“捆”的启示

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乘法分配律涉及到两种运算，而其他运算定律只存在同一种运算，所以学生在运用乘法分配律时容易发生一些混淆，出现和其他定律纠缠不清现象，有时看到一些类似的算式，实际上不能用分配律的习题也贸然使用，造成了笑活和失误，令人遗憾。

    如果在教学前对这些现象有所觉察，在备课设计练习的预设过程中关注学生的易错处，那么分配律不但能教得流畅，学得轻松，而且能让学生感到数学确实是一个五彩缤纷的世界，是一个开发智力，培养技巧的知识王国。

    按苏教版小学四年级下册的编排，从夹克衫每件65元，裤子每条45元，买5件夹克衫和5条裤子一共要付多少元的情境出发，引导学生用两种不同的综合算式得到一个等式：65×5＋45×5=(65＋45)×5，从发现等式，找出规律，说明规律存在的理由，学生很快可以举出类似相仿的等式，并用字母(a＋b)×c=a×c＋b×c表示，还用自己的语言表达：两个数的和乘一个数等于这个数分别与两个数相乘，再把得到的积相加。从表象上看学生基本上理解并掌握，但实际操作时为什么仍有错误出现呢?笔者认为是对乘法分配律的算理尚未彻底弄懂。原因是什么呢?让我们还是从算理上分析学生困惑的地方。例：5件夹克衫和5条裤子看作5套衣服，这是情境下的问题，学生容易理解，在无情境的情况下，13×26＋24×13时，对13×26到底说成是13个26还是26个13，学生很难说到位。于是要求学生找出相同乘数是13，说明是有26个13 和24个13相加，共有50个13，即：(26＋24)×13，此时学生仿佛明白了一点，可仍是迷惘，究竟有几个几?如何一次性地说对仍没有把握。

    在近日的青年教师评优课上，听到一年级教学中将10根小棒看作一捆，比如34看作3捆小棒再加4根小棒，从中得到启发，将相同加数看作一捆小棒，即将13行作一捆小棒，现在有26捆小棒加上24捆共有50捆小棒。因为每捆是13根，所以50个13是13×50=650，说到“捆”，学生茅塞顿开，说起来也顺口多了，理解更透彻，对迁移能力较差的学生在指导初期还在相同乘数上画一个圈，更能形象地让学生理解捆的再现。

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我认为将相同乘数理解成捆有几点好处：

1．拓展了捆的内涵，加深了对字母表示数的抽象理解，打破了将一捆小棒固定为10根的定势，随着解题的需要和理解的深入，发展到一捆小棒可以是任何根数，从而对用字母理解的要求更是水到渠成，它是随着习题的需要而在不断地变化，我们的思维也因此不断地被点亮，并引向深入。

2．巩固了乘法就是求几个相同加数和的简便运算的旧知。在情境的诱发下，学生对65×5可以理解为5个65，但在无情境的状态下，例13×26＋24×13，究竟是13个26还是26个13学生很难说到位，那么将相同乘数看作捆后，说起来十分顺口和方便，有利于学生感悟数学知识的发生、发展的基本脉络，形成更为合理的认知结构。

    3．利用了捆的直观理解，促进了形象思维的发展。在解决没有情境的习题时，当学生在算理上仍有闲惑时，将低年级的启蒙旧知拿出来，迁移到相同乘数上，可以让学生深刻地体会到数学知识形成、发展和提升，在思考问题时，时刻联系旧知，从而使自己的理解越来越透彻。

    4．加深了等式的“变形”必须有运算律保证的意识。简便运算很大程度上是凑整，但必须在运算律(或性质法则)保证下才能将算式恒等变换，整理或改变成运算律的标准式，可学生往往不能深刻地理解这个要领，随意性很强，就会出现许多令人意想不到的变形算式，最终酿成错误，懊恼莫及。在有情境的情况下，65×5肯定理解为5个65，可在脱式计算时为了解释分配律的算理，有必要将65×5变为65个5，因为在算式中有乘法交换律的保证，此时可以脱离情境，就算式解释为什么可以这样计算的理由，由此进一步想到，在简便运算时，任何一步变形、整理都是在运算律(或性质、法则)保证下才能恒等地变换或整理，而这种运算律的使用有时是几个律一起出现，同时使用或者组合使用。比如：65×5、5×45可变形为65×5、45×5，因为有乘法交换律的保证，将5x45理解为5个45或45个5都行。随着经验的积累会意识到交换律和结合律一般是组合使用的，而分配律和交换律，结合律又是就题而言，选择性地使用，使算式按需要而进行恒等变换，从而使计算简便、合理、迅速、正确。

天涯

茅塞顿开