有效教学离不开错误这一资源

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【教学片断】
    师：下面分组做实验，在空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱中，看看几次正好装满。
    小组代表在教具箱中取实验用的空圆锥圆柱各一个，分头操作。
    师：从倒的次数看，两者体积之间有怎样的关系？
    生1：我们将空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱中，三次正好装满。说明圆锥的体积是圆柱的三分之一。
    生2：三次倒满，圆锥的体积是圆柱的三分之一。
    生3（迟疑地）：我们将空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱中，四次正好装满。说明圆锥的体积是圆柱的四分之一。
    生1：是三分之一，不是四分之一。
    生5：我们在空圆锥里装满沙子，然后倒入空圆柱中，不到三次就将圆柱装满了。
    ……
    师：并不都是三分之一呀。怎么会是这样！我来做。（教师从教具箱中随手取出一个空圆锥一个空圆柱）你们看, 将空圆锥里装满沙子，倒入空圆柱里。一次，再来一次。两次正好装满。圆锥的体积是圆柱的二分之一。
　　学生议论纷纷。
    生6：老师，你取的圆柱太大了。（教师在他的推荐下重新使用一个空圆柱继续实验，三次正好倒满。）学生调换教具，再试。
    师：什么情况下，圆锥的体积是圆柱的三分之一？
    生：等底等高。
    生：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。

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【案例反思】
　　《圆锥的体积》的教学多是先由教师演示等底等高情况下的三分之一，再让学生验证，最后教师通过对比实验说明不等底等高的差异，而以上教学，将实验的环节复合，在看似混乱无序的实践中，增加了学生对实验条件的辨别及信息的批判。学生学的主动，经历了一番观察、发现、合作、创新的过程，既圆满地推导出了圆锥的体积公式，又促进了学生实践能力和批判意识的发展。而这些目标的达成完全是从正确对待“错误”开始的。
　　在听课过程中，笔者不由想起一篇介绍数学家希尔伯特的文章。文章中介绍说希尔伯特在海德尔堡大学求学时，他的导师微分方程专家拉撒路·富克斯，课前常不大做准备，对要讲的内容，总是在课堂上现想现推．于是常常发生这样的情形，某个问题在黑板上推不下去了，富克斯就再想另外一种方法，有时一连要换好几种方法，但最后总能推导出结果来．我国著名的数学方法论专家徐利治教授认为这一点对希尔伯特的成长肯定起过很好的作用．这样的课，使希尔伯特们“得到一个机会，瞧一瞧最高超的数学家思维的实际过程”,从中领悟到一个数学家是如何思考问题的，这种包括几经碰壁终于找到解法的探索过程在教科书上无论如何是看不到的．把思考问题的实际过程展现给学生看，这样做实际上是非常富于启发性的．学习数学不仅要学会这道题的解法，而且更要学会这个解法是如何找到的．
　　教学不仅仅是告诉，更需要经历。真正关注学生学习的过程，就要有效利用错误这一资源，教师要勇于乐于向学生提供充分研究的机会，帮助他们真正理解和掌握数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，这样，我们的课堂才是学生成长和成功的场所。

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错是成的关键