“质数和合数”教学实录评析

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　郭庆松执教（江苏省无锡市惠山区教育局）
　　
　　张盘荣评析（江苏省无锡市惠山区教育局）
　　
　　一、课前谈话
　　
　　师：今天有很多的人来到这里听我们上课，你能找到这些人的一个共同特征吗？
　　
　　生：他们都是教师。
　　
　　师：这只是我们的假设，你怎样去证实这个猜想呢？
　　
　　生1：找几个人问一问。
　　
　　生2：任意找一些人问一问他们是不是老师。
　　
　　师：如果我们随机地问了很多人，他们都是老师，我们基本上就可以确定我们的猜想。
　　
　　师：但是如果有一个人找到了这样一个共同特征：他们都是男的，你同意吗？
　　
　　生：不同意。
　　
　　师：这是个显然错误的说法，但是你怎样反驳他呢？
　　
　　生：我会告诉他，在我身边就坐着一个女的。
　　
　　师：这位同学这样说能够驳倒刚才的说法了吗？
　　
　　生：能。
　　
　　师：听课的人中还有其他的女同志，我们还用一个一个找出来吗？
　　
　　生：不用了。
　　
　　师：同学们真聪明，要说明一类事物具有哪些共同的特征，我们可以随机地抽取一些例子来研究、归纳；而要说明某个说法不成立，我们只要举出一个反例就可以将它驳倒。比如要说明“都是男的”这个结论是错误的，我们只要指出有一个女的就可以了。
　　
　　师：不知同学们注意没有，在生活中经常用到的考虑问题的方法，我们在研究数学问题时也时常用到。同学们这么聪明，我相信大家在今天的数学学习中会想出更多的解决问题的好方法。
　　
　　[评析：看似随意的谈话，却巧妙地从学生的生活经验中提取了常用的并恰恰是与本课学习密切相关的两种思考数学问题的方法。]
　　
　　
　　
　　二、复习导入
　　
　　师：前面我们刚刚研究了能被2、5、3整除的数的特征，想一想，我们是怎样进行研究的？
　　
　　生1：在研究能被2整除的数的特征时，我们先找出了一些2的倍数，通过观察，发现它们的个位总是0、2、4、6、8这几个数。
　　
　　生2：研究能被5整除的数的特征所用的方法与研究能被2整除的数的特征一样，也是先找出一些5的倍数，再看它们有什么共同的地方？
　　
　　生3：研究能被3整除的数的特征的方法也是这样的。
　　
　　师：通过对一些具体的数的研究，发现它们的一些共同特征，是我们在研究数的问题时所常用的方法，今天我们仍将运用这样的方法来认识两个新的概念：质数和合数（出示课题）
　　
　　师：看到这个课题，你认为我们今天需要解决哪些问题？
　　
　　生1：什么样的数是质数？什么样的数是合数？
　　
　　生2：质数与合数有什么关系？
　　
　　生3：这两种数与我们前面学的知识有什么关系？
　　
　　……
　　
　　[评析：复习中侧重对研究数学问题的方法策略的回顾，正是立足于为学生自主建构概念提供准备。对课题的质疑和猜想也事实上使学生完成了一个自主确立学习目标的过程，从而拉开了探究的序幕。]

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三、建构概念
　　
　　1、为探究进行方法定向
　　
　　师：一个数究竟是质数还是合数，与它所含约数的情况有关，根据你前面研究数的经验，你打算怎样去研究今天的问题？
　　
　　生：首先随便列举几个数，看看它们的约数具有怎样的规律。
　　
　　师：对，这是我们最近研究数的问题时经常用的方法，今天我们仍然这样去做。那么你打算选取哪些数来研究呢？
　　
　　生1：我打算选择100以内的所有数。
　　
　　生2：我打算选择10、20、30、40、50。
　　
　　生3：我打算选择3、30、300、3000、30000。
　　
　　……
　　
　　（教师在学生说的过程中有选择地写出一些数）
　　
　　师：同学们的选择都有自己的一些想法，不过如果去找30000的约数，或者把100以内所有的数的约数都找出来，你觉得怎么样？
　　
　　生：太麻烦了！
　　
　　师：由于时间的关系，我有个建议，我们先从几个较小的数入手研究，同时也为了我们在研究时能够互相交流，我们不妨都来选取2—12这几个数（出示2—12各数），接受我这个建议吗？
　　
　　生：接受。
　　
　　[评析：筛选合适的研究对象，是进行研究的前提，筛选的策略和方法也是整个研究策略的重要组成部分，让学生经历对研究对象的筛选过程，为学生日后的自主探究积累了宝贵的经验。对1的回避使学生在自主探究时尽可能地避免了无关的干扰，教师的主导作用在此得以体现。]
　　
　　
　　
　　2、写出2—12各数的约数，初步体验一个数所含约数的特征
　　
　　……
　　
　　3、自主发现中加深对概念的理解
　　
　　师：请你仔细观察这些数的约数的情况，从所含约数的情况来看，你觉得哪些数比较特殊？请你把这几个数划出来。
　　
　　（学生活动）
　　
　　师：请你进一步观察划出来的这几个数，它们有什么相同的地方？
　　
　　师：把你的发现在小组内与同学交流交流。
　　
　　（学生小组交流）
　　
　　师：谁来说一说，你选出了哪几个数？它们特殊在哪里？
　　
　　生1：我选择了12，12的约数最多。
　　
　　师：与这种想法相同的请举手。（极少数几个同学举手）
　　
　　生2：我选择了2、3、5、7、11，它们都只有1和本身两个约数。
　　
　　师：与这种想法相同的请举手。（大多数同学举手）
　　
　　生3：我认为每个数都有特殊的地方。
　　
　　[评析：教者在这里采取了与传统的简单分类方法所不同的教学策略——“找出特殊的”，从实际的教学效果看，这一做法无疑使学生的思维与概念的本质更为接近。]
　　
　　
　　
　　4、选择合理的分类，归纳概念
　　
　　师：同学们的几种选择都有一定道理，而刚才大多数同学的发现就与我们今天学习的内容密切相关。我们来进一步研究一下这几个数，在这一类数中（指质数），它们有几个约数？
　　
　　生：2个。
　　
　　师：一个数如果只有两个约数，那么是哪两个？
　　
　　生：1和它本身。
　　
　　师：这样的数还有吗？你能举出几个吗？
　　
　　……
　　
　　师：这样的数有很多很多，象这样，一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数就叫做质数，它也叫做素数。
　　
　　（出示定义）
　　
　　师：这里剩下的这一类数就叫做合数，你能说说看，一个怎么样的数，叫做合数？
　　
　　师：把你想到的说法在小组内与同学交流。
　　
　　（学生小组交流）
　　
　　师：一个怎么样的数，叫做合数？谁来说一说？
　　
　　生1：一个数如果有三个或者三个以上约数，它就是合数。
　　
　　生2：一个数，如果除了1和它本身外还含有其他的约数，它就叫做合数。
　　
　　……
　　
　　师：你还能找到其他的合数吗？
　　
　　……
　　
　　师：刚才有同学列举了100、30、60，你是怎么发现它们是合数的？它们都有很多的约数，我们有必要将它们都找出来才能判断是合数吗？关键是看什么？
　　
　　生：除了1和它本身是否还具有其他约数。
　　
　　师：像这样的合数我们写得完吗？
　　
　　生：写不完。
　　
　　[评析：“质数”概念的得出立足于学生的自主发现；随后基于已经构建的“质数”概念，学生又自主构建出“合数”概念；而合数的判断方法（事实上也是质数的判断方法）由学生通过对自己例举合数过程的自我反省提升而来。在这一系列过程中，学生的主体作用得以充分发挥。]
　　
　　
　　
　　5、完善概念
　　
　　师：我们看看刚才几位同学在刚上课时想选择研究的一些数是什么数？
　　
　　……
　　
　　师：我们接着再来看几个数，如果你认为出现的数是合数，你就站起来，如果你认为是质数，你就坐端正。
　　
　　（教师依次出示：20、22、37、31、35、29、87、100、1）
　　
　　……
　　
　　（当最后出现1时，大多数学生不知所措，有个别学生离开座位蹲在一旁）
　　
　　师：你们怎么啦？你发现什么问题？
　　
　　生：1只有一个约数1，它既不是质数也不是合数。
　　
　　师：1很特殊，比1大的数呢？
　　
　　生：一个比1大的数至少有两个约数，因此它不是质数就是合数。
　　
　　师：在我们所研究的数中，只有1比较特殊，它既不是质数也不是合数，而大于1的数不是质数就是合数。
　　
　　[评析：精心设计对前面所学知识的巩固和应用过程，促使学生产生强烈的认知冲突，在教师的巧妙引导下，学生自我完善了概念。]