试析逆向思维的内涵及培养

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逆向思考是思维向相反方向重建的过程。思维的可逆性，使人们在认识客观事物肘，不仅可以顺向思考，而且可以逆向思考；不仅可以从正面看，而且可以从反面看；不仅可以从因到果，而且还能执果索因。小学数学中的许多概念、性质、运算、思路、方法都是互逆的，如加法和减法、扩大与缩小、增加与减少、计量单位的化和聚……都表现为处于同一整体结构中的两种五逆的意义。学生要认识数学知识的这种可逆性，就要具有逆向思维的过程与之相适应。因此，教师应在教学中有意识地适时地帮助学生实现由顺向到逆向的思维方向的重建，使“思维迅速而自由地转换到相反的进程“。这无论对学生掌握知识本身，还是对扩展他们的认知结构，培养他们面对复杂数学情境能顺逆回环自如的思维灵活性都十分有意义。

如教师让学生解答应用题: “5筐梨，每筐梨的质量一样。从每筐中拿走30千克，剩下的梨正好是原来2 筐梨的质量。每筐梨重多少干克? ”多数学生在理解 “剩下的梨正好是原来2筐梨的质量”时，思路拘泥于“先要求出剩下的梨的质量”，但觉得剩下的梨的质量不好求，教师可这样引导——

师:剩下的梨的质量不好求(加重语气) ，但是——（拖长语气。如学生仍无反应，则再启发)能反过来想想吗?

生:剩下的梨的质量不好求，但是（拿走的梨 的质量比较好求，共拿的走梨重30×5=150(千元)。

生:剩下的梨正好是原来2筐梨的质量。反过来想，就是拿走的梨的质量正好是原来(5-2)筐梨的质量。因此，每筐梨重30×5＋(5－2)=50(千元)。

师:有些问题，顺着想不能解决。我们反过来想想，常能找到解决问题的方法。

对逆向思维这一概念进行深入分析后，可将其具体化为三个方面的内涵：一是由终点回到起点的还原；二是由某一知识向与之相反的别的知识的逆联想；三是从某一结果出发，对导致此结果的诸多原因及其关系的逆分解。在小学数学教学中培养学生的逆向思维可从以下三方面着手进行。

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一、由顺而倒，培养还原意识一般说来，可逆的数学知识总是处于顺逆双向的整体结构之中，学生不仅要理解和把握从原始起点到 终点的次序和结构(此为顺向，亦即原发过程)，而且要理解和把握从终点回到原始起点的次序和结构(此为倒向，亦即还原过程)。可逆的数学知识的原发过程和还原过程的中间环节完全一样，思维方向却完全相反，而且后一层次的还原，总是在原发过程之后，循着相同的申间环节回溯进行。这样，还原就一定是处于由顺而倒、先顺后倒的结构之中，并一定是在相应的思维过程中展开。教师应细心挖掘教材中的可倒资源，不失时机地在由顺而倒、先顺后倒的学习过程中，渗透还原意识和策略。如：当学生熟练掌握了从1逐一 数到1(或10)的次序和结构后，可适时引导学生倒过来从1(或10)逐一倒数到1；当学生学会了用循环节简写循环小数后，可及时让他们将简写的循环小数还原成没有简写的形；当学生学会用四舍五入法取近似值后，可要求学生思考哪些数经四舍五入后可得到某个近似值……很明显，这些逆向的心理过程的顺利完成，有赖于对顺向的原发过程的鲜明感知和深刻理解，在这些由顺而倒的整体的教学设计中，学生不仅从顺逆回环中获得对数学知识本身全面深刻的理解，而且在潜移默化中发展了还原的意识和策略。

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二、自正及反，形成逆联想教育心理学家克鲁捷茨基在论述心理过程的可逆性时指出“在一种逆向思路中，思维并不总是沿着完全相同的思路进行，而只是向相反方向运动。”“向相反方向运动”的逆联想能力不像还原过程那样严格地按照相反的次序出现并最终回到始发点上，而是由眼前的事物、事实或过程联想到与之相反或相对立的别样事物、事实或别种过程，从而进入新的数学意境。教师应抓住有利时机，引导学生逐步形成自觉地由正及反的逆联想能力，如学生理解了“8比5多3”后，让学生想到“5比8少3”，由“修了一条路的3/5”想到“还剩2/5没有修”……

经常这样从已知出发诱导学生“反过来想想”，便能使学生逐步形成由正及反的逆联想习惯，日后学生在正向解题感到困难时，就会自觉地调整思维方向——向着相反方向进行某种试探、猜测，联想出新的意念，产生新的领悟。如“某店有两个仓库，甲仓存米是乙仓存米的3.5倍。当乙仓运出6.25吨米后，甲仓存米是乙仓的6倍。甲乙两仓现在各存米多少吨?”学生往往习惯于顺着题意从倍数角度得出“乙仓现存粮 6.25+(6-3.5)=2.5(吨l，甲仓现存粮2.5×6=15(吨)”的错误解答。有的学生虽然也能看出作为1倍量的乙仓存米的质量是变化的，却又不知从何入手分析。具有逆联想能力的学生则能自觉地让思维向相反的方向重建，从变化的量(乙仓存米的质量)逆想到不变的量 (甲仓存米的质量)，从而换用甲仓存米的质量为单位“l”的量，实现由倍到率的思路逆转，先求出甲仓存米的质量为6.25÷(1/3.5－1/5)=52.5(吨)再求出乙仓现在存米为52.5÷6=8.75(吨)。

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三、执果析因，引导逆分解

数学知识间存在着各种复杂的因果关系，常常出现几个因素共同影响和产生一个结果的情况。这些因素或是同心合力，或是反向抵冲，以不同的关系影响结果。分析这种复杂的因果关系，应具备从结果出发分解成困的逆分解意识和能力。如“小明算加法，把一个加数个位上的2当做了7，十位上的9当做了4，结果求得和722，正确的和应是多少? ”教师可引导学生思考 而把原因分解为：①把个位上的2误当做了7，使和增加了(7-2)=5；②把十位上的9误当做了4，使和减少了90-40=50。最后引导学生得出“这两个导致错误的原 因一个使结果变大，一个使结果变小，两相抵冲，错误结果比正确结果小50-5=45，因此，正确的结果为722+45=767”。又如“郑师傅负责加工一批零件，预定12天完成。由于改进了操作方法，实际每天比原计划多加工了4个，在1天内不但完成了这些零件的加工任务， 还帮助别人加工了20个同样的零件。郑师傅加工了多 少个零件? ”教学时，教师可引导学生这样分析郑师傅1天内比计划多加工的零件数4×l=40(个)，包括原计划2天的生产任务和帮助别人加工的20个零件。 这样，原计划2天的生产任务就可以从中逆分解出来， 即原计划2天加工(4×l-20)个零件，每天加工零件 (20+2)个。上述解题的思维过程是一种复杂的逆思考。它不仅要求抓住某一结果，对导致这一结果的诸多原因进行缤密的逆分解，而且要求对这些因素影响结果的方式进行分析。显然，恰当地对学生进行此类思维训练，可培养学生的逆向思维能力。