从一个土豆大小谈起

tianya

这是一堂数学复习课。同学们根据复习内容——立体图形的体积计算，早把学具一一作了准备。有的拿来 了长方体的铁盒，有的拿来了正方体的纸盒，有的拿来了圆柱形的铁桶，有的拿来了圆锥形的量杯……谁知老 师却提来半桶水和一包细砂土，还带来一架称重量的天平，弄得同学们“丈二和尚摸不头脑”，纷纷议论“老 师要干什么呀？”“是不是换复习内容了？”……这时，老师从兜里拿出一个土豆儿，高高举起来，说：“今 天咱们复习立体图形的体积计算，看谁能用学过的知识，计算出土豆儿的体积？”说着，神秘地看了看大家。
    顿时，教室里静了下来。谁都知道，我们虽然学过正方体、长方体和圆柱体、圆锥体的体积计算，但是土 豆儿，方不方、圆不圆，凸凸凹凹，是个不规则的形体，那怎么计算它的体积呢？大家你看看我，我看看你， 一时，谁也不知怎么办？
    正当同学们困惑不解的时候，老师拿起土豆儿，“咚”的一声，将它放入长方体的铁罐内，然后微笑着， 用期待的目光看着同学们。
    “老师，我想出办法了！”小昆兴冲冲地走上讲台，他先用尺子从里面量出长方体铁罐的长（a）、宽（b ）和高（h[,1]）， 然后将土豆儿放入罐内，并用细砂把铁罐填满。他怕砂子表面不平，还用尺子沿罐边将砂 面刮平。
    这时，有人插话：“要是知道砂子的体积，土豆儿的体积就等于铁罐的容积减去砂子的体积。”
    小昆看了看插话的同学，继续有条不紊地操作。他小心翼翼地将土豆儿从罐内取出，唯恐带出砂子，接着 再用小三角板将罐内的砂面刮平，并测出砂面的高度（h[,2]）， 然后对大家说：“罐内砂面的高度由h[,1]降 到h[,2]，就是因为取出土豆儿的缘故，所以，土豆儿的体积可以这样计算。”说着，就在黑板上板书起来。
    土豆儿体积＝长方体铁罐容积－铁罐内砂子体积
    ＝V[,1]－V[,2]＝abh[,1]－abh[,2]
    “其实，小昆的计算方法可以改进”。还是刚才插话的那位同学，指着小昆的板书说：“abh[,1]－abh[, 2]，就是ab（h[,1]－h[,2]），也就是说，土豆儿的体积只要用铁罐的底面积乘以砂面的高度差就可以了。”
    “砂子面的高度差就是从罐内取出土豆儿后，砂面下降的高度，所以，计算土豆儿的体积，只要用长方体 铁罐的底面积乘以砂面下降的高度就可以了。你们看——”大为同学不仅进一步改进了计算方法，而且还在黑 板上画出示意图。
    附图{图}
    土豆儿体积＝长方体铁罐的底面积×砂面下降的高度
    V＝abh[,3]
    这时，教室里的气氛热烈起来了。
    “要是铁罐不漏水的话，用水代替砂子，照小昆的方法，也可以计算出土豆儿的体积。”
    “用小昆的方法，如果用正方体的容器，也可以计算土豆儿的体积。”（见图）
    附图{图}
    土豆儿的体积＝正方体容器的底面积×砂（水）面下降的的高度
    V＝a[2]h
    “只要容器的容积大于土豆儿的体积，都可以用上面的方法。你们看，我用这个铁盒也照样可以。”二刚 说着，高高地举起他带来的口小底大的铁皮盒。
    这时，老师一边在黑板上画示意图，一边鼓励二刚：“可以。请你具体讲一讲。”
    附图{图}
    “虽然这个容器的底儿是长方形，但是计算容积时，应该用它的横截面的面积，也就是梯形的面积乘以容 器的长。”说着，他干净利索地操作起来——放入土豆儿，填满砂子，刮平砂面，取出土豆儿，刮平盒内砂面 ，测量容器的横截面上底（a），下底（即砂面的宽度）（b），砂面下降的宽度（h），及容器的长（f）。然 后，板书计算方法：
    土豆儿体积＝横截面面积×容器的长度
    V＝1／2（a＋b）hf
    “测量横截面的面积，也可以用中位线乘以高。”又有人插话。
    “当然可以！”二刚指着容器内，取出土豆儿后，横截面上空出部分所呈现的梯形，胸有成竹地说，“只 要测出中位线（m）和高（h）就可以。”
    土豆儿体积＝砂面下降横截面面积×容器的长
    V＝mhf
    “刚才，同学们都利用计算直棱柱体积的方法，巧妙地解决了土豆儿体积的计算。大家想一想，还有别的 方法吗？”老师指着同学们带来的其它学具，启发大家。
    这次，小刚同学抢先发了言：“我利用圆柱形的有机玻璃桶，照样可以计算土豆儿体积。”
    “那你试试看。”老师说。
    小刚自信地走上讲台，开始操作：他把圆柱形的有机玻璃桶举到圆柱形的玻璃缸上方，用水将桶注满，然 后把土豆儿轻轻地、慢慢地放进桶里。这时，桶内的水沿着桶的边沿流入缸内，直到水滴停止。接着他从里面 测量了玻璃缸的底面直径和缸内的水面高度，然后，在黑板上板书：
    土豆儿体积＝排出的水的体积
    ＝玻璃缸的底面积×流入缸内的水面高度
    V＝sh
    ＝πr[2]h
    ＝π（d／2）[2]h
    “这样测量不准确！”
    “可不，桶的侧面还粘有不少水呢！”不少同学提出了意见。
    老师走上讲台，亲切安慰了小刚几句，然后对大家说：“谁能做得准确一些呢？”
    话音刚落，小昆再次走上讲台。他先把土豆儿放进桶内，然后小心地将桶注满水，接着用两把小尺子轻轻 地插入桶内，去夹土豆儿。虽然动作很小心，但是桶内的水还是溢出一点儿，不过量很少，而且他不再测量流 出的水的体积，而是举起取出土豆儿后的桶，对大家说：“刚才满桶的水，现在桶内水面下降了。这下降部分 的体积，就是土豆儿的体积。”小昆见同学们都在认真听讲，接着说：“所以，只要从里面量出桶底的直径和 取出土豆儿后水面下降的高度，就可以算出土豆儿的体积了。”
    正当小昆拿起尺子要测量时，大为高高地举起右手发言：“我认为小昆的测量方法还是不够准确。”
    “那你来——”
    大为大大方方地走上讲台，先往圆柱形的空桶内注进半桶左右的水，并用红粉笔在桶的外侧面做上水面高 度的记号，然后对大家说：“桶内注水的多少，得估计能没过整个土豆儿。”接着他轻轻地将土豆儿放地桶里 ，眼看着桶内的水面很快上升，直到土豆儿整个浸没在水中。这时，他拿起尺子测量桶内水面上升的高度（h） ， 桶底的底面直径（d）。最后，大为转过身去，在黑板上画出示意图，并写出计算土豆儿体积的方法。
    附图{图}
    土豆儿体积＝桶内水上升的体积
    ＝桶的底面积×水上升的高度
    V＝sh
    ＝πr2h
    ＝π（d／2）[2]h
    同学们都一致认为：大为的计算方法既简单又准确，不过也有人说：“用大为的办法，必须在放进土豆儿 之前，预先估计到先注入桶内的水，能完全浸没整个土豆儿，否则就更不准确了。”大为听了，连连点头说“ 是”。

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“下面请二林同学发言。”随着老师的话音，二林高高地举着圆锥形的玻璃容器，神气地问：“你们能用 它来测量土豆儿的体积吗？”
    “那你会吗？”同学们反问。
    “请大家看——”二林先在黑板上画了两幅示意图，然后指着左边的图对大家说：“这是照小昆方法，先 将土豆儿放入容器内，用砂子把容器填满，刮平砂面，再取出土豆儿；然后从里面测量圆锥形容器的底面直径 （d[,1]）、高（h[,1]），测量取出土豆儿后容器内砂面的直径（d[,2]）、高（h[,2]）。这样，就可以利用 圆锥体积计算公式，求出土豆儿的体积。”
    附图{图}
    土豆儿体积＝圆锥形容器的容积－取出土豆儿后容器内砂子体积
    V＝1／3s[,1]h[,1]－1／3s[,2]h[,2]
    ＝1／3πr[2][,1]h[,1]－1／3πr[2][,2]h[,2]
    ＝1／3π（d[,1]／2）[2]h[,1]－1／3π（d[,2]／2）[2]h[,2]
    接着，二林指着右边的示意图，说：“这是照大为的方法，先在容器内注入一定量的水（能整个没过土豆 儿），从里面量出水面高度（h[,1]）和水面的直径（d[,1]），然后再放入土豆儿，待土豆儿完全被浸没，再 从里面量出水面上升的高度h[,2]）和直径（d[,2]）。这样也可以计算出土豆儿的体积。”
    附图{图}
    土豆儿体积＝放入土豆儿后容器内的体积－容器内原有的水的体积
    V＝1／3s[,2]h[,2]－1／3s[,1]h[,1]
    ＝1／3πr[2][,2]h[,2]－1／3πr[2][,1]h[,1]
    ＝1／3π（d[,2]／2）[2]h[,2]－1／3π（d[,1]／2）[2]h[,1]
    二林的话刚讲完，二刚边举手边站起来，说：“为什么不直接利用底面积乘以砂面下降或水面上升的高度 ，来计算呢？”
    二林指了指图上——取出土豆儿后，砂子下降部分和放入土豆儿后，水面上升部分。“这——”一时不知 道说什么好。
    这时，老师走上前，在黑板上另行画出二林所指的部分——
    附图{图}
    ，说：“大家还记得‘趣自旋转来’一文中提到的圆台吗？现在我们能理解到二林的程度就可以了。不过 ，大家在计算1／3π（d[,2]／2）[2]h[,2]－1／3π（d[,1]／2）[2]h[,1]时，可以把1／3π提出来，使计算 简便些。那么，下面请大家再想想，还有别的计算方法吗？”说着，指了指讲台上的天平，对大家说：“我还 可以用它来计算土豆儿的体积呢！你们行吗？”
    教室里暂时安静下来。
    “老师，我行！”随着一声自信的回答，小玲走上讲台，先把土豆儿放在平天上称出重量，然后用小刀切 出棱长1 厘米的小方块土豆儿——修改了好几次才切成，并称出这小块的重量，就在黑板上板书：
    土豆儿体积＝土豆儿重量÷每立方厘米的土豆儿重量
    “其实，用不着非切成小正方体。”大为补充，“只要切成长方体的小块，量出它的长、宽、高，称出它 的重量就可以。”
    附图{图}
    老师对同学们的发言非常满意，不时地点头称好。
    最后，老师作总结：“同学们，刚才我们通过计算土豆儿的体积，系统地复习了立体图形的体积计算。课 下，请大家思考下面两个问题：
    （1）柱体（棱柱和圆柱）的体积计算与哪两个基本因素有关？
    （2）物体的体积大小与它的形状变化有没有关系？ 与它的重量之间有没有关系？