谈数学开放题

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数学开放题相对于传统的封闭题来说，其特征是问题的答案不唯一（开放性）。随着新课程改革的全面推进，用数学开放题培养学生的创新意识和能力，已经成了教改的热点，数学开放题是数学教学中的一种新题型。在初中数学教学中，为了切实培养学生发散性思维,加强创新教育, 所以研究数学开放题并用之于数学教学具有特别重要的现实意义。
    一　数学开放题的概述
    关于什么是数学开放题，现在还没有统一的认识，主要有如下的论述：
    （１）答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放题；(2)开放性题是条 件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题；(3)有多种正确答案的问题是开放题。这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法；(4)答案不唯一的问题是开放性的问题；(5)具有多种不同的解法，或有多种可能的解答的问题，称之为开放性问题；(6)问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余。一个问题是开放还是封闭常常取决于提出问题时学生的知识水平如何。例如，对n个人两两握手共握多少次的问题，在学生学习《组合》知识以前解法很多，是一个开放题，在学习组合知识之后则是一个封闭题。
    二　数学开放题的特征
    数学开放题一般具有以下特征：
    1． 所提的问题常常是不确定和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题。
    2． 没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。
    3． 有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建。
    4． 常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。
    5． 在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般，更有概括性的结论。
    6． 能激起多数学生的好奇心，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。
    7． 教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者和指导者。
    三　数学开放题的分类　
    1、条件开放型
    即未知的要素是条件。例如，在北师大版七年级（下）的概率教学中有这样一个问题：（P108试一试）用10个球设计一种摸球游戏，使摸到红球的概率为0.2？我们在不增加太大难度的情况下把它改为：例1、设计一种摸球的游戏，使摸到红球的概率为0.2，可以怎样放球？这就是一个非常开放的问题，学生都可以根据自己原有的认知水平，得到不同的方案。①在袋中放入1个红球和4个白球。②在袋子中放入球的数量只要满足红球与白球的数量比为1：4就可以了，比如红球与白球的个数可以分别是5和20或6和24等等。③只要满足红球与非红球的数量之比为1：4就可以了，比如1个红球，2个黑球，1个黄球，1个白球；或2个红球，2个黄球，6个黑球等等。这样的问题设计有助于培养学生的创新意识，发展创新能力。
    2、结论开放型
    即未知的要素是判断
    例如，老师给出一个条件，两条直线平行，甲、乙、丙同学各指出这个条件的一个特征：
    甲：被第三条直线所截，同位角相等；
    乙：被第三条直线所截，内错角相等；
    丙：被第三条直线所截，同旁内角互补。
    3、策略开放型
    即未知的要素是推理
    如：一张桌子可坐6个人，若按图乙方式摆放，2张桌子可坐几个人？按图乙方式继续摆放桌子，则n张桌子可坐几人？


      （甲）                     （乙）
    学生可以从不同的角度思考，得到不同的策略：①一张桌子可坐6人，每增加一张桌子增加4人，几张桌子增加4（n-1）人，因此n张桌子可坐[6+4（n-1）]人，即（4n+2）人；②桌子无论增加几张，左右两侧始终只能坐2人，而每张桌子的上下两侧都可坐4人，故有（4n+2）人；③每张桌子可坐6人，那么n张桌子按理可坐6n人，但要减去每两张桌子重合的2人。列式得6n-2（n-1），等于（4n+2）人；④一张桌子的一半可坐（2+1）人，n张桌子的一半可坐（2n+1）人，因此，n张桌子可坐2（2n+1）人，即（4n+2）人。这一系列问题的设计给学生的不同见解留下了足够的空间，学生可以在自己原有的知识结构中进行同化，多角度、多方位地去寻找解题策略。
    4、设计开放型
    例如，(课程标准华东师大版《数学》七年级（上）第13页习题第5题)某居民小区搞绿化，要在一块矩形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的图案由圆和正方形组成（圆和正方形的个数不限），并且使花坛的面积约占矩形面积的二分之一左右。请画出你设计的方案，用一两句话表示你设计的思路。
    5、举例开放型
    请根据你生活经验，对代数式2a给出一个实际背景的解释：　　　　　。
    6、实践开放型
    例如，(课程标准华东师大版《数学》七年级（下）第118页习题第1题)现有三个普通的正方体骰子，投掷这三个骰子，请说出三个确定的事件和三个不确定的事件。

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7、信息开放型
    例如，七年级，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论.他们的五次数学成绩如表Ⅰ所示，这五次数学成绩的平均数、中位数、众数如表Ⅱ所示。

小华	62	94	95	98	98
小明	62	62	98	99	100
小丽	40	62	85	99	99

姓名	平均数	中位数	众数
小华	89.4	95	98
小明	84.2	98	62
小丽	77	85	99

    现在这三位同学都说自己的数学成绩是最好的.⑴请你猜测并写出他们各自的理由；⑵三人似乎都有道理，你对此有何看法？请运用统计知识作出正确的分析.
    8、解法开放型（以下例子略）
    9、综合开放型
    10、情景开放型等等
    四　数学开放题的作用
    素质教育的核心是培养创新精神和创造能力，数学开放题给学生进行创造性学习提供了宽松、自由的环境，它的作用体现在以下几个方面：
    1、数学开放题对学生的教育作用：
    （1）有利于学生思维的培养。学生必须打破原有的思维模式，展开联想和想象，从多角度、多方位、多层次进行思考，其思维方向和模式的发散性有利于创造性能力的形成。开放题变单一的教师讲解为师生共同研究问题，变个体操作为集体交流合作，把开放题融入课堂，可有效地激发学生敢于思考问题，主动参与知识的建构过程，从而培养学生思维的灵活性和创造性等良好数学品质。
    （2）有利于激发学习兴趣。数学开放题可达到教学形式的开放，使学生的学习可以是个别竞争，也可以是合作完成，可以是畅所欲言，也可以是实践操作。学生在宽松的教学氛围中轻松、愉快的学习，有利于激发学生的好奇心和好胜心，增强了学习的内驱力，对数学探索产生浓厚兴趣。
    （3）有利于强化学生的创新意识。传统的封闭题答案是唯一的，学生往往找到一个答案就不再也不必要进一步思考了。而在开放题的解答过程中，没有固定的、现成的模式可循，靠死记硬背、机械模仿找不到问题的解答，学生必须充分调动自己的知识储备，积极开展智力活动，用多种思维方法进行思考和探索，因而开放题可以培养学生不断进取的精神，强化学生的创新意识，是提高学生创新能力的有效工具。
    2、数学开放题对教师的转化作用：
    开放题对教师角色的转变。在开放题引入课堂后，教师的角色定位，即在教学过程中，教师不是教学活动的主角，而是“编剧”和“导演”；不是知识的传授者，而是教学内容和教学活动的设计者、促进者、示范者、组织者、调控者。
同时，开放题要教师要注意讲究“放”的策略，既要大胆地“放一放”，把时间留给学生，让学生有机会去探索全面、正确的结论，又要善于把握全局，调控“放”度，凡是学生能提的问题，教师决不代替；学生能思考的问题，教师决不暗示；学生能解决的问题，教师决不插手，真正做到适时而“放”，提高“放”的整体效率
    五　数学开放题的教学注意点：
    1、教师对于有关的问题，事先要作好充分的准备与估计，这样方能得心应手地对付课堂内可能发生的情况。
    2、课堂上要让学生自己动手去做，让学生充分地通过自己的思考，互相交流，互相启发作出答案。
    3、启发要得当，要善于从学生正确的、部分正确的或不正确的答案中，分析其思路，及时肯定成绩，指出不足，引导前进。
    4、开放题教学是对教师临场应变能力的挑战，教师既要照顾到差生的解答水平，又要鼓励优生去寻求更高水平更一般的解答，并力图使各种智力体验变成大家共同的财富。
    5、开放题和封闭题在数学教学中应该并存而不是互相排斥。封闭题对于知识的同化，培养学生的基本技能等具有重要的意义，数学开放题为高层次思维创造了条件，但不是绝对的、唯一的。没有一个问题，对所有的学生来说，都能导致高层次的思维，一个问题能否导致高层次思维，不仅和问题本身有关，而且还与个人的经验有关。