关于情景导入的案例与认识

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现实生活里既有数学的原型、又有数学的应用，在数学教学中联系学生的生活经验创设现实情境，一方面体现了生活的教育意义，另方面又赋予教育以生活意义，使生活世界、数学世界、教学世界得以融通，确实能从诸多方面提供教学发展的机会。比如，情景导人让学生有机会本质感悟数学：看到数学起源于现实，看到数学应用于生活，感知数学是对现实世界进行空间形式和数量关系方面的抽象化、形式化刻画。进而，能从观念层面认识到，数学里有聪明的符号但别以为数学只是聪明人的符号游戏，数学里有智力的想象但别以为数学只是想象者的智力玩具，数学是认识世界、改造世界的有力工具。

又如，创设情境的学习方式基于学生的“数学现实”，发展学生的“数学现实”，符合学生的认知规律(从直观到严谨、从具体到抽象、从特殊到一般等)，既便于建立新旧知识之间非人为的实质性联系，又有利于感受数学知识的形成过程、感受数学发现的拟真过程，经历：“数学化”，学会“数学地思维”。

    此外，创设数学情境可以弥补直接传授结论的局限，为数学的学术形态转变为教育形态提供自然的通道，为数学的呈现方式转变为数学的生成方式提供具体的环境，使学生的学习过程有机会成为在教师引导下的“再创造”过程。

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值得重视的是，理论上的好处与实践中的落实有一段很长的距离，现实原型与数学模式之间也有许多关系需要明确。我们想通过案例来作具体的说明。

    1  关于情景的案例

    1．1  钟面上的时针与分针是否组成角

案例1  下面是一位教师在上人教版七年级上册“角的度量”第一课时的教学片断。

    教师首先出示了时钟、棱锥、树叶等几幅图片。

    教师：请同学们找出以上图片所含的角。

    学生：钟面上的时针与分针，棱锥相交的两条棱，树叶上交错的叶脉等都是角。

    教师：这些角有什么共同的特征?你能否根据这些特征给角下一个定义?

    学生：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

教师：由线段OA，OB组成的图形是角吗?

学生：不是角。

    教师：回答正确。因为OA，OB是线段而不是射线，所以由线段OA，OB组成的图形不是角。

    学生：老师，如果根据角的定义，钟面上的时针与分针，棱锥相交的两条棱，树叶上交错的叶脉那也不是角了?

    教师无言以对。(参见文[1])

    在另一个场合，我们还见到有的学生以为，他所拿的小三角板60°比老师所拿的大三角板60°小一些。

1．2  汽车在高速路上行驶是平移吗

    案例2  下面是“生活中的平移”公开课的教学片断。(2007年10月20日)

    (1)教师用投影片出示生活中平移的例子：游乐场的滑梯，天空中的飞机，大海里的轮船，行走的玩具狗等。启发学生从三个方面：几何图形，运动方向，移动距离，去思考以上几种运动现象有什么共同特点。

    (2)学生发表看法，教师归纳它们的共同特点，引导学生说出平移的定义。接下来，教师用更加规范的语言描述平移：

定义：在平面内，将一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，这样的图形运动称作平移。

(3)接下来教师请同学们再来看两个生活中平移的例子：传送带上的电视机，手扶电梯上的  人，由这两个例子的共同特点得出平移的特征：平移不改变图形的形状和大小。

(4)教师请学生举出生活中平移的现象。同学们顺利举出很多例子。突然，出现一个争论：

一个男学生说，汽车在高速路上行驶是平移。

一个女学生不同意，汽车在高速路上行驶不是平移。

    教师问：为什么不是平移?

    女学生答，因为汽车跑起来方向不固定，还会拐弯。

    教师说，对，平移的物体要沿着一定的方向移动一定的距离，现在汽车的方向不固定，所以不是平移。

    (5)课后议论：飞机在空中飞行、轮船在水面行使，也会拐弯，还有颠簸，为什么飞机、轮船是平移，汽车在高速路上行驶不是平移?

     1．3  什么是直线

     案例3  在“线段、射线、直线”的公开课上(听课教师数百人)，执教老师希望学生了解“线段、射线、直线的定义”，并结合实际“理解直线公理”(经过两点有且只有一条直线)。(2006年10月23日)

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   (1)部分教学片断片断1
让学生直观感受直线。回忆小学时的相关概念，出示了一组图片，如图1的做广播操队列：(还有玉米地，高速路，铁轨)等，让学生感受生活中的直线。

片断2
让学生进行“队列活动”(站起来)，体验：两点确定一条直线。

活动1：教师让一个学生(甲)先站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与甲同学共线的就站起来。一开始，你看看我、我看看你，没有人站起来，不一会四面八方有人站起来，最后全班学生都站起来。教师总结：过一点的直线是不唯一的，所以每个同学都可以与甲同学共线。(经过一点有无数条直线)。

活动2：教师让两个学生先站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与这两个同学共线的就站起来。学生很快作出反应，站起来了一斜排同学。教师总结：两点确定一条直线，所以有且只有一斜排学生与这两个同学共线。(经过两点有且只有一条直线)

活动3：教师让三个学生先站起来，然后请同学们自己确定，凡是能与这三个同学共线的就站起来。当三个学生共线时，站起来了一斜排同学；当三个学生不共线时，有个别学生站起来(与其中两个同学共线)，后来又坐下了，最终没有一个人站起来。教师总结：经过三点可能有一条直线，也可能没有直线。
整堂课，学生活动或回答问题不下四、五十人次，有的学生站起来等活动不下六、七次，课堂气氛很热烈。
(2)对“直线”的反馈调查
课后了解，学生很欢迎这堂课，都很高兴。
片断1
(调查学生)询问学生“今天这节课你学到了什么?”学生回答：学到了线段、射线、直线。询问学生所理解的直线是什么?学生不能回答。经追问“说说直线是什么样的图形?”学生还是答不上来。
片断2
(调查听课教师)把询问学生的情况向听课教师汇报，特别提出，学生学习了一节课直线但说不出直线是什么，各位老师，你们也听课了，可能还上过这个课题，你们说说直线是什么?
全场肃静，没有一个教师回答。
片断3
(调查执教老师)转而询问执教老师：你认为直线是什么?教师没有正面回答，更多的是介绍教学设计的意图。
(3)反思
情况表明，有三点特别值得反思。
(1)知识的封闭性。
首先一个表现是，不知道直线没有定义!
其次一个表现是，不明确直线的一些属性，教学中不能自觉渗透这些属性。如，无穷个点组成的一个连续图形，两端可以无穷延伸，很直很直，等等。

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  但是，“连续”、“无穷”、“很直”等又是需要定义的，因而，这些词语都只是粗糙的解释。从公元前三世纪欧几里得《几何原本》以来，数学家曾作过直线定义的许多努力，但都没有成功，因为点、直线，平面是原始概念，不能严格定义。描述它们的基本办法是用公理来刻画，本节课中的“直线公理”：经过两点有且只有一条直线，正是直线的本质特征。试想，如果“直线”不是很直很直的，那经过两点就可以连出很多很多曲线；同样，如果“直线”不是两端可以无穷延伸的，那经过两点的线段就可以延伸出长短不一的很多很多直线。教学上也有一些处理技术，比如，本节课中先描述“线段”，然后，用线段来描述直线，把直线理解为线段两端无限延伸所形成的图形。
(2)情景的局限性。
现实原型与数学模式之间既有联系更有区别，比如图1中的做广播操队列与直线之间可以找到很多不同，列表表示如下：

表1

内容项目	做广播体操的队列	直线图形
具体与抽象	有宽度、有高度	没有宽度、没有面积
粗糙与严格	学生之间凹凸不平、高低不齐	直线是“很直”的
一维与三维	三维立体的	一维的
有限与无限	有限个人组成	无限个点组成
连续与间断	间断的	连续的
特殊和一般	一个现实原形	许多现实原形的形式化抽象
实在与形式	生活中存在	生活中不存在
……	……	……

学生虽然在队列“前后对正、左右看齐”的活动中感受过直线的“直”，但在这些区别面前，还是需要教师去做“数学化”的提炼工作，把不是数学的“广播操队列”提炼成数学上的“直线图形”。没有这个提炼过程，学生获得的可能不是数学、或者是硬塞给他们的数学。
(3)活动的单一性
通过站起来，体验“两点确定一条直线”的活动，确实设计得很精彩，但给人的感觉是：更关注“唯一不唯一”的量性收获，缺少为什么“有且只有一条”的质性渗透，本质上是数学化过程不足。所以学生学了“直线公理”不会用“直线”去解释“公理”、或不会用“公理”去解释“直线”。这个活动还使我们想起“土豆能组成集合吗”的美国案例。
感悟：数学教师要有充实的数学知识，数学教学要有数学化的能力。
1. 4
土豆能组成集合吗
案例4
20世纪60年代，美国的新数学运动强调应当在中小学甚至幼儿园及早地引入“集合”概念，以下是在这一背景下发生的一个案例。

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一个数学家的女儿由幼儿园放学回到了家中，父亲问她今天学到了什么?女儿高兴地回答道：“我们今天学了‘集合”’。数学家想道：“对于这样一个高度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了。”因此，他关切地问道：“你懂吗?”女儿肯定地回答：“懂!一点也不难。”这样抽象的概念难道会这样容易吗?听了女儿的回答，作为数学家的父亲还是放心不下，因此，他又追问道：“你们的教师是怎样教的?”女儿说：“女教师先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；其次，她又让所有的女孩子站起来，并说这就是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合，黑人孩子的集合，等等。最后，教师问大家：‘是否都懂了?’她得到了肯定的答复。”这样的教学法似乎也没有什么问题，因此，父亲就以如下的问题作为最后的检验：“那么，我们能否以世界上所有的匙子或土豆组成一个集合呢?”迟疑了一会，女儿最终回答道：“不行!除非它们都能站起来。”(参见文[2])
1．5
四边形外角和定理的微型调查

案例5
几年前(1999年6月28日)，我们在《教学法》课的期末考试中，有意测试大学生的数学直觉猜想能力，同时也检验该教学设计的有效性。情况表明，我们对学生真实的思维活动了解是很肤浅的。

(1)调查的设计
①测试对象：师范院校的本科大学生77人。
②测试题目：有一个四边形ABCD(中学指凸四边形)，某人从AB内一点出发，沿周界走一圈回到原处，中间作了4次拐弯，最后与出发的方向相同，请从这一想象中提炼出一数学定理，并给出证明。
③测试意图：这道题目的设计背景是四边形外角和定理，或者说，以此作为发现四边形外角和定理的“认知基础”主要提供了3条信息。

信息1：如图2，某人沿四边形ABCD的周界走了一圈，回到原处。
这条消息叙述了一个事实，从而反映出四边形的结构特征。但这一反映是很粗浅的(图形封闭，周长有界……)，下面继续对这一事实进行过程与结构的两种描述，其实质是对四边形结构性质进行更深入的刻画。

信息2：将走一圈的过程分解为在4个顶点处作了4次拐弯。

提供这一信息的意图是把“走一圈”的结果从数量关系上分解为4个外角之和∠1＋∠2＋∠3＋∠4。

信息3：将走一圈的结果表示为最后的方向与出发的方向相同。

提供这一信息的意图是把“走一圈”的结果从数量关系上表示为转了360°。

既然，信息2与信息3表示的是同一事实，其两种数量刻画就可以用符号联结起来，得出∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°。

(2)测试结果
对于不知道外角和定理的初中学生来说，这可能是一个“再发现”的过程，但对于大学生来说，定理已学过，主要的工作是将问题情境提供的信息加以辨认，然后从记忆储存中检索出相应的命题来，从辨认到检索有一个直觉猜想的过程，由于大学生有较多的已知信息作参照，能力水平也较高，我们预计，绝大多数的同学都能按照我们的意图作出回答。但结果却很意外，只有19．48％的人回答为外角和定理。回答分为四类，列表如下。

表2

类别	外角和定理	内角和定理	其他回答	未回答
人数	15人	27人	25人	10人
百分比	19.48%	35.06%	32.47%	12.99%

25个“其他回答”中涉及n边形、向量、复数等广泛的方面，(参见文[3])
2
关于情景的认识

上述各案例的一个共同特点是，既不乏创意，又引发思考，谈8点认识。


2.1
一方面现实情景不是数学，另一方面现实情景是数学概念的原型，是学生认识抽象数学模式的“认知基础”

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  原则上讲，案例1中钟面上的时针与分针、棱锥相交的两条棱、树叶上交错的叶脉等都只是“角”的具体原型，它们都不是数学概念“角”，也不是数学，连图形都不是。数学家所描述的世界并不是客观实在的世界，没有面积的点、没有宽度的线、两端无穷延伸的直线等，生活世界中从来就没有，谁也没见过、什么时候都拿不出来。所以，当教师“请同学们找出以上图片所含的角”时，其对“情景”与“数学”的关系至少是简单化了，其对线段与射线的关系也简单化了。

但是，具体现实情景具有抽象数学模式的必要因素和必要形式，是数学概念的原型、故乡和源泉，在数学教学中，这些具体现实情景是学生认识抽象数学模式的“认知基础”，它能生动显示相关概念的基本性质、具体呈现相关法则的基本结构。我们在数学教学中要积极创设抽象概念的现实情景，努力提供产生形式化概念的具体原型，尽可能贴近、再贴近学生的“数学现实”。

2．2  现实情景应具有数学对象的必要因素和必要形式

    戴维斯指出，一个好的“认知基础”，应当具有这样的性质：它能自动地指明概念的基本性质或相关的运算法则。

    在“乘法交换率”的教学中，有教师这样创设情境：用一个柄特别长的勺子喝水，勺子太长自己喝不到，怎么办?学生经过讨论找到“交换喝水”的办法：你拿勺子喂我喝，我拿勺子喂你喝，喝水问题圆满解决。这个“活动”固然有趣，办法也很好，但与“乘法”没有关系，亦离开了“数量不变”的交换率本身。交换率的本质是变化中的不变性，学生在这里学到的不是数学或不是“乘法交换率”。(参见文[4])

数学并不只是一种有趣的活动，仅仅使数学变得有趣起来并不能保证数学学习一定能够获得成功(数学上的成功还需要艰苦的工作)。有效的情景应该起始于精细的数学认知分析，使情景具有数学对象的必要因素和必要形式(这是一个创作与创造的过程)，只注意情景的形式，缺失了数学及其本质(去数学化)，会好心办坏事。

案例1中用“钟面上的时针与分针，棱锥相交的两条棱，树叶上交错的叶脉”等创设“角”的情境，具有角的必要因素和必要形式；案例2中用“游乐场的滑梯，天空中的飞机，大海里的轮船”等创设“平移”的情境，具有平移的必要因素和必要形式；案例3中用“做广播操队列、玉米地，高速路，铁轨”等创设“直线”的情境，具有直线的必要因素和必要形式。但创设生活化情景的基本目的是设计数学发现的拟真过程，更重要的工作还在后面的“数学化”提炼。

2．3  从具体情景到抽象数学模式之间有一个“数学化”提炼的艰苦过程

从钟面上的时针与分针等具体现实情景(原型)到抽象数学概念“角”(模式)之间，从天空中的飞机等具体现实情景(原型)到抽象数学概念“平移(模式)之间，从做广播操队列等具体现实情景(原型)到抽象数学概念“直线”(模式)之间，都有一个“数学化”的提炼过程，这个过程可以根据教学要求来决定它的长度与深度，但不能简单化或形式主义过一下。在案例1“角”的教学中，“几幅图片”一出示，马上就是“角”，接着就是“角的定义”，数学化过程几乎没有，实质上是借学生的“嘴”代替老师的“灌”(机械接受学习)。案例3中从广播操队列到直线图形之间也缺少必要的渗透与揭示，所以学生学了直线不知道直线。案例2能启发学生从二个方面(几何图形，运动方向，移动距离)去思考以上几种运动现象有什么共同特点，是“数学化”的一个努力。

    数学化过程需要不同程度地经历：辨别、分化、类化、抽象、检验、概括、强化、形式化等步骤。在教学条件下，通常的做法是从大量具体实例出发，从学生实际经验的肯定例证中，以归纳的方法概括出一类事物的本质属性，通常是沿着：“具体——半具体、半抽象——抽象”的路线前进。较为关键的是如下5个步骤：

    (1)辨别一类事物的不同例子；

    (2)找出各例子的共同属性；

    (3)从共同属性中抽象出本质属性；

    (4)把本质属性与原认知结构中适当的知识联系起来，使新概念与已知的有关概念区别开来；

    (4)把新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，以明确它的外延；

    这个过程很重要，体现了数学学习的一个核心价值——数学化。弗赖登塔尔认为，与其说是学习数学，不如说是学习“数学化”。

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2．4  别把“共同的特征”误认为“本质属性”

“共同的特征”只是“本质属性”的必要条件。“数学化”的过程尤其要注意的是，别把“共同的特征”误认为“本质属性”。如果提炼的数学化过程“夹生”，非本质属性泛化，那么，“认知基础”会异化为“认知障碍”。

案例4学“集合”的情景中，“人”、“站起来”、“幼儿园里”、“男女性别”、“皮肤颜色”等都是组成集合的非本质属性，一次又一次的重复，会强化两个非本质的共同属性：

(1)“站起来”的动作；

    (2)组成集合的元素具有“相同属性”：或性别相同、或皮肤颜色相同。

    当父亲问“能否以世界上所有的匙子或土豆组成一个集合”时，女儿回答：“不行!除非它们都能站起来”，实质上已把“站起来”当作集合的一个要素了，土豆“不站起来”就不能组成集合吗?这是非本质属性泛化。如果女教师当初让坐着的学生也组成集合，让坐着的学生与站着的学生同时组成集合，就可以避免“站起来”的强化，如果让人与桌子也组成集合，应有助于淡化“组成集合的元素有相同属性”的误解。

    数学是去掉具体事物的物理性质、化学性质后的抽象结构或模式。

中国数学教育的一个特色与优势正是，通过“变式教学”来消除“共同而非本质属性”、突出本质属性，使得以讲授法为主体的大班教学依然能进行“有意义”的数学学习。(有意义接受学习)

2．5  注意情景的局限性

    最好的情景都会有局限性，它不像数学概念那样简洁、纯净和准确。在案例1中，钟面上的时针与分针到底代表线段还是代表射线并不明确，一开始作为角的一个原形时，教师心里认定两针代表射线(所以“请同学们找出以上图片所含的角”)，到了讨论“两条线段是否组成角”时，教师又让两针代表线段，造成自己“无言以对”。之所以会有前后两个认定，源于情景的模糊性和局限性。

    同样，在案例2“平移”的教学中，“汽车在高速路上行驶’’所引发的争议，也与情景的局限性有关。比如汽车在二环线上行使，微观看是直线运动，宏观看是圆周运动，更宏观一点还是在地球表面上的旋转，情景的这种模糊性，是数学概念所没有的(数学概念的纯净性也同时失去了具体情景的丰富性)。

    在案例3的教学中，现实情景的有限性难以表达抽象直线的无限性，现实情景的离散性难以表达抽象直线的连续性(参见表1)。一条高速路，当着眼于距离时能提炼出线段，当着眼于笔直延伸时能提炼出直线，当着眼于面积时能提炼出矩形，当着眼于用料时能提炼出长方体。生活世界有自身不可克服的局限性，它不可能给我们提供太多的理性承诺，学校教育恰恰应该着眼于社会生活中无法获得、而必须经由学校教育才能获得的经验。

    情景的局限性还给我们寻找恰当的情景带来困难，这时我们常常采用经过加工的拟真情景——源于3见实而又不拘泥于真实，关键只在于这种情景应具有相关数学知识的必要因素与必要形式，案例5中某人沿四边形周界走一圈，正是半具体、半抽象的“拟真情景”。又如，有的教师或资料提问：“白纸对折64次，有多高?”这只能理解为“拟真情景”，白纸对折1、2、3、4、5、6次不难，是真实情景，但继续下去，不到10次纸就会折断，对折10次都不可能，对折64次只能是一种想象——数学思维实验。不了解这些情况，万一学生提出“对折64次根本不可能”时，教师难免又会“无言以对”。

2．6  用数学去解决实际问题时，可以直接给情景一个数学模型

一方面，在数学化提炼时我们要注意情景还不是数学，要注意情景的代表性，要体现情景的数学化过程。另一方面，在用数学去解决实际问题时，我们又会直接给情景一个数学模型，如“从3时整开始，在1分钟的时间内，3根针中，出现一根针与另外两根针所组成的角相等的情况有            次。”(见文[5])这时，时钟的针直接就组成角，这与从时钟情景提炼数学模式是两会事。