小学数学《鸡兔同笼》听课随记

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听课记录 一、揭示课题。

提问：知道“鸡兔同笼”是什么意思吗？

（介绍背景资料）鸡兔同笼是一种数学问题（板书：问题）。早在1500多年以前，我国的古典著作《孙子算经》中就记载着这样的数学趣题：今有鸡兔同笼，上有8头，下有22足。问鸡有几只？兔有几只？

提问：题目中告诉了我们哪些信息？大家会解答这个问题吗？动笔试一试吧。不能解决的，也可以同桌先交流交流。

二、尝试探究。

1．自主练习，展示做法。

（1）生1：假设让所有的鸡和兔都提起1只脚，再让它们提起1只脚，鸡就没有脚了，兔子还有2只脚，总共余下6只脚，就有6÷2=3只兔子，总共有8个动物，有8－3=5只鸡。

算式：     兔：（22－8×2）÷（4－2）=3（只）

           鸡：8－3=5（只）

师（追问）：8×2表示什么？对8×2有没有不同的看法？

生2：我假设全部是鸡，8只鸡就有8×2只脚，而22减去16还多出6只，也就是有些兔也当成鸡了，一只兔当成一只鸡就会少算2只脚，再用6÷2=3，就是兔有3只，鸡有8－3=5只。

师：大家听懂了吗？他是把鸡和兔全部假设成鸡了，这种方法（板书：方法）很不错。

生3：我是全部假设成兔，总共有8×4－22=10（只）脚，一只鸡当成一只兔就会多算2只脚，再用10÷2=5（只），就是鸡有5只，兔有8－5=3只。

提问：这两位同学的方法有什么相同之处吗？（板书：假设）

生4：鸡有2只脚，兔有4只脚，假设让鸡提起1只脚，让兔提起2只脚，只留下11只脚在笼子的地面上，兔子的总脚比头数多出几只就是兔子的头数，所以有11－8=3只兔，8－3=5只鸡。

（板书算式）   兔  22÷2－8=3（只）

（2）提问：让二年级的同学来做鸡兔同笼，他们会怎么做？

生1：画图（课件演示逐渐添脚的过程）

生2：画表格（点了一下，未展开教学）

提问：这两种方法与前面的方法相比，有没有共同的地方？（强调“假设”）

2．资料介绍，沟通联系。

（1）你知道古人是如何解答这个问题的吗？ （显示：足数÷2－头数=兔数  头数－兔数=鸡数，让学生试分析其中的道理，教师介绍美国数学家波利亚讲过的一个很有趣的故事。）

（课件演示，教师解释）：草地上有一群鸡兔在玩耍，突然，鸡对兔说：“我们的本领可大了，可以做金鸡独立”。说着每只鸡就抬起一只脚，只用一只脚站着。兔子们见了，也不甘示弱：“这有什么了不起，看看我们兔子作揖。”说完，每只兔就把两只前脚提起来，只留下两只后脚站着。哈哈，这下有趣了，原来的鸡都变成了“独脚鸡”，原来的兔都变成了“双脚兔”。看着图示，你发现什么了？

（提示）提问：现在鸡和兔的头数变了吗？脚数呢？把脚与头比一比，为什么脚会比头多？多的是多在哪里呢？你们觉得我们老祖宗的方法怎么样？（强调：看起来很简单的方法其实也是有局限的）

（2）假设、画图、列表、古人这样的四种方法，你最喜欢哪一种？

三、质疑引思。

提问：生活中有没有看到过有人把鸡和兔放在一个笼子里养吗？既使放在一起养，也没谁去数头数脚做这种无聊的事。我们的老祖宗干嘛煞费苦心地研究来研究去的，一千多年过去了，还作为宝物似的流传到今？“鸡兔同笼”有什么独特的魅力吗？”（显示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？）也许“鸡兔同笼问题”不仅仅是把鸡和兔关在一起那么简单。

四、初步建模。

1、日本“龟鹤同游问题”：龟鹤同游，共有40个头，112只脚，求龟、鹤各有多少只？

思考：日本人说的“龟、鹤”和我们说的“鸡、兔”有联系吗？

出示：      鹤-------------鸡（2只脚）    龟-------------兔（4只脚）

（学生解决“龟鹤同游”问题）

古人法：112÷2－40=16（只）……龟  40－16=24（只）……鹤

假设法：（112－40×2）÷2=16（只）……龟  40－16=24（只）……鹤

“龟鹤同游”就是“鸡兔同笼”。

2、人狗同行问题：一队猎人一队狗，两列并成一队走。数头一共五十五，数脚共有一百九。

提问：看了“人狗同行”的儿歌，和“鸡兔同笼”比较，你有什么话想说?

显示：      猎人-----------鸡（2只脚）  狗-----------兔（4只脚）

提问：回想一下，从“鸡兔同笼”到“龟鹤同游”，再到“人狗同行”，你发现了什么呢？（再次显示：“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？）

鸡兔同笼不只是代表着鸡兔同笼的问题（在课题上加上双引号），它就好像是一个模型！（板书：模型）我们可以找到很多它的影子。想想看，鸡兔同笼问题还可以变化成什么问题？

生：鸭和老虎；袋鼠和老鼠；

提问：那鸡、鸭行不行？牛和马呢？

五、强化体验。

1．拓展。

师：这个信封里放的是5分和2分的硬币，共8枚，猜一猜，钱会在哪一个范围内？信封里一共有3角4分，算一算5分的有几枚？2分的有几枚？

（学生首先反馈假设法，教师用课件动态演示将2分硬币换成5分硬币的过程；教师追问有没有同学用到了古人的算法？和学生一起分析古人算法不好用的原因，回应前面提示的：古人的方法也是有局限的）

提问：这个问题和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗？ 5分可以看作什么？（5只脚的怪“兔”）（课件动态演示：将2元钞票换成鸡，将5元钞票换成五只脚的“怪兔”）

如果把这题改成“鸡兔同笼”的问题，应该怎么改？

（显示：鸡有2脚，怪兔有5脚。共8头，34脚。鸡有多少只？怪兔有多少只？）

提问：兔子可以整出5只脚，那么鸡可以整出几只脚来？鸡兔同笼还可以是怎样的问题？

2．应用。

（1）（课件出示）工地运来长度分别为8米和5米的水管25根，用它们一共铺设了173米长的管道。运来两种水管各多少根？

学生抽象变题：怪鸡5脚，怪兔8脚，共25头，173脚。问：怪鸡有多少只？怪兔有多少只？

②（课件出示）刘老师带着41名队员去海陵公园划船，共租了10条船，恰好坐满，每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船和小船各租了几条？）

学生抽象变题：怪鸡4脚，怪兔6脚，共10头，42脚。问：怪鸡？只，怪兔？只。

六、总结全课。

提问：经过一节课的研究，现在再来回答这个问题（第三次显示“鸡兔同笼”有什么独特的魅力？），你有什么想说的吗？从一个具体的数学问题出发，研究解法，并上升到一种模型，最后进行广泛的运用，数学就是这样发展起来的。同样，如果我们在学习各种数学问题时能有“模型”的意识，举一反三，能触类旁通，那么你必将会走向数学学习的自由王国。