体验：解决问题策略的教学之魂

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【缘起】

  五年级（下册）教材第88、89页“解决问题的策略（倒过来推想）”安排了两道例题。笔者在和一线教师讨论这部分教材时，有教师认为这两道例题的编排顺序似乎颠倒了。理由是例1虽然出示的是果汁变化的直观图，但题中有甲、乙两个未知量，且两个未知量都在发生着变化，题中也没有直接告知两杯里的果汁最后有多少毫升。而例2变化的只是小明一个人的邮票张数，最后的结果也是已知的，例2数量关系更简单，倒过来想的思路更典型，教学时应该将这两道例题调换使用。当时，笔者和其他教师都认为这种说法有道理。但事后仔细思考，又有了新的想法。

  【初步思考】

  “解决问题的策略”是苏教版课程标准教材中新增加的内容，作为小学数学教材中出现的“解决问题的策略”，其教学显然不同于一般的“奥数”训练。“奥数”训练追求的是在最短的时间内让学生掌握相关的解题技巧，而教材中安排“解决问题的策略”，其宗旨是加强对策略形成过程的体验，要让学生通过学习形成良好的“策略意识”。具体表现为能体会策略的特定价值与意义，掌握运用策略的基本思路和过程，能适当地将策略与实际问题匹配，主动运用策略解决问题，获得问题解决后的成功体验，它更多地强调“过程”的价值和策略的丰富内涵。与此相对应，教材编排更多地突出了让学生经历策略的形成、体验的过程，例题是按照“归纳”而非“演绎”的逻辑顺序来编排的。例1是借助直观的倒水过程，体验“倒过来推想”的思考方法，能唤起学生已有的“倒过来推想”的经验，从而初步感受策略；例2则借助典型的倒过来推想的过程，加深对使用这一策略的认识和体会。教师在认识教材时，忽视了对“解决问题的策略”教学意义的深入理解。

  本课的教学如何实现从关注结果到关注“过程体验”的转变呢？

  【教学尝试】

  一、 游戏导入，激活经验，感知有些问题可以倒过来推想

  游戏：“破译密码”。请学生用1～4四张数字卡片任意组成密码反扣在黑板上，教师将其中的第一、三张交换位置，再将第二、四张交换位置后翻开。

  提问：你们能发现这位同学设置的密码吗？你是用怎样的方法破译的？

  借此提问，让学生感受到生活中有些问题是可以倒过来推想的。

  二、 分步呈现，突出特征，知道什么样的问题可以倒过来推想

  出示甲、乙两杯不同量的水（甲杯多，乙杯少），提问：你能说出两杯中各有多少毫升的水吗？

  提示：如果这两杯水共400毫升，你能准确说出两杯中各有多少毫升的水吗？

  教师一边演示一边说：从甲杯中倒入乙杯40毫升。现在你看到了什么？（板书：甲杯倒入乙杯40毫升，现在两杯水同样多。）

  提问：现在你能知道原来两杯水各有多少毫升吗？在引导学生思考、讨论后，要求学生用自己喜欢和熟悉的方法把思路表达出来。

  选择学生中出现的几种典型方式进行展示交流，如画图法、列表法等。

  反思：为什么告诉你两杯水共有400毫升，你不能知道有多少毫升，而又告诉你甲杯倒入乙杯40毫升后同样多，你就能知道原来两杯水有多少毫升？

  引导学生得出：如果知道了两杯水的变化过程和最后的结果这两个条件，我们就可以运用倒过来推想的办法，得到原来杯中的水有多少毫升。

  三、 运用对比，熟悉策略，初步学会怎样倒过来推想

  找出下面适合用“倒过来推想”策略解决的问题，并列式计算。

  1． 一辆公共汽车从起点站出发时有乘客54人。中途下车12人，又上车18人，这时车上有乘客多少人？

  2． 一辆公共汽车从起点站出发后，中途下车12人，又上车18人，这时车上有乘客60人。这辆公共汽车出发时有乘客多少人？

  3． 老师今年的年龄乘2，再减去6是46，老师今年多少岁？

  在学生汇报后引导归纳：倒过来推想只要按照条件变化，从最后的结果出发倒回去推算就可以了。

  四、 强化变式，优化策略，知道借助手段倒过来推想

  1． 增加变化的步骤，将例2改编为：小明原来有一些邮票，今年又收集了24张。送给小军10张，送给小红12张，送给小平8张后，还剩52张。小明原来有多少张邮票？

  提问：当变化步骤比较多时，你有什么好办法理清思路？（用摘录条件和问题的方法）

  2． 出示“练一练”：小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多1张送给小明，自己还剩25张。小军原来有多少张画片？

  提问：你是怎样理解“画片的一半还多1张”的？（可以画图思考，或把用一句话表达的多个变化过程分解为几句话来想。）

  小结：说说你是怎样理解“倒过来推想”的策略的。

  五、 实际应用，巩固策略，提升倒过来推想的应用价值

  1． 基本题。（题略）

  2． 趣味题。

  （1） 有一种水藻，繁殖速度惊人，每一天覆盖水面的面积是前一天的2倍。试验员在一个小池塘里放进这种水藻，10天刚好覆盖整个池塘，多少天正好覆盖半个池塘？

  （2） 数学诗：《李白喝酒》。李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？

  【认识与启示】

  一、 体验策略离不开真实具体的问题情境

  策略的丰富内涵是“镶嵌”在问题解决过程中的。只有在具体解决实际问题时，学生才能亲身实践如何把现实问题提炼、转化为数学问题，并在这一过程中全面理解数学策略的内涵。例1正是“镶嵌”了“倒过来推想”策略的现实情境，学生需要在各种信息的辨析中做出合理决策，这不仅体现了“倒过来推想”的必要性，更突出了适用“倒过来推想”策略的问题模型。对策略价值的体验认可，在实际运用策略的过程中才能产生，因而像《李白喝酒》这样现实有趣的问题就能激发学生身心投入，获得深刻的情感体验。

  二、 激活学生的经验是获取策略体验的基础

  要让学生获得对策略的深层次感悟，必须充分利用学生已有的生活经验和数学经验。在导入环节，我们设计了“破译密码”游戏，通过简单的游戏动作，激活学生在生活中已经积累的“可以依次还原”的经验，为学习“倒过来推想”的解题策略提供体验的“锚桩”。在教学例1时，从没有任何条件，到知道“两杯共400毫升”，再到“甲杯倒入乙杯40毫升，现在两杯水同样多”，学生在一次次“提取” 解题经验的过程中，突出了与“策略”相匹配的问题特征。有必要指出的是，激活经验不是变相告诉，教学中要警惕名为启发引导，实为暗示告知的所谓铺垫，要避免在教学的初始阶段就简单化地直接“点破天机”。

  三、 “做数学”是体验策略的重要方式

  数学学习需要将缄默的内在体验表达出来，将内在的思维活动、情感活动暴露出来。实验、操作、画图、列表、游戏等活动都是学生理解策略、体验策略、内化策略的好方法。各人对知识的表征方式不同，有的习惯用图，有的习惯用文字，有的习惯用数字，我们应该允许、鼓励学生选用适合自己的不同方式来表达对策略的理解。要充分创造条件让学生“做策略”，拉长抽象化思考的进程，以达到对策略的充分体验和准确概括。

  四、 体验策略的过程应该是不断确信的过程

  体验是需要时间的，学生学习“解决问题的策略”不应该是“一步到位”的，教师要敢于拓展呈现策略的时空，使体验策略的过程成为学生在教师的帮助下不断确信的过程。就本课的学习而言，我们将学生对“倒过来推想”策略的体验划分成了五个阶段，从初步形成策略到熟悉策略，从熟悉策略到优化策略，从优化策略再到提升策略，步步为营，使学生对策略的认识逐步系统化。