五年级数学优质课《长方体、正方体的表面积》磨课记

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文章  在选定教材后，我把自己想成一个学生：当学生拿到这份材料，他会怎么学？按教材的编排顺序，首先是操作感知，我找来了几个长方体纸盒，拿起一个就剪，展开一看，与教材上的展开图不一样；拿起一个再剪，一不小心，把其中一个面给剪了下来……这般剪了几次后，没有一次的展开图是一样的，由此我产生了这样的想法：一个班有几十位学生，动手能力的差异很难使每位学生在规定的时间里都经历由立体到平面这样一个转化过程，另外从携带学具这个角度考虑，此环节的教学成本过高，但此环节又不能舍弃，怎么办呢？思考良久，有主意了，我不妨就反其道行之，由学生自己剪展开图形改由教师提供展开图形，虽然学生不再经历由立体到平面的转化过程，但此环节的关键并不是经历剪的过程，而是在得到展开图形后沟通长方体的长、宽、高与每个面的长、宽之间的关系，这样处理，学生寻找关系的指向性就更加清晰了。

        在读完求长方体、正方体表面积的例题后，脑海中浮现起两个曾经无法解决的问题，是两个只要是教过《长方体、正方体》单元的教师都会遇到的问题，第一个问题与所求长方体面的个数有关：怎样的长方体求表面积只需求5个或4个面的面积之和？是哪5个或哪4个面？第二就是在掌握了求长方体、正方体体积的计算方法之后，如何引导学生在解决问题的过程中自主辨析是求表面积还是体积的问题？第一个问题的解决更多的需要依仗学生的生活经验，他们需要从所求物体的用途入手，而第二个问题的解决主要是看学生是否已准确地把握了“表面积”这个概念的本质。两个问题合二为一，就是如何在这节课创设出既接近学生现实生活状态又与表面积相关的学习情境？

     基于以上考虑的几个问题，最终形成了以下的第一份教学设计：

教学内容：人教版五上第33至35页

教学目标：

1、在具体的情境中经历操作、讨论、交流、归纳的过程，理解长方体、正方体表面积的含义，探索并掌握长方体和正方体表面积的计算方法，能解决一些与表面积计算有关的简单实际问题。

2、在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，初步体会长方体和正方体表面积计算在日常生活中的广泛应用，感受表面积计算方法的实际价值，增强空间观念，发展思维能力。

3、在探索和发现的过程中培养学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。

教学重点：探索并掌握长方体、正方体表面积的计算方法

教学准备：

教具：课件、长方体与正方体的展开图形、火柴盒、包装盒、木料

学具：长方体与正方体的展开图形

教学过程：

一、建立概念：

1、（出示包装盒）要求学生用数学眼光进行观察。

2、提问：怎样才能把一张纸做成长方体或正方体盒子？

3、认识长方体、正方体展开图形。

4、引出概念，揭示课题。

二、研究算法：

1、提出问题：求长方体、正方体纸盒的表面积。

2、合作解题。

3、反馈并呈现不同的算法，归纳计算公式。

三、实践运用：

1、研究“有一组对面是正方形”的长方体的表面积：五粮液包装盒问题

2、研究“特殊长方体”的表面积（缺少1个或几个面）。

（1）火柴盒外壳与内芯的表面积。

（2）如果让你设计下列物品，你会设计成几个面的？请说明你的设计理由。

①长方体金鱼缸     ②连接楼顶与地面的长方体下水道     ③包装一整套书的长方体纸盒

3、研究“实心”长方体的表面积。

四、总结评价：

1、学了今天的课你有什么收获？

2、拓展：做包装盒用去纸的面积真的就等于6个面的面积之和吗？

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   儿子已经五年级了，长这么大还从来没去他的班级上过课，这次正好要去五年经试教，我选择了儿子所在的3班做为第一次试教的班级，儿子知道后高兴地直跳，每天都要问我“什么时候去他的班级里上课”。

      走进儿子的班级，简单的互相介绍后，我开始上课，儿子的脸红红的，眼睛睁的大大的，比什么时候都亮。

        我出示了许多包装盒，让学生用数学的眼光观赛，很快他们说这些包装盒的形状是长方体、正方体，我完善他们的发言：这些是用纸做的形状是长方体、正方体包装盒。我接着取出一张白纸，提问：如果用这张纸做一个长方体纸盒，你会怎么做？做正方体纸盒呢？学生说的头头是道，基本把两种形体面的特征地回顾了一遍，我顺着学生的思路往下说：为了折的方便，我们也可以把长方体的6个面连在一起剪。课件出示了长方体的展开图（引导学生认识了上下、左右、前后三对相对的面）和正方体展开图，接着让学生从学具袋里取出长方体、正方体展开纸动手折一折，还原成纸盒，让他们经历一个由平面到立体的转化过程；接着我拿出两幅展开图，重叠在一起让学生观察，让他们提出数学问题，由学生的发言引出了“表面积”的定义，至此第一环节顺利结束，过程还在我的设想之内。

      接下来应该是“表面积计算方法”的教学，我让两位学生一组，动手量一量，想办法算出折成的长方体、正方体纸盒的表面积。在巡视的过程中，我惊异地发现几乎所有的学生都把纸盒重新展开，他们算的是展开图形的面积，算法很多，出现了把中间4个小长方形连起来看成一个大长方形，用大长方形的面积加上余下2个小长方形面积的算法……我走了好几圈，在儿子身边停了下来，谢天谢地，他的算法具然是标准的长、宽、高两两相乘，再分别乘2后相加的解法，我像是抓住救命稻草一样让他上台板演，让他说算理，他的想法很清晰：长方体相对的两个面面积一样，每组相对的面求出一个乘2再加起来就可以，我让他指着算式说说每一步所表示的意义，当他拿起那个没有封口，一拿起来就变形的长方体纸盒开始说的时候，我发现下面学生的眼神开始变的糊涂了，儿子指着上面的时候，那个上面看不到，儿子指着前面时，那个前面藏到了盒子里面……儿子一说完我马上请其他的学生说，但是一连请了几个都说不清楚每步算式所表示的意义，我自己说了一遍，能弄明白的同学还是不多。问题出现了，学生会算长方体的表面积，但是没有清晰地构建起长方体的长、宽、高与长方体每个面的长、宽之间的一一对应关系，也是对面的位置没有形成清晰的表象，不能在脑中重现。如果连“长乘宽乘2”、“长乘高乘2”、“宽乘高乘2”分别求的是哪两个面的面积之和都不清楚，那后面的教学环节还怎么继续？我开始抓狂，但又想不出有效的解决方法，只好硬着头皮把学生当作弄明白了，按教案的程序把“戏”唱完。

     回到家，儿子问了我一个问题：爸爸，求长方体的表面积展开来算简单，为什么要让它立起来再算”？妻子在边上搭话了：“你爸爸上课总是话讲的太多，把简单问题搞复杂了。”儿子马上说：“不是这样的，爸爸上的课还是很有趣的。”儿子的话让我沮丧的心情变好了许多。

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第二天一早，教研员打来电话询问第一次试教情况，我把遇到的问题和盘托出，教研员听后对课的设计提出了几个想法：一是对学生的要求过高了，只提供展开图，没有实物的支撑，学生是无法建立起面的大小、位置的空间观念的；二是建议我找个班级就这个内容进行前测，了解学生已经知道了什么后再设计，就好比给手枪装上了瞄准镜一样。      我反复品味着这两条建设，由其是第二条，让我愧疚不已，回忆当初开始设计时，并没有把学生“已经知道了什么”放在心上，而是自认为“学生已经知道了这个，而不知道那个”，把我的主观想法强加到他们头上，比如学生没有实物，只借助展开图也能求出表面积就是潜意识在作怪；许多原本很得意的设计在学生面前变得“体无完肤”，比如其中有一环节是让学生当设计师：如果你是设计师，你会把下面的物品设计成几个面的？为什么这样设计？呈现的物品有金鱼缸、下水管、一套书的包装盒等，原先设想是唤醒学生的生活经验，让他们从物品的用途上体验这些缺面形体的特殊性，但从试教效果看，这个环节更象在上科学课，没有任何数学味可言。
      第二天下午，我在设计完成前测试卷后，马上从另两个五年级班中选择了一个班进了测试，测试题共有4题，第1题和第2题是分别给出长方体、正方体的展开图，让学生自己量出所需的数据后求出图形的面积；第3题、第4题则是给每位学生发一个长方体、正方体纸盒，让他们想办法求出每个纸盒6个面的面积之和，以下是测试结果与结论：

一、总体分析：

本次测试是从学校三个五年级班中任意挑选一个进行的，大部分学生花时10分钟左右完成了试卷的解答，共回收试卷37份，测试结果见下表：

题序	内容	答对人数	正确率
1	求长方体展开图的面积	16	43．2%
2	求正方体展开图的面积	21	56．8%
3	求长方体纸盒6个面的总面积	16	43．2%
4	求正方体纸盒6个面的总面积	27	73．0%

（注：4题全做对的有6位学生，4题全做错的有6位学生；有2位学生用两种方法求出了长方体纸盒6个面的总面积。）

二、逐题分析：

（一）前两题

1、第1题：

（1）正确解法：

	方法	运用人数	占做对人数的分率
1	将从左至右或从上到下的几个长方形看作一个整体，再加上余下几个长方形的面积。	6	37．5%
2	将从左到右的大长方形面积加上从上到下的大长方体面积，再减去中间得叠长方形的面积。	2	12．5%
3	补充成一个大长方形，用大长方形面积减去4个角上长方形的面积。	1	6．25%
4	先求出6个长方形的面积，再逐个相加。	5	31．25%
5	先求出三组长方形的面积，再相加。	2	12．5%

（2）主要的错误：

（1）上面方法2中未减去中间重叠面的面积。

（2）上面方法4中少加一个面的面积或其中某一个面加了3次。

（3）有少数学生将量出的所有线段相加。

2、第2题：

（1）正确解法：

	方法	运用人数	占做对人数的分率
1	将从左至右或从上到下的几个正方形看作一个整体，再加上余下几个正方形的面积。	2	9．5%
2	将从左到右的大长方形面积加上从上到下的大长方体面积，再减去中间得叠正方形的面积。	2	9．5%
3	先求出6个正方形的面积，再逐个相加。	5	23．8%
4	先求出1个正方形的面积，再乘6。	12	57．1%

（2）主要的错误：与第1题大致相同

3、分析：从第1题的解题看，学生并没有认出它就是长方体的展开图，而是把它看成一幅组合图形，多数学生并没有把6个长方形分成面积相对的三组，解题策略虽然较为多样，但部分学生还出现看漏或看重长方形的错误，正确率偏低；从第2题的解题看，学生的策略更多地指向于先求一个面的面积，再乘6，正确率略高于第1题，这说明他们并没有从两幅图的对比中得到新的启发，第2题只是第1题的重复。这两题的解答说明测试班的学生在求组合图形面积的技能方面还存在一定的缺陷。

（二）后两题

1、第3题：

（1）正确解法：

	方法	运用人数	占做对人数的分率
1	先求出6个长方形的面积，再逐个相加。	3	18．75%
2	先求出三组长方形的面积，再相加。	13	81．25%

（2）主要的错误：

（1）6个面中重复算了一个面。

（2）把每个面的面积都看成一样或把其中4个面的面积看成一样。

2、第4题：

（1）正确解法：

	方法	运用人数	占做对人数的分率
3	先求出6个正方形的面积，再逐个相加。	3	11．1%
4	先求出1个正方形的面积，再乘6。	24	88．9%

（2）错误解法：属于毫无章法的胡乱解题，在与任课教师交流后，得知她在执教“认识”这一课时，因时间关系而只引导学生认识了长方体，而没有涉及到正方体的认识，大部分学生不能正确地说出正方体的特征。

3、分析： 从第3题的解题看，100%的学生选择先量出长方体的长、宽、高，这说明他们已经知道了长方体6个面的总面积与它的长、宽、高有关，发生错误主要原因有以下几点：

（1）不能把长方体的组长、宽、高与长方体每个面的长、宽一一对应起来，特别是长方体的高，它既可以看出前后面长方形的宽，也可看作左右面长方形的长，其身份的多样性使得许多中下生无所适从。

（2）没有很好地形成长方体的空间观念，不能由一个面想像出它相对的那个面的形状、大小，所以许多学生在解题过程中需要不断地翻转长方体纸盒，在翻转数次后就产生了看重、将4个面或6个面都看成一样的错误。

第4题产生错误的主要原因是学生还没有掌握正方体的特征，在这个背景下正确率仍能达到73．0%，说明在掌握了特征后，90%以上的学生应该能顺利地解决此题。

三、访谈：

为了进一步摸清学生的思维过程，我选择了13位学生（既第3题用第2种方法做的学生）进行了面对面的交流，我向每位学生都提3个问题，其中前两个是一样的：你是怎样求长方体纸盒6个面的面积之和的？为什么这样求？第3个提问则是从下列3个小问题中随机择一而问：长乘宽乘2求的是什么面的面积？长乘高乘2求的是什么面的面积？宽乘高乘2求的是什么面的面积？这13位学生对前两个问题的回答大致一样，但在回答第3个问题的表现就很不一样，当被问到是“长乘宽乘2”时，学生能快速而准确的回答，当被问到是“长乘高乘2”与“宽乘高乘2”时，学生思考的时间明显加长了，有3位学生还不能正确地进行回答。

四、结论：

通过测试与访谈，产生了以下的一些看法：

1、对于学生而言，求正方体的表面积应该是一个不用教就会的内容，所以本课的重点（难点）应该是让学生学会怎样去求长方体的表面积。

2、正确求解长方体表面积的落脚点有二：一是要建立起正确的长方体空间观念，能由一个面想像出相对面的形状、大小；二是沟通长方体的长、宽、高与每个面长方形的长、宽之间的一一对应关系。

3、在教学长方体表面积时，直接将求长方体表面积的任务交给学生，让其独立完成是不现实的，需要教师做一定的引导与铺垫，也就是要想办法完成前述的两个落脚点。