改变，从学具开始

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新课标将“动手实践、自主探究与合作交流”作为学习数学的重要方式，要求组织学生亲历“操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证”等活动，从而让他们获得知识、积累活动经验、感悟数学思想。如何扎实地开展操作活动，使学生养成良好的数学操作习惯，在动手实践中又能动脑思考、主动合作?笔者在实践中发现，学具不失为一个突破口。作为教学活动的重要载体，学具发挥着从形象走向抽象的桥梁作用。改变，不妨从学具开始。

    一、学具变化多端——操作中促进思考

    动手操作的目的在于让学生借助直观的活动来实现和反映其思维活动，但是如果没有思维的参与，动手操作就失去了它的价值。能否借助丰富多彩、变化多端的学具促进学生的主动思考呢?以上想法的产生源于一次不经意的失误。

    教学“圆柱和圆锥”，教材附页提供了等底等高的圆柱与圆锥，因为在教学“圆柱圆锥特征”时就布置学生制作了书上提供的学具，等到要研究圆锥体积时，好多学生的学具都找不着了。“怎么办?”我给那些大意的孩子支招：“模仿别人的学具自己做一套圆柱圆锥不就得了。”学生们欣然准备去了。放学后，我也开始准备起这节课来。猛然间发现，布置任务时疏忽了重要一环：制作的圆柱和圆锥必须是等底等高才行。

    第二天，仍按照预定计为1进行“圆锥的体积”一课的教学。  出示底面积相等、高也相等的圆柱与圆锥，帮助学生理解条件“底面积相等、高相等”，然后请学生估计：这个圆锥的体积是圆柱的几分之几?学生纷纷猜测1/2，少数人认为是1/3。

    我借势继续下面的教学：“圆锥体积到底是圆柱的几分之几?可以用什么方法来验证你的估计?”学生纷纷嚷道：“做实验!”“在圆锥容器中装满沙子，倒入圆柱容器中，看看需要几次才能倒满。”学生井然有序地实验，结论很快就得出了：“圆锥体积是圆柱体积的1/3。”

    还没等我开口，一个学生像发现新大陆似的，举起了同桌数学课代表的圆柱嚷开了，“不对不对，这个圆柱里已经装了十二杯沙子了，才装了一半!”我接过这一组容器一看，原来，她做了一个小圆锥、一个极高的大圆柱。学生们都乐了，笑过之后是沉思。我也故弄玄虚：“咦，怎么装了十二杯才到一半啊，看来圆锥体积不是圆柱的1/3嘛!”很快，一只只小手举了起来：“圆锥和圆柱必须是底面积相等、高相等才行!”“在底面积相等、高相等的情况下，圆锥体积才是圆柱体积的1/3!”孩子们满怀激动地说着自己的新发现，看来，等底等高的印记已悄悄刻上学生心头了。

    回顾这一片段，原以为要颇费一些周折的难点，却在不经意间攻克了。我暗自庆幸，因为一时的考虑不周全居然有意外的收获。试想，如果课前教师周密部署，学生全准备了等底等高的圆柱圆锥，操作是整齐划一的，难点的突破就可能很平淡，学生理解未必深刻。恰恰是课代表的这一错误资源——“十几杯才装到圆柱一半”的巨大反差，使得学生情绪激动，思维不断碰撞，探索问题的热情高涨。

    “无心插柳柳成荫”，但一次的巧合未必能说明每次的精彩。咀嚼这次事件，又给我新的启示：操作中要引发数学思考，诱发“问题”是一个很好的手段。没有问题，学生感觉不到问题的存在，他们也就不会去深人思考，那么操作活动也就只能是表层的和形式的。如何在操作中产生问题、促进思考?可以从学具的变化着手，提供的学具有时不需要整齐划一，而是费点心思、有心“为难”，让学生面临困境，从而唤起学生探索解决问题的需求。

首先，在变式中求同。即从不同角度组织学具，变换事物的非本质特征，在各种表现形式中突出事物的本质特征，从而使学生对概念的理解达到越来越高的概括程度。例如“三角形的认识”一课，提供了丰富的学具让学生“做”三角形，学生能产生多种方法：用小棒摆、在钉子板上围、在方格纸上画，还可以用彩纸剪、折、拼等，借助如此丰富的创作素材展开思考：“做的三角形有什么相同之处?”分析各种做法的共同点：如用三根小棒、三段细绳、三条线段……才能“做”成三角形——三角形有三条边；小棒、细绳、线段……必须两两相连——三条线段必须首尾依次相连……通过变式学具，学生主动思考变化中的不变因素，积极构建对图形的比较深入的认识。

其次，在反例中求异。指故意变换事物的本质特征，使之质变为与之形似的其他事物，在比较与思辨中反衬和突出事物的本质特征，从而更准确地认识概念、发现规律。如探索“三角形三条边长度的关系”，倘若一开始就提供小棒，让学生任  选三根围一围，那么对学生而言，只是教师外部施加给他们的要求，学生未必有思考的欲望。不妨在实验之前就提供反例、引发冲突，让学生感受到原先所认为的“只要有三根小棒就能  围成三角形”这一想法出问题了，撩拨起学生欲罢不能的强烈愿望，进而借助学具操作实验，使他们能边操作边主动思考“这三根小棒是否能围成三角形、小棒长度间有什么关系”，在操作中不断思考、探索、发现。

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二、学具藏踪匿迹——操作中激发想象

动手实践不能始终停留于实际操作的层面，目标更要指向实现活动的内化，活动内化的方式之一就是想象。如果能在直观操作的同时展开数学想象，往往能更好地培养学生的空间想象能力，发展空间观念。如何培养学生在操作中自觉融入想象的习惯?把学具隐形化，不失为一种方法。

方法一：操作前隐形。例如“旋转”一课探索“把三角尺绕O点旋转90°”，先让学生想象一番：三角尺绕O点旋转90‘后会是什么样子的?然后把想象后的样子画出来，在草稿纸上画个草图。最后操作学具三角尺验证。像这样，操作之前学具的适当隐形，就把内隐的想象推到了前台，使得学生头脑中的所思所想充分外显、表露无遗。

方法二：徒手画“学具”。在应用“空间与图形”知识解决实际问题时，常常需要大量的现实原型作支撑。面对每一个新的问题，不可能也没有必要每次都直观感知一番、亲眼目睹一番，这就需要学生较强的空间想象能力的加入。直观学具的渐渐淡出，空间想象力的逐步加强，使得我们努力寻找过渡桥梁，让学生稳稳地实现跨越。以下例子或许能窥见一斑。

教学“圆柱和圆锥的体积”后，碰到了这样一题：一个圆柱  和圆锥的底面积相等，体积也相等，如果圆柱的高是18厘米，圆锥的高是(    )厘米。如何让每个学生都深刻理解圆柱与圆锥体积之间的联系、把握其中的变与不变?我灵机一动，想到了比划这一招。“这两个圆柱和圆锥的底面积相等，如果它们的高相等，体积有什么关系?”我做了两个圆形手势，犹如“托”着两图形，“圆锥体积是与它等底等高的圆柱的1/3。”学生回答得很爽快。

我继续比划，并放慢速度让每个学生都跟上我的比划：“如果它们的底面积相等，要使它们的体积相等，有办法吗?”学生做了个拔高的手势，“变长些!”“也就是把圆锥的高扩大3倍!”“还有别的办法吗?”我请学生站起来，演示给同伴看。他使劲地做了个压缩的动作，“把圆柱的高缩小3倍。”

我继续追问：“那还有别的办法使它们的体积相等吗?”思考片刻，学生纷纷想站起来“演示”：“让圆柱和圆锥的高相等，要使体积也相等，可以把圆锥的底面积扩大3倍，或者把圆柱的底面积缩小3倍。’’犹如哑语伴着解说般，全班学生齐刷刷地动口说着，又动手演示着，仿佛真看到了一个个高矮胖瘦的圆柱圆锥。   

其实在立体图形的教学中，蕴藏着大量的想象资源。借助手势，学生比划一个个虚拟的立体图形，将脑海中模糊的图形轮廓，清晰地呈现于眼前。随后，面对自己能够清晰感觉到的图形模样，顺确定解决问题的方法。以手“画学具”，充分把所想象的东西外显，帮助学生建构了解决问题所需要的想象空间。长此以往，以比划促想象，把抽象的东西以直观的形式表达，提升了学生的空间观念。   

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三、学具短斤缺两——操作中唤醒合作

    特级教师魏洁老师的一次讲座中谈到，合作的价值在哪儿?在需要合作的时候体现，因此，就要把对合作的要求变成学生的一种需要，学具的改变能把这种要求变为需要。确实，在许多数学课上，学生使用着教师精心准备的许多学具，他们要做的事是选择——选择自己喜欢的学具，而不是合作。如何在操作中唤醒学生的合作意识?

    教学“面积单位”一课，为了让学生体会“平方分米”这一面积单位在实际中的运用，我让学生进行了这样的操作练习：要求同桌合作，用1平方分米的纸片测量课桌面的面积。刚操作了一会儿，教室里就骚动起来了，原来同桌两人手中的10个1平方分米的纸片已摆完，面对未摆满的课桌，学生们没辙了，有的摊着空手面面相觑，有的用求救的眼光注视着我，有的索性叫起来：“老师，不够了……”   

    我微微一笑：“两个人的学具确实不够用，能不能想想办法呢?”聪明的学生马上领悟，连忙招呼前后左右的同学：“来，我们合作……”受到同伴的启发，教室里学生们无形地分成了四人一组、五人一组……他们分工合作各就各位，有沿着长摆的，有沿着宽摆的，多媒体教室的课桌面还真够大的，四个人的学具不够，就再招呼一个人合作，忙碌了好一会学生们渐渐平息下来。

    好家伙，有些桌面密密麻麻都摆满了，有的却只沿着长和宽各摆了一行。我不动声色让学生汇报操作结果，答案都是64平方分米。对于摆满的结果无可非议，我让没摆完的小组说说他们是怎么摆的。该学生回答：“原来我们四个人也是这么摆的，40个摆完还不够，可又没纸片了，我们就琢磨着有没有好方法，后来想到其实只要沿着长摆16个，沿着宽摆4个，就是需要有4个摆长那么多的纸片，所以面积就是沿着长摆的个数16乘4，64平方分米。”学生们听得连连称是，有的还按照建议悄悄地修改方案……

    备课时我就考虑：到底准备多少个1平方分米的正方形纸片比较合适?如果准备足够多的学具，单枪匹马的操作可能比较费时，并且第二种创新摆法可能很难显山露水。学具提供得少些，意在当两个人纸片不够摆时，唤醒学生主动寻求合作的需要，当有小组发现多个人的学具还不够摆时，就萌发了创新的摆法，这恰恰是合作学习最美的声音。

    合作学习其核心就是学生是否具有强烈的合作学习的需要。心理学家舒兹认为，每个人都需要别人，都具有人际之间交往的心理要求。因此，合作活动中，教师的主导作用就在于唤醒学生本身固有的合作，b理需求，使学生把“要我合作”变成“我要合作”。不妨在学具上卖点关子——准备的学具“短斤缺两”、“你有我无”，让学生自然产生必须合作才能完成任务的合作内驱力，这样合作就从学生的学习需要中展开。一旦激起了合作的欲望，操作活动就从形式上的合作走向了真正实质意义上的合作。

    综上所述，如果在操作活动中学生能积极思考、充分展开想象、主动寻求合作，那么我们谓之养成了良好的数学操作习惯。而学具的小小变化，恰恰能在操作活动中促进学生主动思考、激励无限想象、唤醒合作意识。习惯养成，就从学具的改变开始。