笔算教学中算法的抽象

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计算教学要让学生探究并领悟算理，抽象并掌握算法，形成技能并学会运用，要丰富学生的数学活动经验，让其感悟数学的思想和方法，发展数学思维，提升数学素养，形成良好的情感、态度和价值观。最近，笔者听了低年级的一些整数计算课，发现许多课算法抽象太快，未让学生充分经历自主探究算理、逐步抽象算法的过程。许多教师在让学生进行简单操作明理后（通常是摆小棒），就用计数器说明算理，然后就引导学生抽象出一般算法，最后让学生运用算法进行计算，导致许多学生对算理缺乏充分的感悟，对算法缺乏足够的理解，只会机械地计算。

究其原因，笔者认为主要有两个：一是教师理解教材有误。教材在编排例题时，往往在安排一至两次操作活动后，就开始抽象算法，以致于一些教师认为：课堂上也只能安排一至两次操作，如果增加学生的操作机会，会降低学生的抽象思维水平。二是教师被假象蒙蔽。有些学生在学习新知前，已经会笔算了，甚至会口算了（这是别人提前教的结果），以致于一些教师认为没必要再回头进行具体操作，学生只要会算就行了。

其实，低年级学生的思维正处在由具体形象思维为主逐步向以抽象逻辑思维为主的过渡阶段。对低年级学生来说，他们的抽象思维水平在很大程度上要依赖形象或表象的支撑，可以说，动作思维、形象思维或表象思维在低年级儿童思维中占有很大比重。过早地抽象会增加学生理解的难度和记忆的负担，会挫伤学生学习的积极性。对于教材，笔者认为，教者要深入钻研，切实把握意图，科学地解读和灵活地使用，让教材真正为学生的深刻理解和有效发展服务。教材提供的只是一个范例，它安排操作的目的是想让抽象建立在形象或表象的基础上，让学生在探明算理的基础上抽象算法，并有意义地接受算法，是想让形象的操作过程与抽象的计算过程一一对应。对于计算教学，笔者认为，探明算理是计算教学的首要任务，因为算理指导算法，算法要体现算理。学生真正理解了算理，才会灵活计算，促进思维发展，形成数感。为此，我们在教学时要适当增加学生操作明理的机会，增强感性认识，使其透切地理解算理，为抽象算法铺路架桥。

如何改进？笔者认为要做好以下三点：

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一、增加明理操作
动手操作是学生探索计算知识的有效方式，学生在学习中的操作是借助手的活动来实现其内部的思维活动，操作的过程也是发展思维的过程。教师应根据学生的认知心理和实际情况适当增加操作明理的机会，为抽象算法提供丰富的经验储备和有力的形象支撑，尤其对一些较难理解的知识。
例如，教学一年级（下册）“两位数减两位数（退位）”时，教材只在例题教学50-26时安排了动手操作和拨珠活动，而在教学“试一试”43-27时，就让学生借助表象直接笔算。笔者发现，许多学生感到突兀，或一时不知所措，或计算感觉困难。为此，教师在让学生尝试笔算43-27时，不妨让学生再次经历动手操作的过程，并在计算器上演示算理，让学生借助直观深刻领悟笔算算理，充分感悟到：当个位上不够减时，要先从十位上退一当十，然后再减。
笔者认为，即使在巩固练习阶段，教师还应适当增加明理的训练。这样，学生对算理的理解才会深刻和透切，抽象算法才会顺畅和快捷。
二、架设中间桥梁
儿童心理发育有阶段性。学生从动作思维到形象思维再到抽象思维有一个逐步发展的过程，教师应在直观算理和抽象算法之间架设一座桥梁，帮助学生逐步抽象出一般算法。为此，教师要放手让学生经历数学建模和“再创造”的过程，建构个性化的算法，让多种算法在交流、比较中优化，让学生学会抽象地表达。
例如，对于如何笔算43-27，有的学生“创造”出这样的竖式：

意思是：当个位上不够减时，先从十位退一当十，与个位上合成13，13-7=6，十位上原是4，借去1，剩下3，再减2得1，合起来是16。这样的竖式既与操作吻合，再现了算理，又表示了计算过程和步骤，真是从直观算理到抽象算法之间的桥梁。在此基础上，教师再引导学生逐步过渡到：

最后到：

在教学过程中，教师要善于引导学生逐步简化和优化算法，要善于架设中间桥梁，这样能降低理解难度，保护学生的积极性和创造性，使其学会比较，学会抽象，学会表达。

三、逐步明确算法
课改前，在一道或几道例题讲完后，教材会直接总结出一般算法，让学生掌握和运用；课改后，教材中不直接出示一般算法，而让学生探索和自悟。笔者以为，两种处理各有利弊，相比之下，现行教材处理得更好些。但传统教材也有合理成分，它可以让学生快速地用算法计算，增加练习量，提高正确率，形成技能，不足的是学生对算理领悟得不透彻，对抽象过程体会得不充分，学生主动迁移的本领不强。现行教材可以使学生对算理探究得更多，领悟得更透，学生探究的兴趣更强，个性化地算法更多，主动迁移的本领更强，但一些学生对一般算法不明晰，计算能力不强。
对一般算法，我们应做到“该出手时就出手”，即在复习铺垫时渗透算法，在探究算理时突出算法，在讨论交流时比较算法，在阶段总结时揭示算法，在巩固练习时运用算法。只是算法不宜由老师直接给出，而应由学生逐步悟出；不宜过早揭示，而应水到渠成；不宜程式化地叙述，而应结合自身的理解，突出重点，讲明关键处；不宜强行统一，而应由学生自主选择。当然，教师的必要引导不可或缺。