关于小学“数学本质”的对话

桃小

什么是长度、面积、体积

唐：小学教材中大都这样表述面积和体积：“物体表面或平面图形的大小叫面积”，“物体占有空间的大小叫做物体的体积”。这是它们的定义吗?

    张：这些只是对面积、体积的描述，不是严格的定义。因为总是先有面积、体积的定义，才能谈大小。在严格的定义里不能出现“大小”的词汇。人的概念有两种，一种就是生活中自然形成的，比如说面积、体积，大家都明白，不必给出严格的定义(那是大学数学课程的内容)。现在的教材上，，把体积说成“占有空间的大小”，要学生记住，实在没有必要。事实上，要理解“空间”，比理解体积更困难，往往是越解释越糊涂。这说明，对于这类定义不要太当真。在小学里，学生头脑里的体积直觉，已经够用了。

    唐：在课堂上，我们会看到类似“排水法测土豆的体积”的案例。

张：那是物理方法。数学上可以运用，做一些教学实验。但是，数学的本质是如何“计算”某些图形的面积和体积。注意是找出“计算”的方法和公式，并不是一味地度量。面积的严密定义是“一些集合类上定义的有限可加、运动不变、单位正方形面积为1的集合函数”。这是大学里研究的问题。但是在小学课堂上，要让小学生体会面积、体积的一些特征：例如可以演示，不相交的两图形合并后的面积是两图形面积之和，图形搬来搬去，其面积不变，进而可以用单位正方形的割补、拼接去度量复杂图形面积，等等。

小学里为什么要渗透平面坐标思想

    唐：小学数学为什么要渗透平面坐标思想?坐标的核心思想就是确定位置吗?

    张：很多的教案都这样说，其实不准确。学习坐标确定位置，好像用经纬线确定地球表面上的位置一样，是地理学的研究目标。数学课程中更重要的是用坐标来表示几何图形。例如，两个坐标都一样的点(y=x)；第一个坐标为1的点(x=1)，等等，都能表示一类直线。同样也可以用坐标描绘一个矩形的“熊猫馆”。

    唐：谢谢张老师，帮助我们基于数学的本质来分析这些问题，很受启发。

    张：谢谢，希望有更多的机会与小学数学教师交流数学问题。