人教版《数学》九年级（上）《圆周角》获奖课教学设计与说明说明

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资料  《圆周角》教学设计说明
湖北省孝感市孝南区实验中学　王广辉
一、本课教学内容的本质、地位、作用分析

本课是人教版《数学》九年级（上）第24章：圆周角（第1课时），是在圆的基本概念和性质以及圆心角概念和性质的基础上对圆周角的性质的探索，圆周角的性质在圆的有关证明、作图、计算中有着广泛的应用，在对圆与其他平面图形的研究中起着桥梁和纽带的作用．

二、教学目标分析

根据九年级学生有较强的自我发展的意识，较感兴趣于有“挑战性”的任务等心理特点及新课程标准的学段目标要求，结合学生的实际情况制订以下三个方面的教学目标：

1、知识与技能：使学生掌握圆周角的概念、圆周角定理及其推论，能准确运用圆周角定理进行简单的证明和运用，有机渗透＂由特殊到一般＂的思想、＂分类＂的思想、＂化归＂的思想．

2、过程与方法：引导学生能主动地通过：观察、实验、猜想、再实验、证明圆周角定理，培养学生的合情推理能力、实践能力与创新精神，提高其数学素养．

3、情感、态度与价值观：创设生活情景激发学生对数学的＂好奇心、求知欲＂；营造＂民主、和谐＂的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验．培养学生以严谨求实的态度思考数学．

三、教学问题诊断

学生学习新知识过程中可能存在的困难及应对预案：

学习困难之一： 圆周角定义与辨析．圆周角的两个特征，特别是圆周角的两边要和圆相交，是学生容易忽视的地方．

应对预案：采用对比教学，对比圆心角的定义，知识迁移得到圆周角的定义，但应强调圆周角的两边要和圆相交．接下来通过一组概念辨析练习题，学生能准确、深入理解圆周角的概念，明确定义中的两个条件缺一不可．

学习困难之二：圆周角定理的证明．

圆周角定理的证明中，难点有三处：

①圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部；

②同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系的结论；

③圆周角定理中三种情形的证明．

教学应对预案：

难点①的分散：在学生明确圆周角的概念后，让学生在事先所发学案中动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系，为后面证明中的分类讨论作好铺垫．

难点②的分散：学生合作交流，通过测量事先所发学案中同弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想它们之间的数量关系，然后教师再利用电脑测量来验证，让学生进一步明确它们之间的关系，从而得到命题：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

难点③的突破：从特殊的位置关系——圆心在圆周角的一边上的情形入手，先证明∠A=∠BOC．再把这种情形作为基本图形，将其它两种情形转化为第一种情形．为进一步帮助学生理解，我把第一种情形中圆内的图形涂上红色，形象化为生活中学生熟知的物体——一面小红旗，然后让学生在另外两种情形中寻找、构造小红旗，再利用基本图形所对应的基本结论，探求圆周角与圆心角之间的关系．

学习困难之三：圆周角定理中等圆、等弧情形的补充说明．

教学应对预案：我通过几何画板课件展示，让两个等圆移动重合为一个圆，然后再旋转，让两段等弧重合为一段弧，这样让学生体会到，等圆中等弧的问题可以转化为同圆中同弧的问题．

学习困难之四：圆周角定理推论的理解．

教学应对预案：通过口答竞赛，应用圆周角定理，由学生分析出，当圆心角是180°时，圆周角应为90°，再通过电脑动画展示，当圆心角逐渐变为180°时，对应的圆周角逐渐变为90°，从而得到圆周角定理的推论．动画展示，形象直观，促进学生理解．

四、本节课的教法特点以及预期效果分析

１．教学程序严谨、流畅．教学从实际生活入手，创设问题情境，对比圆心角引出圆周角，辨析圆周角，画圆周角，测量圆周角，探究圆周角的性质，应用圆周角的性质解决问题。教学中注重激发学生的求知欲和学习兴趣，并在运用数学知识解答问题中让学生获得成功的喜悦．

２．培养学生合作交流及动手操作能力．学生亲自动手，利用度量工具进行实验，探究出问题的结论，注重新知识的生成，调动了学生的学习积极性，培养了学生的归纳能力和合作意识．

３．充分体现学生的主体作用，发挥教师的主导作用．在圆周角定理的证明过程中，教师引导学生循序渐进，逐步突破难点，证明圆周角定理及其推论，验证其猜想的正确性，激发学生学习数学的兴趣与成就感．

４．教学过程中渗透数学思想的教学．圆周角定理的证明体现了数学中的分类讨论的思想；在证明中，后两种情形都转化成了第一种情形，这体现数学中从特殊到一般的化归思想．从中让学生体会到分析问题和解决问题的数学思想方法．

５．充分运用电脑多媒体技术．利用几何画板制作课件，直观、动态地展现出几何对象的位置关系、数量关系及运动变化规律，使学生对所学知识清楚易懂．

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《圆周角》教学设计



湖北省孝感市孝南区实验中学　王广辉

教学目标

    知识与技能  理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并会运用它进行论证和计算.

    过程与方法  经历圆周角定理的证明，使学生了解分类证明命题的思想和方法，体会类比、分类的教学方法.

情感、态度与价值观  通过学生主动探索圆周角定理及其推论，合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦及数学的应用价值.

教学重点难点

    教学重点  圆周角的概念、圆周角定理及其应用.

    教学难点  圆周角定理的分类证明.

教学过程

一、情境导入

足球场上的数学  在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻,当他冲到A点时，同伴乙已经冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.问哪一种射门方式进球的可能性大？(提示：仅从射门角度考虑，射门角度越大越好.)

设计意图：留下悬疑，埋下伏笔，激发兴趣.

二、交流探究

1、圆周角的概念

   观察图形　∠APB的顶点P从圆心O移动到圆周上（电脑动画）.

教师指出∠APB是圆周角.由圆心角顺利迁移到圆周角.

   学生对比圆心角的定义，尝试给出圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫圆周角.

   辨析概念 　判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.

   思考特征 圆周角具有什么特征？

明确结论：①顶点在圆上；②两边都和圆相交.

设计意图：学生定义圆周角，辨析圆周角，掌握圆周角概念.

2、动手操作

   学生先动手画圆周角，再相互交流、比较，探究圆心与圆周角的位置关系，并请学生代表上讲台用投影展示交流成果.教师再利用电脑，动画展示圆心与圆周角可能具有的不同的位置关系，并由学生归纳出圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：

①     圆心在圆周角的一边上；

②     圆心在圆周角的内部；

③     圆心在圆周角的外部.

设计意图：学生动手画圆周角，进一步熟悉圆周角，另一方面，预先探究出圆心与圆周角的三种位置关系，将难点分散，为后面证明圆周角定理作铺垫，降低证明难度.

3、实验探究

   探究问题 同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？

   试验操作

学生利用手中学案，当圆心角分别是锐角（720）、钝角（1100）和平角（1800）时，动手测量出弧BC所对的圆周角∠BAC和∠BDC的度数，比较它们的大小，然后在优弧BAC上任意取一点E，测量∠BEC的度数，探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系.

    猜想结论 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

    电脑验证 教师改变圆心角∠BOC的度数，再通过电脑测量弧AB所对的圆周角∠BAC和∠BDC的度数，进一步验证学生的猜想.

设计意图：学生合作交流，探究并猜想同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系，教师再通过电脑测量来验证，让学生进一步明确它们之间的关系.

4、证明定理

   命题分析  命题：（电脑显示）同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

学生说出已知、求证.

   问题：圆心与圆周角的三种位置关系中，哪一种位置关系最特殊？此时你能不能证明∠A=∠BOC？

定理证明学生证明第一种情形（圆心在圆周角的一边上的情形）：

作直径AD.

∵OA＝OC

∴       ∠A＝∠C

又∵∠BOC＝∠A＋∠C

∴       ∠BOC＝2∠A

即∠A＝∠BOC

    利用基本图形（小红旗）及其对应的基本结论，引导学生证明当圆心在圆周角内部时的情形：

∵∠BAD＝∠BOD，∠CAD＝∠COD

∴∠BAD＋∠CAD＝∠BOD＋∠COD

即∠BAC＝∠BOC

    情形（3）的证明推导，学生自己完成，教师用电脑展示.

电脑动画展示：等圆中等弧的问题通过移动、旋转转化为同圆中中同弧的问题，从而得到圆周角定理：

圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

进一步，由学生分析出，当圆心角是180°时，圆周角为90°，再通过电脑动画展示，当圆心角逐渐变为180°时，对应的圆周角变为90°，从而得到圆周角定理的推论：

圆周角定理推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

设计意图：教师引导，学生证明出圆周角定理及其推论，验证其猜想的正确性，激发学生学习数学的兴趣与成就感.

三、应用巩固

    例1 如图，如果∠A=60°，则∠BOD=____°，∠BDC=____°

例2 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是一定相等的角？

拓展 若∠1=∠2=60°，判断△BCD的形状并证明你的结论.

设计意图：及时巩固本节课所学的核心知识，并注重知识的延伸，拓宽学生思维的深度和广度.

四、解决问题：

解决问题情境中的足球问题：过点P 、B、Q三点作圆，建立相应数学模型，学生分析题意，给出问题的答案：

解法1：连结PD.

∵∠B=∠PDQ, ∠PDQ>∠A

∴∠B>∠A

∴将球传给乙,让乙射门好.

解法2：连结CQ.

∵∠B=∠PCQ, ∠PCQ>∠A

∴∠B>∠A

∴将球传给乙,让乙射门好.

设计意图：前后呼应，学以致用，解决问题.

五、总结拓展

1．本节学习的数学知识是圆周角的定义和圆周角定理及其推论.

2．本节学习的数学思想是分类讨论和转化思想.

设计意图：自我小结，梳理知识，培养学生的归纳、概括能力，养成良好的学习习惯.

六、作业巩固

设计意图：运用本节课所学知识进行检测与反馈，进一步巩固、掌握所学新识.