帮助学生建立起线、面、体三维的概念——长度、面积、体积概念的结构教学初探

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有关空间与图形部分的知识是小学数学知识主干的重要组成部分。这部分知识是人们认识现实世界中物体的形状、大小和空间位置关系，以及解决现实世界中的具体问题的重要工具。

    我们可以从数学知识的纵向联系和变化发展的角度，将空间与图形部分的知识划分为三个分支(见下页表1)。第一个分支是图形认识与论证部分，主要包括一个图形的初步认识、一个图形的要素认识、一个图形的性质研究、两个图形的关系研究。第二个分支是图形测量与计算部分，主要包括一维的长度的认识、测量工具和度量单位，以及平面图形周长的计算；二维的面积的认识、测量工具和度量单位，以及平面图形面积的计算；三维的体积的认识、测量工具和度量单位，以及物体表面积和体积的计算，还有数形结合问题的计算等。第三个分支是图形位置与变换部分，包括位置不变的认识(位置、方向、坐标)和位置变化的认识(图形的三种变换：平移、旋转和对称)。

从每个知识分支的纵向关系来看，体现了图形认识从外  部到内部，图形研究从内部性质到外部关系，图形测量从一维的线段长度到二维的面积再到三维的体积，图形运动从位置不变到变化的发展过程(见表1)。从知识分支之间的横向关系来看，图形认识与论证部分是对物体的形状进行特征认识和性质研究的问题；图形测量与计算部分是对物体的大小进行比较测量和计算的问题；图形位置与变换则是对物体的空间位置进行关系探究的问题，各分支之间既是相互联系的又是相对独立的，分别承担着不同的研究任务。

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表1
空间与图形知识结构关系

在“空间与图形”的知识中，长度、面积和体积是一组最为基本的从一维到二维再到三维的度量概念。因此，在九年义务教育阶段的小学数学教学中，如何帮助学生建构起清晰的三维空间观念，是我们必须思考且需作出回答的问题。为此，我们首先需要对以往线段长度、面积，体积的概念教学进行反思；其次是要重新认识线段长度、面积、体积概念教学的育人价值；最后要在开发教材育人资源的基础上对线段长度、面积和体积概念教学进行整体的规划与设计。
一、长度、面积、体积概念教学存在的问题
长度、面积和体积是空间与图形知识中一组最为基本的从一维到二维再到三维的度量概念。由于小学数学教材一般将长度、面积和体积分别编排在小学不同的年级进行教学，许多教师意识不到这些分布在不同年级的内容是有内在联系的，自然也就不会关注怎样在教学中沟通和揭示这些概念之间的区别与联系，学生因而也不容易在这样的教学中建立起由一维到三维的空间观念。由于教师已然习惯于局限在知识点里的思考和备课，在教学中就容易表现出以下方面的问题：
第一，教师容易关注知识点的教学，却忽视了知识之间的内在联系。教师常常既不注意在长度的概念教学中进行思想方法的渗透和揭示；也不注意在面积的概念教学中与长度概念进行差异比较和内在思想方法的沟通；更不注意在体积的概念教学中进行一维的长度概念、二维的面积概念和三维的体积概念之间的差异比较和纵向发展脉络上的梳理。这种局限于知识点的割裂式的教学，容易使学生对这些概念形成点状的和表浅的认识，很难使学生在整体上建构起三维的空间观念。如果说概念认识的本身尚且如此，就更不用说概念教学过程中的育人价值的开发和实现了。
第二，教师容易关注知识的结果运用，忽视知识形成过程中的育人资源开发。即使是在具体的一节课的教学中，许多教师也只是把教学的重心放在如何认识度量单位和准确使用度量工具上面，忽视度量工具的发明和度量单位的形成过程对于学生成长的重要价值。以长度概念的教学为例，教师在教学中一般会注意以下几方面的问题：首先，教师会关注学生对度量单位建立感性体验，如1厘米相当于人的指甲的长度，1米相当于一个一年级学生的身高，等等；其次，教师十分关注学生对度量工具使用的准确性，如学生是否使直尺的零刻度线与度量对象的起始点对齐，是否使直尺与度量对象重合(点对点，线对线)，等等；
第三，教师会关注学生对度量单位使用的合理性，如度量铅笔盒的长度、书的长度可以选择厘米做单位，度量学生的身高、黑板的长度可以选择米做单位，等等。诸如此类，从学生对于度量单位认识和度量工具使用的角度来说，该注意的教师似乎都注意到了，但恰恰忽视了教学过程中；最重要的育人资源的开发，即前人在形成度量工具和度量单位过程中的智慧。

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二、长度、面积、体积概念教学的育人价值长度、面积、体积概念教学的育人价值至少可以从两个方面来加以关注，一是从知识之间整体的内在联系中开发育人的资源，二是从知识形成过程中开发育人的资源。
1．知识结构关系的梳理对于学生认识概念的价值
长度、面积和体积三者之间有着密切的内在结构关系。它们的内在关系至少表现在以下两个方面：
首先，长度、面积和体积在要素构成上具有逻辑关系。几何形体构成的基本要素是点、线和面，其中，无数个点累积而成了线(从这个意义上长度也可以称为线积)；无数条线累积而成了面(因此而称为面积)；无数个面累积而成了体(因此而称为体积)。因此，点、线、面和体中的前者分别依次是后者的构成要素，而后者又分别是在前者基础上的形成和拓展。
其次，长度、面积、体积在概念内涵和思想方法上既有区别又有联系。在概念内涵的语言表述方面，它们是有差异的。“长度”是一维的概念，表示物体或线段长短的程度；“面积”是二维酌概念，表示物体表面或平面图形的大小；“体积”是三维的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间
大小的比较。因此，它们各自有直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接比较的方法有借助中介物体或工具，等等。在此基础上，又形成了以二维的度量工具和单位为基础的三维空间的度量单位体系(见表2)。的概念，表示物体所占空间的大小。在度量和比较的思想方法上它们又表现出共同的特征。线段之间可以进行长短比较，平面图形之间可以进行大小比较，物体之间可以进行所占空间大小的比较。因此，它们各自有直接比较和间接比较的方法。直接比较的方法有观察法和重叠法，间接比较的方法有借助中介物体或工具，等等。在此基础上，又形成了以二维的度量工具和单位为基础的三维空间的度量单位体系(见表2)。

	长度	面积	体积
概念的内涵	线段长短程度	平面图形面积大小	物体占有空间大小
直接比较	观察法 重叠法（点对齐，重叠一条边）	观察法 重叠法（重叠两个方向的边）	观察法 重叠法（重叠三个方向的边）
间接比较	借助物体的一条边	借助物体的一个面	借助一个物体
度量工具	单位是1厘米的尺	单位是1平方厘米的正方形纸	单位是1立方厘米的正方体
度量单位	毫米、厘米、分米、米、千米……	平方厘米、平方分米、平方米、平方千米……	立方厘米、立方分米、立方米、立方千米……

表2
长度、面积和体积之间的区别和联系

因此，如果教师能够认识到这些知识之间的内在结构关系，努力在教学中梳理和沟通这些概念之间的区别与联系，那么就有可能开发和实现教学对于学生认识这些概念的价值，帮助学生对这些概念形成既清晰又丰富的认识，从而使学生建构起正确的三维空间观念。
2．度量工具和单位的形成过程对于学生发展思维的价值

长度、面积、体积的度量工具和单位的产生是人类祖先的伟大发明，也是前人智慧的集中体现，我们需要开发这些知识形成过程中的育人资源和价值。这里以长度的度量工具和单位的产生过程为例来说明。

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首先，度量单位的产生基于现实生活的需要。它产生于在两个物体的长度不能直接进行比较的情况下，需要借助于作为中介的第三个物体长度进行间接比较的过程之中。在间接比较的过程中，由于各人所采用的中介物的长度不一样，导致比较的标准和结果不一致，这样就带来间接比较的困难，于是需要统一比较的标准，度量的基本单位也就在约定俗成的过程中逐渐形成。

其次，度量单位的使用具有地域流通性的特征。度量单位是一个约定俗成的概念，不同的地域内流通着各自不同的度量单位。我国度量长度的标准是“市制”单位，基本的度量单位有l尺、1寸、l里等；英国度量长度的标准是“英制”单位，基本的度量单位有1英尺、1英寸、1英里等。由此又形成了不同地域之间度量长度的换算标准，如l英寸=2.54厘米=0.762寸。由于换算的麻烦，又产生了国际上通用的度量长度的统一标准“公制”单位，其基本的度量单位有1厘米、1米、1千米，等等。

第三，度量工具的多样性与适用性体现了人类创造的智慧。由于现实生活需要的丰富多样，人们创造发明了各式各样的度量工具。例如，度量线段长度的工具有学生作为学习用品的以厘米为单位的塑料直尺，商店营业员用来度量商品长度的以米为单位的木制米尺，裁缝师傅用来量体裁衣的塑料软尺，建筑工人用来度量地基长度的钢卷尺，等等。尽管这些度量工具的度量对象、材料性质各不相同，但它们都具有度量长度的功能。这些度量工具的开发充分体现了前人的智慧。

总而言之，长度、面积和体积的概念对于学生来说不仅是遥远的历史，更是抽象的概念；不仅是远离学生的，更是外在于学生的。它们是前人生命实践的成果和经验的结晶，已然成为符号化的书本知识。如果我们只是关注到了这些表面的符号化的知识，就会仅仅关注知识的传递价值，容易把学生当作是为接受这些知识而存在的，也就容易忽视知识形成过程中的资源开发，教学也就难以体现其促进学生成长发展的价值。

    因此，我们需要透过符号化知识的表面，对其背后的过程形态的知识加以关注。这样，我们就会发现，无论是度量比较过程中的标准统一，还是三维空间的度量单位体系的形成，甚至是适应现实生活需要的各种度量工具的发明，它们无一不体现了前人生命实践活动过程中的智慧。如果在教学中能够使学生经历这样的生命实践活动的过程，教学就有可能使这些固化了的知识得到活化。在这个过程中，学生不仅能够认识和体会到比较过程中标准统一的必要性，而且还能够了解从一维到二维再到三维的度量工具和单位体系的形成过程。更为重要的是，学生在经历生命实践活动的过程中可以实现自身的再创造。从这个意义上可以说，这是一种习得和形成智慧的教学，唯有这样的教学才能够体现促进学生成长发展的价值。

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三、长度、面积、体积概念的结构教学设计

    在上述认识和思考的基础上，我们需要努力把这些认识转化为实践行为，需要对这些度量概念的教学做出整体的规划和具体的设计。

    就整个教学长段而言，由于长度、面积、体积概念具有内在紧密联系的知识结构，尤其是在度量比较过程中具有类同的思想方法，而且，三维空间的度量工具和单位体系又是在一维度量工具和单位体系的基础上建立起来的，因此，我们可以采用“长程两段”的教学策略，把长度概念和面积概念的教学作为“教结构”阶段，体积概念教学则是“用结构”阶段。这里的“教结构”是要引导学生把握度量概念的教学过程与学习方法，即度量概念、度量方法(直接比较和间接比较的方法)、度量工具、度量单位。一年级的长度概念教学，自然是要承担起奠基性的作用。尽管一年级学生感悟结构的能力还比较弱，但教师还是要注意在概念内涵的表述、比较的思想方法、度量标准的统一以及度量工具和单位的形成等方面进行结构性的渗透，并注意在教学的总结环节对长度概念的教学过程与学习方法进行结构性的提炼。

    三年级的面积概念教学，教师一方面要引导学生对上述教学过程与学习方法结构进行回忆，另一方面还可将长度概念、比较方法、度量工具和度量单位板书在黑板上，以引导学生类比长度概念的教学过程来进行面积概念的学习。不仅如此，教师还要注意在上述这些方面不断地与长度概念进行多种方式和多层次的沟通与比较。在教学的总结环节，教师应引导学生自觉地对面积概念的教学过程与学习方法进行总结，而不要出现教师包办替代学生思考的现象。唯有如此，才有可能为体积概念的教学奠定教学过程与学习方法结构的基础。因此，面积概念的教学要承担起凸显结构的重任和承上启下  的作用。从这个意义上可以说，面积概念的教学在整个教学长段中具有举足轻重的地位，它将会对学生三维空间概念的建构产生直接影响。

五年级的体积概念教学，既要注意引导学生回忆长度概念、面积概念的教学过程与学习方法结构，又要注意为学生主动地类比迁移提供机会和时间空间的保证；也要注意引导学生将体积概念与长度概念、面积概念进行多种方式和多层次的沟通与比较；还要注意引导学生主动自觉地对长度、面积和体积概念进行系统性的梳理、比较和沟通，帮助学生形成从一维的线段度量到二维的面积度量再到三维的体积度量的整体认识，促进学生形成结构化的认知和思维方式。

就具体的一节课的教学而言，为了帮助学生经历概念的形成过程，经历度量工具产生和度量单位建立的过程，长度、面积、体积概念的教学应该有基本相同的教学过程设计。基本的教学过程结构主要由三个教学环节组成：一是度量概念的形成，二是度量方法的比较，三是度量单位的形成。其中度量概念形成的环节是教学的基础部分，度量单位形成的环节则是教学的核心部分，而度量方法比较的环节一方面是为了进一步清晰和强化前一环节形成的概念，另一方面是为后一环节中的间接比较的标准统一作好方法上的铺垫，因此，度量方法比较的环节在教学中只是起承上启下的衔接和过渡作用，它不是度量概念教学的核心任务，不能停留在为方法而方法的教学上。在这里，主要对第一环节和第三环节的设计作具体说明。

在度量概念形成环节的教学中，教师要注意改变以往直接向学生呈现概念、让学生记忆概念和运用概念的教学方式。例如，在面积概念教学中，有的教师会先让学生摸摸课桌的表面，然后就给出定义：物体某个面的大小叫做面积。接着再让学生通过观察平面图形将定义补充完整，即物体的一个面或平面图形的大小叫做面积。三言两语就把面积概念“搞定”了。由于学生对抽象的面积概念缺乏认识的感性支撑，再加上长度概念中的“长短”在学生头脑中的先人为主，所以学生在面积概念运用中常常会出现用“长短”来表示面积、甚至是“长短”与“大小”不分和混用的现象。由此可见，学生简单记忆一个“长度”或“面积”的词语容易，抽象背诵一个概念的定义也比较容易，但要真正理解概念的丰富内涵、形成对概念内涵的清晰认识却不是那么容易的事。因此，教师要通过教学努力帮助学生经历度量概念的抽象过程。具体地说，教师首先要引导学生在大量感性材料列举的过程中进行充分的感知。以“面积”概念为例，一是感知“面”是怎么来的，其基本的要素构成是什么；二是感知物体或平面图形的哪些部分是“面”，这些组成“面”的部分从测量的角度用什么词语来表示比较恰当；三是感知“面”与“线段”的差异和联系有哪些。学生通过对大量材料的充分感知，就可以对这些问题形成基本的认识，这些丰富的感知和认识将成为学生认识面积含义的内涵支撑。其次，教师要引导学生对大量材料进行特征分析，从中提炼和抽取出共性的特征。尽管每个学生列举的材料从表面上看不尽相同，但学生通过辨析比较就可以发现它们都有共同的本质属    性存在。学生发现这个本质属性并加以提炼和抽象的过程，实际上就是经历概念的“材料归纳——辨析比较——提炼抽象”的形成过程。最后，教师再引导学生对反映大量材料的本质属性进行定义或命名。说到底，学生形成概念的过程不仅要有大量丰富的材料作为概念认识的感性支撑，而且还要有概念形成过程的活动作为概念认识的实践支撑。唯有如此，这些概念就不再是空洞的词语或抽象的符号，而是学生在自己生命实践活动的过程中生成和再创造的。

在度量单位形成环节的教学中，教师要通过教学努力帮助学生经历度量标准的统一过程。具体地说，教师要注意创设情境，使学生在间接比较的过程中，经历由于间接比较的中介物的各不相同而导致比较结果不一致的过程，从而引发矛盾冲突的产生，通过对矛盾产生的原因反思，学生就会产生统一度量标准的需要。其实，学生所在的班级也是一个小社会，班级内的各个小组自然是这个小社会的基本构成。因此，教师可以创设模拟大社会的情境，首先让学生在各自的小组内建立“自制”的度量工具，体验“自制”的度量单位的形成过程。其次让各小组之间进行交流沟通，体验“自制”的度量工具和单位在流通过程中的局限性，即“自制”的度量单位只是适用于自己的小组。最后引导学生通过讨论约定来形成班级范围内“公制”的度量单位，体验度量标准在班级范围内的统一过程。在此基础上，教师可以适时介绍我国的“市制”单位、英国的“英制”单位，以及世界各国通用的“公制”单位。

为了帮助学生逐渐建立起从一维到二维再到三维的空间观念，在保持教学过程基本一致的基础上，教师还要注意通过多种沟通和比较的方式来灵活地凸显长度、面积和体积三者之间的区别与联系，努力帮助学生在沟通与比较中经历认知结构的整合过程。这种沟通与比较至少可以从以下几个方面来加以体现：

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一是概念内涵表述上的沟通与比较。即长度用“长短”表示，面积用“大小”表示，体积用“占有空间的大小”表示。

二是度量方法上的沟通与比较。例如，在运用重叠法进行直接比较时，不妨通过重叠过程中要点的强调，来凸显一维的重叠与二维的重叠以及三维的重叠的差异。也就是说，在比较物体或线段的长短时，重叠过程中要注意一维方向的线重叠，即“点对齐、线重叠(边对齐)”；在比较平面图形面的大小时，重叠过程中要注意二维方向的线重叠，即“长重叠、宽重叠”；在比较物体所占空间的大小时，重叠过程要中注意三维方向的线重叠，即“左右的长重叠、前后的宽重叠、上下的高重叠”。又如，在借助中介物进行间接比较时，需要凸显和强调借助中介物的什么部分进行比较。即在比较物体或线段的长短时，是借助中介物一条边进行比较；在比较平面图形面的大小时，是借助中介物的一个面进行比较；在比较物体所占空间的大小时，是借助中介物的整个物体进行比较。

  三是度量工具和单位上的沟通与比较。对于学生而言，度量长度的常用工具是以1厘米为单位的尺，度量面积的常用工具是以l平方厘米为单位的正方形格子纸，度量体积的常用工具是以1立方厘米为单位的正方体。教师在引导学生进行沟通与比较的同时，还可以借助对比式的板书设计来凸显三维概念之间的区别与联系，如表2所示。

总之，通过这些有意识的沟通与比较，不仅可以使学生形成清晰的概念认识，而且还可以使学生建立起从一维的线到二维的面再到三维的体的整体认识，从而使学生形成结构化的认知和思维方式。下面以面积概念的教学设计为例，具体说明度量概念的教学过程设计(见附录)。

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附录：面积概念的教学设计

课题：面积教学和面积单位		年级：三年级	学校：江苏常州第二实验小学	教师：马美南
教学目标： 1、 初步理解面积所表示的含义； 2、 知道平面图形大小比较的方法，体验比较标准统一的必要性； 3、 在剪、摸、比等活动中感知1平方厘米的实际大小，会用平方厘米表示面积大小。
教 学 过 程
教学环节	教师活动		学生活动	设计意图
课前热身常规活动	根据学生之间的交流板书长度概念、度量方法、工具和单位		回忆比较线段长短的方法、长度单位	为学生从一维类比迁移到二维做好准备
一、面积概念的形成	1、材料感知：无数个点积累成线段，线段用长短来表示，那么无数条线段积累成什么？用什么来表示？电脑演示积累过程。物体的一个面的部分用什么词语来表示比较合适呢？教师一边触摸物体的某个面，一边说，这是粉笔盒前面部分，这个面的部分用长短来表示显然是不合适的，我们用大小来表示一个面的部分，这是讲台上面部分的大小，你能这样举出一些物体来说明它某个面的大小吗？如果把物体的一个面画下来，我们可以得到一些平面图形，三角形的这些部分是三角形的大小，梯形的这些部分是梯形的大小，你能举出平面图形大小的例子的吗？ 2、聚类分析：所有列举的物体或平面图形有什么共同的地方？一个面的部分用“大小”表示。 3、给出定义：物体一个平面或者平面图形的大小叫做面积		学生同桌互相举例（教师一方面要注意捕捉学生举例中的问题，另一方面注意打开学生举例的思路） 说一说：表示××物体一个面的大小就是××物体表面的面积。表示××图形的大小就是××图形的面积	通过大量感性材料的列举和触摸活动，使学生充分感知一个面的部分，以及表示面的部分的合适词语“大小”，学生的这些感知将成为他们认识面积含义的丰富内涵支撑。
二、面积大小的比较方法	类比迁移：怎样比较平 面图形面积的大小呢? (1)提供学生可直接比 较的1号图形和2号图 形。(图形见后) 沟通比较：长度比较中 重叠的是什么部分?面 积比较中重叠的又是什么部分?各有什么要求? (2)提供学生无法直接 使用观察法和重叠法， 需要进行间接比较的3 号图形和4号图形，体 验“自制”工具和单位。 沟通比较：长度比较中借用物体的什么部分进行比较?面积比较中借用物体的什么部分进行比较?		学生可能会用尺度量，但容易出现度量周长的现象，也有学生可能会借助其他工具测量面积，个别学生会用剪拼的方法进行比较(教师注 意观察学生重叠法比较过程中的问题)。	借助比较线段长短的方法，通过类比迁移，经历平面图形的 大小比较，经历“直接比较——间接比较——度量工具的产生——度量标准的统一——面积单位的形成”的过程，体会面积单位统一的必要性。 通过多层次的，沟通比较凸显长度概念与面积概念之间的差异。
三、面积单位的形成	1．引发冲突：提供学 生5号图形进行度量， 体验“自制”单位的流通局限性。为什么同一个图形，大家的测量结果却不一样呢? 2．体验标准统一：都 用同样大小的工具度 量5号图形，体验“公 制”单位。 3．单位形成：电脑演示1厘米的线段累积成1平方厘米的正方形的过程。介绍“市制”，“英制”及“公制”面积单位。用小正方形的方格纸测量 5号图形的面积。沟通比较：度量工具和单位的差异和联系。		学生以小组为单位，第一和第三小组用1 号图形做测量工具，第二和第四小组用2 号图形做测量工具测量5号图形。 剪一个l平方厘米的小正方形。量量边长．摸摸面积。 找周围哪些物体表面的面积接近l平方厘米。	在剪：摸、比等 活动中感知1平方厘米的实际大小，建立l平方厘米的表象。会用平方厘米表示面积的大小。
四、开放延伸	1．总结提炼：经历了怎样的学习过程?长度比较的工具和单位与面积比较的工具和单位之间有什么区别与联系? 2．拓展思考：(1)如果测量一个很大的面的面积，比如黑板的面，用1平方厘米的小正方形来测量合适吗?用“平方厘米”作单位合适吗?(2)如果是长方体或正方体，我们该比较它们的什么?又应该怎样比较呢?		自由交流，发表意见	提炼学习的方法结构，沟通长度与面积概念的区别与联系，为学生主动学习体积概念提供可类比 的思想方法。引导学生在一维和二维概念的基础上类比联想三维的情况。