溯本求源提高计算教学质量

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在我国古代，算是一种竹制的计算器具，算术是指操作这种计算器具的技术，也泛指当时一切与计算有关的数学知识。直到宋元时代，才出现了“数学”这一名词，在当时往往数学与算学并用，这里的数学仅泛指中国古代的数学，它侧重研究算法。1953年，中国数学会成立数学名词审查委员会，确立起“算术”现在的意义，而算学与数学仍并存使用。1937年，清华大学仍设“算学系”，1939年为了统一起见，才确定专用“数学”，直到今天。

就整个小学阶段的数学学习来说，计算占有非常大的比例，数学知识的学习几乎离不开计算。在《数学课程标准（实验稿）》中，“数与计算”是学生数学学习的四大领域之一，计算教学旨在培养学生的数感，增进对运算意义的理解。小学两个学段的教学都强调重视口算，加强估算，注意算法的多样化，其中特别指出在第一学段要提倡算法多样化，第二学段要鼓励算法多样化。强调避免程序化地叙述“算理”，学生“算理”的形成应在具体的情境中实现，要保证学生在掌握基本运算能力和熟练程度的基础上，使学生初步形成数量意识，让学生经历从实际的情景中抽象数学模型、探索数量关系和变化规律的过程。

一、追溯计算教学的本源

1．叩问计算教学的价值。

（1）现实生活的需要。

从数学的角度来观察现实世界，主要涉及数、量、形三个层面，而计量又离不开数与计算，形体大小的量化也离不开数与计算。因此数与计算是人们认识客观世界最基本的工具，是每个公民应当掌握的基础知识和基本技能。

（2）有助于培养灵活的思维能力。

计算中涉及的每一个概念、性质、法则、公式等都离不开具体鲜活的实例情境，都是从这些具体的实例中抽象出来的。同时，学生在学习和理解数学概念、性质、法则、公式时离不开具体到抽象、特殊到一般的过程，而在具体的应用过程中，又要经历抽象到具体、一般到特殊的过程，这样的学习与应用过程利于学生发展数学的抽象、概括、分析、比较等思维能力。

（3）终身学习的需要。

数与计算在人的幼儿时期、学生时期、成年时期都起着很重要的作用。幼儿一般是通过认数与数数来认识世界；学生时期，数与计算是学生进一步学习数学和其他科学知识的基础；成年时期，计算能力又是人们学习、工作、生活所必须的一项基本能力，也是衡量一个人素质的一个基本标准。

计算是日常生活和进一步学习必不可少的基础和工具。不论从基本的、长远的生活生产的需要，还是从学生成长期的学习需求来看，计算都占有非常重要的地位，也进一步说明了在小学阶段进行有效的计算教学的必要性与适切性。

2．审视计算教学的现状。

计算教学对于学生知识技能的形成、思维能力的发展都具有重要的意义。回顾计算教学走过的历程，观察整个“计算领域”的教学现状，不难发现计算教学中依然存在着种种令人担忧的现象：

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（1）重计算结果，轻过程感悟。

就笔者对计算教学过程的观察与记录来看，不乏有“只重结果，不看过程”的教学现状存在。不论是新内容的学习还是练习过程，某些教师往往只关注计算的结果正确与否，而对计算过程缺乏必要的重视与指导，对计算中的错误缘由关注甚少，久而久之，导致“两极分化”的严重后果。那些接受能力差、领悟能力弱的学生往往会出现算理的理解缓慢、算法的掌握迟钝，对自己计算过程的错误缺乏敏感的辨析能力而不知“错在何处”，更不知如何修正，也因为缺乏了老师与同学的指导与帮助，他们的学习往往会越学越糟，学习的信心也会在这样的漠视中渐渐淡去。

（2）重算法抽象，轻算理理解。

传统的教学，往往通过单一的“特例教学”即抽象出一般化的“计算法则”，然后学生按部就班地循着“法则”的步骤机械计算，哪管“法则”从何而来，又依何理。这样的教学，往往造成学生对“法则”熟练背诵，但却不知其所以然。这样的教学，究其实质，学生的思维得到多少训练，经验得到多少积累，能力得到多少提升，应打一个大大的问号。如果循着这样的“习惯方法”继续教学，只会使学生成为计算的机器，成为照本宣科的典范。

（3）重机械训练，轻机智调整。

在某些教师的潜意识里，谈及“计算”，即把它定位于“计算技能的形成与熟练程度的训练”。只要是进入计算领域的教学，师生除了练习还是练习，很少有算理的讨论、交流，但是，如果只有学生练习熟练与否的情感体验，往往会导致这样的情况发生：优等生感觉毫无挑战性，多次重复练习后就会出现心浮气躁的现象；学困生反复发生错误，多次练习后出现一动笔就害怕的惧怕心理。试想，学生如果总是处于这种循环往复的学习环境中，哪还会体验到成功的乐趣与进步的喜悦？师生双方互相抵触，一方面教师为了“教”而烦闷，另一方面学生为了“学”而苦恼。长此以往，不可避免地会出现厌教厌学的不良倾向，最终导致师生陷入谈“计算”色变的恶性循环之怪圈。

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二、追寻有效的计算教学

现实中的种种存在迫使我们重新审视计算教学的价值，厘清计算教学的思路，力求采用适合学生需求的，符合学生已有知识经验与水平的方法，展开有效的计算教学研究，使教师“爱教”计算，学生“爱学”计算。

课程标准在第一、第二学段中明确指出：在计算教学中，要引导学生联系身边具体的、有趣的事情，通过观察、操作、解决实际问题等丰富的活动，感受数的意义，体会数用来表示和交流的作用，建立和培养数感；要重视口算，加强估算，提倡和鼓励算法多样化；应减少单纯的技能性训练，避免繁杂计算和程式化地叙述“算理”。

1．寻找算理直观与算法抽象的最佳契合点。

计算的算理是指四则运算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识，用来说明计算过程中的依据和合理性。计算的算法是指实施四则运算的基本程序和方法，用来说明计算过程中的规则和逻辑顺序，通常是算理指导下的一些人为规定。学生在学习计算的过程中明确了算理和算法，就便于灵活、简便地进行计算，计算的多样性才有基础和可能。因此，在计算的过程中应该培养学生有根据、有条理地进行思维活动。

（1）以理驭法，夯实基本计算。

计算教学既需要让学生在直观中理解算理，也需要让学生掌握抽象的法则，更需要学生充分体验由直观理解到抽象算法的过程，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。

加强直观，理解算理。小学生（特别是中低年级学生）学习数学时基本上都要借助于直观手段和实际操作活动，这是由学生的年龄特征和认识水平所决定的。心理学研究表明：小学生学习比较抽象的知识都要经历这样的过程：“动作感知―表象（通过语言）―概念”。因此，在计算教学时要运用直观手段和实际操作活动将数概念和计算结合起来，并将具体形象的操作过程与抽象的计算过程一一对应起来，便于学生理解算理和掌握计算的方法。例如，教学“9加几”时，可以组织学生进行操作活动：盒子里摆9个小球，盒子外面放3个小球，怎样移动就能一下子看出一共有几个小球呢？学生在动手实践的基础上不难发现：从外面的3个小球中拿1个到盒子里就装满了10个，外面3个中拿走1个还有2个，10个加2个就是12个。通过动手操作活动，将抽象的数学计算与学生已有的经验（10加2得12）结合起来，便于学生建立意义联系，建构9加几的算理。

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建立表象，架设桥梁。在学生具体的操作活动后，要创造学生静思默想的机会，让他们把具体的操作过程内化为自己的东西。因此，在具体操作与抽象思维之间需要架设一座桥梁，即建立表象。如上例，在学生能通过具体操作理解了9加3的计算过程后，及时组织学生回顾：想一想刚才摆小球的过程，你是怎样摆的呢？闭上眼睛能不能把刚才的操作过程回忆出来？这样，通过对动手操作活动的回顾与反思，“凑十”的过程在学生的头脑中清晰地“过电影”，这一过程即为建立表象。然后还可以让学生把刚才在头脑里思考的过程再操作一次。这样，真正把口算教学与实际操作有机结合起来，使抽象的算法更具体化，便于学生理解算理和掌握计算的方法。

逐步抽象，适度提升。直观操作、建立表象为抽象算法奠定了良好的基础，此时学生已经建立了特殊例子的算理理解，如何将特殊的算理一般化，使之适合于一类相关的计算，也就成了计算教学的关键。例如，学生理解了9加3的算理，可以引导学生逐渐脱离直观操作并用语言将思维的过程外化出来：9＋1＝10，把3分成1和2，10＋2＝12。在学生表达计算过程的同时，其实是再一次建立了感知、表象与抽象的联系，使学生的思维从形象走向抽象，促进其思维能力的发展。

灵活运用，形成技能。建构了对知识的正确理解，学会了计算的方法，最终的目的是为了正确熟练的计算，以形成计算技能。如上例，在学习了9加3的计算方法，如何将特殊的方法拓展成一般的方法也就成了计算教学中的最终目标。此时，可以通过多样有趣的练习引发参与练习。可设计层次分明的几个练习：圈出10个、分步填计算过程、边移动边计算、直接计算、过关游戏等。经过这些多样而灵活的练习，学生不仅积累起计算“9加几”的算法经验，同时对“凑10”的方法也会更深切的体验，“9加几”的基本算法已经在学生头脑里形成。最后，还可以引导学生把有关9加几的习题有序整理，对比观察，进而发现“9加几”中加上的数与得数有关系。接着再次让学生回到每个算式中进行验证，使学生不仅学会计算，也提高了计算9加几的速度，真正达到了练习的目的。

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（2）理法通融，形成计算能力。

算理是算法的基础，算法是对算理的及时抽象与提升，也是对算理的实践验证。学生学习计算时，不是仅仅能单纯地按照计算法则机械地计算，更要能理解计算中每一步的道理，使学生知其然更能知其所以然，即达到算理与算法互相融合的高度。只有这样，才能使学生掌握计算方法，并促进学生思维能力的发展。

例如，学生学会了“9加几”的计算方法后，接着学习“8加几”、“7加几”等进位加法时，当学生自主探索算法后，要及时追问：你是怎么想的？而这时的追问就是算理与算法的最佳融合点，学生不仅知道8加几的结果是十几，也能知道结果的由来：把8凑满10需要2，再从另一个数里分出2来，10加剩下的数就是十几，同时也能知道不仅能把8凑成10，还能把另外一个数凑满10。当学生能够举一反三地合理运用方法计算时，也就是达到了真正理解了算理，掌握了算法，计算能力不断提升。

2．架好算法多样与算法优化的平衡之桥。

华东师范大学的孔企平教授在《小学数学课程与教学论》中提到：在学生的计算学习中除了要形成一种高效的运算方法外，也应该适当地关注算法多样化问题。算法多样化尊重学生的个性化学习，能促进学生的个性化发展，它强调的是尊重学生的独立思考。因此，教师要在教学中鼓励、尊重学生的思维结果，组织和引导学生正确分析比较、认识各种算法的特点和价值，肯定有创意的方法，学会在不同情况下灵活选择恰当的算法。

（1）提倡算法多样，但不刻意发散。

我们说，算法多样化是过程，但算法多样化又不能形式化，因为提倡算法多样化的前提必须是“思维等价”，而在鼓励学生算法多样化的同时又要避免“等价思维”的无度“发散”，而要发展“不等价（趋高）”的思维。在教学中我们一方面要鼓励学生算法多样化，另一方面也不去刻意地追求算法多样化。

“算法多样”不同于“一题多解”。一题多解是要求每个学生掌握多种解法，考查学生多方面的知识技能；而算法多样化是指群体的多样化，对每个学生来说，只要求掌握自己喜欢的和适合自己的方法。

给学生更多独立思考的机会。课堂上要有让学生静静思考、独立考虑的时空，在这样安全安静的环境中，学生的思维火花才会迸发，多样的方法才会闪现。反之，学生没有静心思考的机会，易造成人云亦云、心浮气躁的不良状态。

不必刻意寻找“低层次的算法”。学生的方法已经达到了一定的思维程度，而不必无度地寻找看似基本却无思维价值的方法。例如，探索32－8的计算方法时，学生交流的几种方法中并未出现教材上呈现的“依次减1”的方法，如果教师心里一直期盼着那种所谓的“基本方法”出现，不停地追问学生“还有不同的算法吗”，那么此时的“发散”则是低效的“发散”，既不符合学生的现实起点，也不利于促进学生的思维发展。

适度进行算法优化。算法多样与算法优化是辩证的统一，教师要引导学生不断调整算法，因为学生在没有与别人比较之前总是认为“自己的算法是最优”的。教师要有意识地促进学生自我调整算法，及时比较交流，使学生感悟到算法之间的差异，并自觉选取优化的方法来进行计算。如果为了形式上的“尊重学生的不同算法”，而不去适度引导算法优化，则肯定是不可取的，这也是对算法多样化理解的偏差。

适时帮助探索有困难的学生。教师应特别关注学习有困难的学生，在他们独立探索或思考时，教师要俯身偏爱，关注其学习的卡壳处，给予必要的指导，使其顺利渡过“坎儿”，学会基本算法。

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（2）重视算法优化，但不刻意统一。

计算教学不仅要帮助学生积累计算的基本知识和技能，而且要让学生经历感悟与体验的过程，获得更多更优的计算方法和策略。提倡算法多样化，其归宿必然是优化，如果说算法多样化是过程，那么算法的优化则是目标。每个学生由于遗传因素、家庭背景和生活经历的差异，会有不同的认知基础和思维方式，也会在计算过程中产生不同的算法，面对众多的算法与个性化的算法，教师就要及时引导学生进行优化选择。正如叶澜教授所说：“没有聚焦的发散是没有价值的，聚焦的目的是为了促进学生发展。”

注重比较分析，形成基本算法。在学生多样化的算法呈现后，教师可以让学生先运用自己喜欢的方法进行及时练习，再通过对比分析、合作交流，逐步发现哪种方法更简便，哪种方法有缺陷，让学生真切体验、逐步感悟，通过多次比较自觉趋近优化的方法。如在教学：47＋32时，让学生用自己喜欢的算法进行计算，学生想到的方法有：（1）笔算法：7＋2=9，40＋30=70，9＋70＝79；（2）分解法：47+2+30=（47+2）＋30＝49＋30＝79；（3）口算法1：40＋30＝70，7＋2＝9，70＋9＝79；（4）口算法2：47＋30＝77，77＋2＝79；或32＋40＝72，72＋7＝79。得出这些算法后，我及时引导学生通过比较分析，发现优化的算法――口算法1和口算法2。比较分析的过程，更能使学生逐步形成基本算法，为今后学习计算和提高计算能力打下良好的基础。

运用基本算法，形成计算能力。重视算法多样化探索的课堂往往会花费很多时间，在计算练习时，如果教师不有意突出运用优化的方法，可能有的学生一节课下来，不但没有掌握好基本的算法，还会出现一筹莫展的现象，不能有效地达到教学目标。因此，教学中教师要引导学生运用基本算法（优化方法），根据相应的习题运用基本算法进行说理训练。可以采用独立说、两人互说、四人小组说、全体齐说等多样的方法来巩固基本算法，这也是计算教学中不可或缺的一环，通过有目的、有针对性的说理训练，达到深化感知、理解本质、形成必要的计算技能。

处理好算法“创新”和“承接”的关系。要体现算法多样化，就得在课堂上给学生足够的时间独立思考算法，还要让学生交流、展示、解释多样的算法，并进行方法的优化，必然会耗去大量的时间。而计算教学没有一定的训练量，那就不能达到很好的理解和掌握程度，因此要处理好算法“创新”和“承接”的关系。如上例，在教学例1后，因为例2的教学是在例1教学的基础上进行的，只要引导学生采用口算方法1和方法2这样的方法进行计算就可以了。因此，计算教学要尽量避免机械重复，要优化算法，也要处理好算法“创新”和“承接”的关系。

3．谋求灵活训练与实效提高的务实之招。

学生的认知水平和思维水平都是随着知识的积累和相应的训练而提高的，计算能力的提高更是如此，只有基本方法的扎实掌握和训练的有趣灵活，才能激发学生的计算热情，逐步提升学生的计算能力。

（1）激发兴趣，灵活训练为基础。

变机械训练为灵活训练。抓典型，举一反三：基础性练习通过情境再现、交流方法、探索本质等多样的途径达到正确的目的；提高性练习，则可以设计辨析题、对比题、填数字等趣味性的习题，引导学生对数学知识进行条理化、系统化的整理与回顾，达到举一反三的目的；综合性练习，则通过与现实生活中的实际问题相联系等形式达到灵活应用的目的；开放性练习，可以设计略高于学生一般水平的练习，以实践性探究等形式激活学生的学习余力，使优生获得适度提升。不同形式、不同层次的练习训练，不仅能调动各层次学生的积极性，也能不断提升其计算水平。

重比较，沟通联系。在多样的练习中，可以分层次或分阶段组织学生对练习进行分析比较，发现共性或差异，引导学生寻找其根源，从而沟通内在联系。如学生在学习了“9加几”“8加几”“7加几”等进位加后，设计综合性练习，沟通联系，引发思考：这些题都是用什么方法来计算的？学生通过对比发现，这类题都是用“凑10”的方法计算的，可以把其中一个稍大的数凑满10，再从另一个小数中分出几来，最后算10加几。再引导发现：可以把它们转化成“10加几”的习题，通过这样的纵向与横向比较，学生沟通了进位加法之间的内在联系，同时也沟通了进位加与10加几之间的联系，利于学生形成数学化的理解。

变结果评价为过程性评价。在计算教学中，如果一味地关注评价学生的计算结果，而忽视对其计算过程的指导与评价，易造成学生兴趣的缺失。在教学中，我特别重视对学生的过程性评价，例如对学生的计算成果采用积分制，自己的平时作业连续全对10次，给予一定的奖励；如果能帮助同学找到计算中的问题，有一次就奖励一次；定期展开小组、班级的计算比赛，激发学生积极参与，在不断的积累中产生求胜心，激发学生的学习兴趣与愿望。

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（2）主动参与，实效提高为目标。

重学习状态的调整。科学研究表明，学习时积极投入学习的学生，其思维敏捷性比消极被动的学生高出好几倍。计算教学中，也需要学生积极的状态投入。因此，在教学中要尽量让学生在有趣生动的情境中展开计算的学习，在独立思考中培养学生良好的思维习惯，在竞赛式练习中激发学生计算的积极性，在静心计算中培养学生的良好计算品质，在过程性评价中形成良好的学习心理。

重反思能力的提升。对计算过程与结果的不断反思是提高计算正确率、提升学生计算能力的必要环节。因此，在计算教学的每一个环节，都要适时适度地引发学生进行反思。如，我这样计算的根据是什么──是对算理的追问；我这样计算是最优的吗─是对算法的追问；我这样计算正确吗──是对过程与结果的追问。通过多样有效的反思活动，不断形成对算理的透彻理解，形成对算法的优化选择，形成对过程与结果的不断追求。