由一道习题引出的数学思想和方法

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看了《中小学数学》(小学版)2008年第3期乔斌老师的《小学数学教学中渗透数学思想方法的探索与思考》一文，感觉如遇知音，“编者语”又给我们指明了方向、笔者也坚持认为：数学思想是对数学知识、方法的本质认识。数学方法表现为一种模式，一种解决问题的途径和手段，数学思想总是融合在数学知识中，并通过数学方法表现出来数学方法的内核又是数学思想，它是以数学思想为指导，又可升华为数学思想。学习和研究数学思想方法，有利于我们教师深刻的认识数学教学内容，以较高的观点分析和利用教材，更有利于提高学生的数学素养。

下面我以苏教版课标教材六年级(上册)“分数四则混合运算”的一道习题：“操场跑道一圈长2/5千米，小华跑4圈用了2/15小时、平均每小时跑多少千米?”为例，谈谈教学时可以有哪些数学方法的表现和数学思想的渗透。

    一、化归思想及化归法

    化归法是指将有待解决的问题通过某种途径进行转化，归结为已解决或易于解决的问题，最终使原问题获得解决的一种方法。化归法根据转化条件的不同，有转化已知条件，转化问题和转化整个题目三种。此题体现为转化条件+转化条件：可以把“小华跑4圈用了2/15小时”转化成“小华跑1圈用了1/30（2/15÷4）小时”，即原题转化成“操场跑道一圈长2/5千米，小华跑1圈用了1/30小时。平均每小时跑多少千米?”，由原来的两步转化成一步，很容易就能解决问题。

    二、建模思想

    数学模型方法是指针对要解决的问题来构造相应的数学模型、再通过对数学模型的研究去解决实际问题的一种数学方法。数学公式既是反映客观世界数量关系的符号，又是从现实世界抽象出来的数学模型，它具有典型的意义。此题是一道典型的行程问题，是研究速度、时间和路程相互关系的问题，其数学模型可用公式“路程=速度×时间”来表示。此题求的速度，即“平均每小时跑多少千米?”，只要用“路程÷时间”就能解决问题，也就是传统意义上的数量关系在教学中的体现。

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三、分析法

    分析是将被研究对象的整体分解成若干个部分、方面、因素或层次，或从整体中区分出个别特性，个别方面的思维方法。即解答此题时，由问题“平均每小时跑多少千米”出发，想：要求“平均每小时跑多少千米”，需要知道哪两个条件(路程、时间)，而条件中告诉我们“操场跑道一圈长2/5千米，小华跑4圈用了2/15小时”，也就逐步靠近了需知。由此可以引申出两种做法：一是用1圈的路程除以1圈的时间，即2/5÷（2/15÷4）；二是用4圈的路程除以4圈的时间，即2/5×4÷2/15。

    四、综合法   

    综合是在审题的基础上，将已有的关于研究对象的各个部分、方面、因素和层次的认识联结起来，形成一个整体的思维方法。即在解答此题时，从已知条件“操场跑道一圈长2/5千米，小华跑4圈用了2/15小时”出发，想：可以知道什么?并逐步求出未知。由此不但可以得到前两种做法，还可引申出第三种解法：由“小华跑4圈用了2/15小时”可以知道小华平均每小时跑多少圈，再求出平均每小时跑多少千米。列式为4÷2/15×2/5。

    五、假设法   

    假设法是根据题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后再进行推算，对数量上出现的矛盾适当调整，以求出原问题的答案。常用的假设法有条件假设，问题假设与情景假设，此题中假设法的渗透主要是条件假设和问题假设。

    条件假设：可以把2/15小时假设成小华1圈所用的时间，2/5÷2/15求的就是小华的速度，而把4圈的时间假设成l圈的时间，显然时间扩大了4倍，速度应缩小4倍，所以，还原时应乘4，列式为2/5÷2/15×4。

    问题假设：可以把求“平均每小时跑多少千米?”假设成求“2/15小时跑多少千米?”，最后再还原到“l小时行多少千米?”，虽然列式与前面的有重复，但思路却完全不同。    数学知识面广量大，无论如何也学不完的，但思想方法只有有限的几十种，如果教师在数学教学时能时时表现、渗透，那学生掌握后则终身受用。一道习题，引出了这么多的数学思想和方法，并不要求在教学时做到面面具全，但必须做到潜移默化、日积月累。在教学时，除了考虑到写的明明白白的数学知识外，更要关注渗透在知识体系中的数学思想和方法，只有这样我们才能收到时时“水滴”，方会“石穿”的效果。

天涯

传统意义上的数量关系在教学中的体现