，学生引起心理反映：只能测量、计算直线图形的周长，用什么方法来得到曲线图形的周长呢？这时，教师就可要求学生分组进行操作活动，以满足他们的心理对行为的要求：1元硬币、瓶盖、飞碟等的直径与相应的圆周长分别是多少？并把得到的结果记入下表：

　　测量曲线图形的周长，学生还是第一次，可是当学生看到事先准备好的线、绳和直尺，他们借助对图形周长概念的理解，首先还是想出了用测量的办法求圆的周长：有些学生用线绕测量物一周，再拉直放在直尺上量得其周长；有些学生将测量物在直尺上滚一圈测得其周长。学生的测量活动（行为）反过来又必将引起其心理活动，所以，教师这时可要求学生对测量的结果进行思维活动：从所填的表格中你们能发现什么规律？
　　当学生无知识基础可作学习新知识的支撑点时，教师可直接请学生进行多次的操作活动，以不断刺激其心理，引起思维活动，从而达到理解新知的目的。例如，正、负数的加法：

（+3）+（-2）=+1+2-2=+1

　　4．观察活动。所谓观察是指学生对客观事物或某种现象的仔细察看，因而是一种有意注意。培养的途径是：教师提供的“客观事物或某种现象”特征有序、背景鲜明，而且要给出一些观察的思考题。这样有助于学生明确观察目标，进而使他们边观察，边思考，边议论，边作观察记录，以发现数学规律、本质。
　　“乘法分配律”的教学，根据例证得到三个等式：
　　（5+3）×2=5×2+3×2
　　（6+4）×30=6×30+4×30
　　（25+9）×4=25×4+9×4
　　教师要求学生结合下面的两个思考题观察上面的三个等式都具有什么相同点（即规律）。①竖里观察，等式的左边都有什么特点？等式右边又有什么特征？②横里观察，等式的左边与右边有怎样的关系？
　　教师再要求学生把记录的文字：两个加数的和与一个数相乘，两个积的和，两个加数分别与一个数相乘……整理一下就得到了“乘法分配律”。
　　低年级学生观察时更需要意志力参与。教学“几个和第几个”时，教师请小朋友仔细看主题图：有几个人排队上公共汽车？小明排在第几个？教师在示范时又提醒学生：看谁看得认真，第一行从左边起老师涂色了几只？第二行从左边起第几只涂了色？然后，教师写上“3只”、“第3只”。

　　教师运用语言的调节功能，激励低年级学生有意识地进行观察，这样能有效地促进学生心理转化，学到新知识。
　　5．思考活动。所谓思考是指学习者对学习对象进行比较深刻的、周到的、复杂的思维活动过程。


比较有什么特点？学生经过思考、议论、相互启发和补充，逐步归纳出其特点：分子或分母中又含有分数。较好地理解了繁分数的意义。
　　学生有了思考方向，并进行广泛的联系和想像，他们才有可能捕捉到丰富的材料，进而去粗取精、去伪存真，找到解决问题的方法。如此长期培养学生，有利于他们形成思考的方法，提高思维的质量。
　　学生进行独立的思考活动的基本途径有：
　　（1）对思考对象进行分析、概括或抽象。例如，小军买3支圆珠笔，每支1.46元，共应付多少元？学生通过对题目分析，概括抽象出是求3个1.46是多少（或是求1.46的3倍是多少），所以可根据乘法的意义列式解答：1.46×3=4.38（元）。

　　
　　（3）对思考对象进行分析，弄清题意；接着对条件和问题展开联想；然后，借助已掌握的概念进行思维活动（如判断、推理、变通等），把条件与问题“接通”——建立模型。如：
　　一个正方形花坛四周铺有一条宽3m的水泥路，已知路面面积276m2（如下图），求正方形花坛的周长。

　　弄清题意：条件是有空白部分面积276m2，路宽3m，正方形的四条边长相等。问题是求正方形花坛的周长。
　　对条件与问题展开联想：正方形花坛边长知道了，其周长也就可求出来了。花坛边长与外正方形边长有联系：如将空白部分面积分成4个相等的梯形，则花坛边长与梯形的上底有联系（下左图）；如将空白部分面积平均分成4个长方形，则花坛边长与长方形的长有联系（下图）……

　　建立数学模型：如根据每个梯形的面积与空白部分总面积276m2的联系建立模型，则：
　　一个梯形面积=276÷4（m2）
　　进而，建立方程（设花坛的边长为xm）：
　　（x+x+3×2）×3÷2=276÷4
　　x=20
　　所以，正方形花坛的周长是20×4=80（m）。
　　同样可根据每个小长方形的面积是（276÷4）m2，求得花坛的边长为276÷4÷3-3=20（m）。
　　6．自学活动。中高年级学生随着识字量增多，数学知识的长进，他们已具备了一定的自学基础，这里主要是指学生课内的独立性自学活动。
　　（1）学生要掌握认真阅读课本的方法。对于课本中的例题及其他文字，要逐字逐词逐句逐段地阅读，反复地阅读，直至读懂、读明白意思为止；要把文字与插图结合起来看，这样有助于理解图意、弄清文字24意思；要有重点地阅读某些教学内容，如重点阅读“想”的过程，方框内的结论，把重点的词、勾画出来，这样有助于学生理解阅读教材的关键、本质。
　　（2）学生可做一二道题目试试，看会不会做，如果感到还有困难，那么再次进行阅读，再次尝试做题目。
　　（3）教师要求学生做类似例题的练习，并让他们说说是怎样想的，为什么这样做，以检查他们的自学效果。
　　（4）教师提一些关键性的问题，在师生的相互交流中，教师可做些点拨、归纳，以帮助学生系统地理解掌握自学内容，也可使学习困难者得到补偿学习。
　　7．合作学习。对于一些“问题性”程度较高，个体学习、同化有困难的材料，教师可改变课堂组织形式，让学生开展合作学习，以促进他们在相互补充、互为启发中完成心理转化，学到知识。
　　例如，教学“连续退位减法”：
　　6300-5464=

　　师：个位0减4，不够减，向前一位借“1”当10，10减4，差的个位上写6。那么，十位上、百位上应该填几呢？
　　随即，教师请学生4人一组开展合作学习。通过讨论，有的认为：十位上填4，百位上填9；有的认为十位上填3，百位上填8；还有的认为十位上填4，百位上填8。那么，十位上、百位上究竟应该填几呢？为什么？教师再次要求学生开展讨论，进行合作学习：看哪一组、哪一位同学讲得有道理。同学们经过两次合作学习，终于理解了“连续退位减法”的算理：十位上既要向前一位借“1”，又要借给后一位“1”，所以十位上应该是填3，百位上应该是填8。他们经验证也证实了这种计算方法是正确的。
　　8．数形结合。数学主要是研究数与形的学科，学生的思维特点又处于形象思维向抽象思维过渡的阶段。因而，数形结合是学生最喜欢、最常用的一种学习数学的方法。
　　例如，用“形”来帮助学习“数”。当学生理解了正小数、正整数都是正数，负小数、负整数都是负数后，教师直接请学生比较下列每组数的大小：
　　①1.2和-2.4②-3.5和0
　　③-2.4和-3④-3和-3.5
　　学生先画出一数轴，再在上面标出4组数中的各个数。

　　然后，他们受到数轴及数轴上的数的刺激，发现正、负整数及零的大小比较方法（负整数＜零＜正整数，或在数轴上表示的数是左小右大），同样适用于正、负小数及零大小的比较，进而也找到了正、负小数及零大小比较的方法，并得出：
　　①1.2＞-2.4 ②-3.5＜0
　　③-2.4＞-3 ④-3＞-3.5
　　又如，用“数”来帮助学习“形”。学生学习长方形的面积，先是数面积，后来发现用算“数”（长×宽）的方法能很快地知道长方形的面积。
　　学生学习活动中的学习方法，并非只是某一种学习方法在起作用，而往往是几种方法在起共同的、相互的作用，“一法为主，多法并重”的学习活动，才更有助于学生实现学习心理的相互作用、互为转化，获得学习成功。学生在学习活动中，一方面要有较为充裕的学习时间，因此，教师要舍得花时间让学生去学习；另一方面，需要相互之间商量议论和合作学习，这样才容易互为启发、补充，形成学习方法和数学思想。
　上海市青浦县教师进修学校 岳德明执笔　
（本课题组成员：何雪芳 程芳 严玲莘彪 梅丽娜 陈兴元 范红 岳德明）