走出算法多样化的误区

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算法多样化的理念，是新课程改革所倡导的新理念之一，它为沉寂的计算教学带来了新的方法，注入了新的活力。随着课程改革的不断深入，人们在运用此理念的过程中产生了很多的误区和困惑，对这些误区进行剖析，会有助于我们更加科学、理性的理解算法多样化的理念。

误区一、把“提倡算法多样化”等同于“一定要算法多样化”

[案例1]（出示小猴卖桃的情景，指名说图意，列算式。）

师： 9+4等于多少呢？学生思考后汇报算法。

生1：把4分成1和3，9+1=10，10+3=13。

生2：把9分成3和6，6+4=10，10+3=13。

生3：因为10+4=14，所以9+4=13。

师：同学们的想法都不错，还有不同的方法吗？

生4：因为13-9=4，所以9+4=13。

生5：我知道8+4=12，所以9+4=13。

师：还有其他想法吗？

生：沉默。            

师：再想一想，想得仔细一点。

生：还是沉默。

师：比如，我们还可以（伸出手指做数数的动作）

生6：（恍然大悟）还可以数一数。

师：（面露喜色）“小萝卜”的想法和你们的想法是一致的。

课件演示：“小萝卜”从10逐个数到13。

[反思]倡导算法多样化是基于原来的计算教学中“计算方法单一,过于注重计算技能的发展,忽视学生的个性发展”等问题提出来的,目的是鼓励与尊重学生的独立思考,为学生提供交流各自想法的机会,通过交流让学生自主选择适合自己的算法,为不同的学生形成适合自己的学习策略提供有效途径,培养学生的创新思维,促进学生的个性发展。

案例一，教师一味追求多样化，认为教材呈现了几种算法，就必须介绍几种，如果某一种学生想不出来，就应该进行诱导，否则就不是算法多样化。其实，数数是最直接、最原始的方法，既然学生已经把这种低思维层次的算法给自动舍弃了，教师又何必强迫他去走回头路呢？这种为多而多的做法实际上是违背了“多样化”的初衷，方法多些没有什么不好，但如果片面地追求算法的数量，而忽视算法背后所代表的学生真实的思维状态，就很容易把学生引入钻牛角尖和生拼硬凑的误区，对学生发展是非常不利的。

误区二、把“群体算法多样化”等同于“个体算法多样化”

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[案例2]教师课件出示“两位数乘两位数”的生活实例，学生尝试计算26×35的积。

小组代表汇报本组计算方法，共出现以下四种方法：

①  26       ②  26×35           ③  26×35         ④ 26×35

× 35         =26×30+26×5        =20×35+6×35     =26×5×7

     130    　   =780+130             =700+210           =130×7

     78     　   =910                 =910               =910

910

以上四种方法哪位同学能给它们分分类(学生思考)。稍后，师生共同讨论分类方法，得出方法①②③为一类,都是拆加。方法④为一类，拆乘。

师：同学们，对于以上这四种方法你都理解了吗？你能用以上这几种方法来计算56×27吗？

[反思]算法多样化是每一个学生经过自己独立的思考和探索，各自提出的方法，从而在群体中出现了许多种算法。因此，算法多样化是群体学习能力的表现，是学生集体的一题多解，而不是学生个体的多种算法。在交流算法时，学生可以互相借鉴，互相吸收，互相补充，通过交流改变原有的算法。对众多学生而言，方法就呈现出多样化。

从案例二来看，这位教师片面地认为算法多样化就是每个个体都要算法多样化。其实，在有限的时间里，要求所有的学生都能理解和接受每一种方法，既不现实也没有必要，尤其是特困生，他们只会雾里看花，糊里糊涂，一节课下来，甚至连最基本的算法都不会，这样如何保证课堂教学的质量呢？

误区三、把“尊重算法多样化”等同于“全盘肯定多样化”

[案例3]教师要求学生独立计算23-8后汇报算法。

生1：  23－1－1－1－1－1－1－1－1＝15。

生2：23－3＝20，20－5＝15。

生3：23－10＝13，13＋2＝15。

生4：13－8＝5，10＋5＝15。

生5：10－8＝2，13＋2＝15。

生6：23－13＝10，10＋5＝15。

生7：23－5＝18，18－3＝15。

……

师：小朋友真了不起，一下子想出了这么多种口算的方法。以后在口算时，你想用哪种方法，就用哪种方法口算。

在学生的交流汇报过程中，教师反复引导学生说出自己的思考过程并不断给予表扬。在肯定了学生积极思考的优点后对多种算法不作任何评价，只是要求学生用自己喜欢的方法进行口算。当课堂上有很多学生在数手指时，教师装做没看见，任由他们去数。

[反思]学生有着不同的知识背景和思考角度对同一个问题，常常会出现不同的计算方法。有些方法在成人看来是好的，但却给一些学生增加了难度，于是有的教师就觉得与其让他们学习不属于自己的好方法，还不如让他们想怎么算就怎么算，以为这样就是尊重算法多样化。研究表明，学生在思考问题时，有的是借助动作思维、有的是借助形象思维，还有的是借助符号与逻辑思维。这三种思维水平其实并不在同一层次上。因此，在允许有些学生保留自己算法的同时，适时、适当地进行优化是完全必要的。正如叶澜教授所说“没有聚焦的发散是没有价值的，聚焦的目的是为了促进学生发展。”

误区四、把“算法优化” 等同于“算法唯一化、固定化”

[案例4]在教学两位数加两位数进位加法计算中，出示27+19，教师让学生自主探索计算方法。

学生除了用竖式计算外，还列出了多种算法：

（1）27+19=30+19-3                 （2）27+19=27+20-1

（3）27+19=30+20-4                  （4）27+19=27+3+16

（5）27+19=26+1+19                 （6）27+19=27+10+9

（7）27+19=20+7+19                 （8）27+19=20+7+10+9

师：小朋友，真厉害！一下子想出了这么多方法。在这些算法中，你觉得这些方法怎样？你最喜欢哪种方法呢？

生1：我觉得这些方法都好。

生2：我喜欢自己的方法。

生3：我喜欢列竖式计算。

师：其实呀！列竖式是最简单的，你们看列竖式时先算个位是7加9等于16，向十位进1，个位上写6；再算十位上2加1等于3，3加1等于4，十位上写4，结果是46。我们一起来说一遍。

学生齐说过程。

师：下面就请小朋友用刚才的方法来算一算26+15……

[反思]算法的优化是让学生在群体比较的过程中优化，在个体感悟的前提下实施优化。因为优化是学生对知识结构的再构建过程，是发自学生内心的行为和自主的活动。所以，在实施算法最优化教学时应给学生留下一定的探索空间，以及一个逐渐感悟的过程。让学生在探索中感悟，在比较中感悟，在选择中感悟。有利于发展学生独立思考能力和创造能力，可是在案例四中，教师过急地帮学生择优，并要求全班学生的方法要高度统一，不仅没有能够把优化的过程作为学生主动寻求更好的方法的过程，而且扼杀了学生的独立思考和积极探索精神。

针对以上误区，我校教师通过实践，觉得可以从以下四个层次来把握算法多样化理念的教学。

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一、算法多样化应遵循一定的法则和规律

算法多样化应是一种态度，是一个过程，使学生有机会展示个性，乐于去学习、去探索、去创新。但算法多样化不是教学的最终目的，不能片面追求形式化。如果不遵循一定的法则和规律，一味追求多样化，舍本求末，那么将严重制约课堂教学效率的提高。

二、算法多样化的归宿应该是算法优化

学生之间的差异是客观存在的,比较学生中出现的多样化算法，我们不难发现有些算法比较简便、有些算法稍显麻烦，有些算法的思维含量较小、有些算法的思维容量较大，有些算法与后继学习关系明显、有些算法对后继学习影响不大……如果全盘肯定，一律说好，一些学生的思维水平就只会原地踏步，不能向高层次发展。教师的职责就是帮助学生成长获得必要的进步，所以对一些低思维层次的算法，教师不能放任自流而美其名曰尊重学生，教师要善于引导学生对算法进行分析比较，多中选优，择优而用，提倡在算法多样化的基础上关注算法优化。在学生说出多种算法后，教师应引导学生对各种算法进行归纳整理，分析比较，再让学生从中选择适合自己的方法。

三、要注重培养学生算法多样化和算法优化的意识

意识是行动的向导，有些学生因为思维的惰性而表现出算法单一的状态。明明自己的算法很繁琐，但是却不愿动脑做深入思考，仅仅满足于能算出结果就行。要提高学生的思维水平，我们就应该有意识的激发学生思维和生活的联系，帮助他们去除学生思维的惰性，鼓励他们从多个角度去思考问题，然后择优解决；鼓励他们不能仅仅只关注于自己的算法，还要认真倾听他人的思考、汲取他人的长处；引导他们去感受各种不同方法的之间联系和合理性，引导他们去感受到数学学科本身所特有的简洁性。这样的过程不仅是对知识技能的一种掌握和巩固，而且可以使学生的思维更开阔、更深刻。

四、在算法多样化的基础上，应适时引导学生逐渐感悟，进行优化

在数学课堂教学中，学生常常表现出一种不适的症状：有的学生并不会从考虑算法的最优或较优去选择；有的是固步自封，自以为是，总是选择自己的算法；有的是不相信自己，迷信他人，总以为别人的方法就好；也有的学生无所适从，就等着老师主观指定最优的方法。因此，学生呈现多样化算法后，最重要的一个任务就是让学生观察、分析、比较，反思各种算法，正确认识到每一种算法的价值和适用范围。

1．当学生算法较单一时，教师应引导学生逐步抽象、概括。

当学生面对一个新问题时，他们往往会凭借自己的经验或习惯去解决，由于知识经验和思维水平有限，可能有时想到的算法比较“原始”，从思维发展的要求看，仅仅停留在这种直观的、低层次的思维水平是不够的。如：教学“9加几”时，如果学生只知道用摆小棒或数一数的方法来进行计算，那么教师就不能一味由着学生，而应该及时引导学生去思考：怎样移动小棒就能让大家一眼看出有多少根小棒？在进一步的动手操作与观察思考中，理解可以先把9根凑成10根，这样就能一眼看出有多少根了。接着再帮助学生逐步抽象、概括，理解和学会“凑十法”。

2．当学生算法优劣差异不大时，教师应引导学生进行分类，鼓励他们选用自己喜欢的方法进行计算。

如，上述案例4中的算法，教师可以适时引导学生进行分类，鼓励他们选用自己喜欢的方法进行计算。

3．当学生算法优劣差异较大时，教师应引导学生进行合理的取舍与优化。

    教师应引导学生通过交流、比较，促使学生反思比较原有的方法与其他算法，自主地选择更加准确、快捷、合理的算法。这时，不用硬性规定必须用某一种方法，可以让学生通过多次尝试，感受到选择合理、快捷的算法的必要性，实现自主优化，让每一个学生都在原有基础上得到发展。

总之，教师应持有培养学生良好的思维习惯和思维方法的观点，而不是一味的追求计算结果的准确性。要通过学生在计算时的不同方法去拓展思维，突出个性的发展。教师在教学时也应做到适度和适时，要针对学生的不同情况因材施教，防止形式上的算法多样化教学。

[观点链接]

沈惠玉：算法多样化的提出标志着教学过程的价值取向从关注学生的知识与技能的获得转变为关注学生个性化的主动发展，关注学生在课堂中的“生命色彩”。算法多样化的提出标志着教学方式的改善。教学不再是教师依据教材的要求，把知识传授给学生。对学生而言，学习不再是被动地接受，而是发生在对话与合作之中地知识生成与主动建构。算法多样化为建构过程提供了开放的场景，为每一个学生提供了思考、表达自己见解的时空。算法多样化也必然要求教师摈弃原有的教学理念和教学模式，与学生民主、平等地对话、沟通、合作、与分享。（周家巷校区）   

范旭霞：学生不但是教育对象，更是一种教育资源。算法多样化教学就是充分调动学生资源，推动学生建构数学进程的活动。教师要积极调动这种资源，使之成为数学知识动态生成的重要因素。（常州市武进区泰村小学）

吴其亮：算法多样化有利于拓展学生的思维，激发创新灵感。每一种算法都是学生思维活动的体现，无论对错都是学生思维火花的闪烁，一种算法就是一种思维过程。算法多样化体现了思维方式的多样化、解题策略的多样化，是多种认知能力、多种思维方式共同作用的结果，其中闪烁着学生许多思维的亮点，有利于激发学生的创新灵感。

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在教学过程中，要精心组织每个学生参与到探索算法的过程中，让每个学生经过独立思考都能够找到属于自己的计算方法。在交流算法时，为体现思考策略的多样化，教师不一定要把所有的算法都写在黑板上，把有代表性的算法写下来，供学生选择。不要求学生掌握各种算法，并不意味着学生除了自己的算法之外，对其他的算法置之不理。学生在倾听、理解别人的算法后，将促使他反思自己的算法，在比较中完善自己的算法。注重师生之间和学生之间的充分交流。“交流”对学生个体具有重要价值，不仅能帮助学生选择合理的方法，更重要的是能帮助学生把个体的方法与群体承认的方法沟通联系起来。（建湖县育红实验小学）

李增道：“算法多样化”只是“提倡”和“鼓励”，所以我们要把握“算法多样化”的“度”。

算法多样化的作用：一是在计算教学中给学生一个探索、思考和创新的机会，二是给学生一个合作交流的机会，算法多样是面向群体的，通过探索、展示学生的多种算法，学生互动、交流、评价，使学生自我完善，形成简洁的计算策略，并使每个学生的思维方式在原有知识上得到发展。

算法优化首先弄清什么是优化。在多样化的算法中，多种算法往往受到数据和个体思维习惯等因素的影响。“算法的优化”就是让学生根据已有知识经验，在多样化的算法中，找到一个学生普遍都能接受、最能理解和掌握的算法的过程。这种方法具有通用性、简洁性，是通法。算法优化的本质是在更高层面对算法的理性“扬弃”。（泰州市鲍徐中心小学）

佚名：优化算法时应注意：（1）优化算法的主体是学生而不是教师，优化的过程应该是学生自我完善的过程，教师应让学生在用自己的方法计算的过程中发现差距，产生算法优化的内在需要。（2）要注意优化算法的时机。当学生在独立思考中获得了算法，在数学交流活动中体验到算法的多样化，在用自己的算法与他人的算法进行比较时，已认识到了差距，而有了需要算法优化的意识，这时的优化就顺理成章了。（3）优化算法不一定是统一的一种算法，应该把优化的过程作为一个学生主动寻求更好的方法的过程，不要追求全班学生的方法高度统一，应当充分尊重学生自己的选择。

总之，在算法多样化的基础上，教师应引导学生在师生互动、生生互动中，通过思考、交流、探索，对各种算法进行比较、分析和评议，使学生在矛盾冲突、同伴互助、自我反思的过程中实现算法的自我优化。

    孙雪峰：算法多样化提倡的是一种探索，一种思维的创新，它所强调的培养学生获取新知识的能力、分析和解决问题的能力，使学生具有学习的积极性、主动性、创造性等，都是应当打好的基础。这比传统意义上的基础更为重要，而且真正打好这些方面的基础更为困难。我们要研究的是用什么样的方法为学生打好基础，为学生打好什么样的基础，从而赋予“双基”新的内涵。（如东县马塘小学）

肖伟国：方法和方法之是根本不存在优劣之分，任何优越性与不足都是与一定的环境相联系的。算法优化是学生个体的学习、体验与感悟的过程，不是群体或教师的优化。对于个体而言，是个体对原有的计算方法进行优化的过程，是个体学习、容纳他人的计算方法的过程，是个体思维发展、提高的过程。如果不对算法进行优化，那么我们的学生就没有收获、没有提高。

合理评价，是算法优化的关键。有些教师为体现学生的主体性、教学的开放性，教师不敢评价，导致学生乱用算法，人为地制造了学生的学习误区，谁优谁劣无处适从，学生不知所云。到头来学生的认知水平、学习能力还是停留在原来那个程度，没有得到发展。（建湖县育红实验小学）

教研组：在适当的时候走向算法多样化。首先，教师要把握算法优化的合适时机，当学生通过操作或思考，获得至少一种算法，并了解了其他各种方法的认知差异，产生了强烈的再尝试的欲望，此时便是最佳时机。其次，引导要恰当。教学时，教师可采取“谈成功经验”、“引导比较”、“变换题型”等多种策略，让学生在平等的气氛中，经相互启发、多方体验后形成心理需求，感悟各种算法的优点，从中选择自己理解的、可接受的、喜欢的算法。第三，有些算法学生不一定很喜欢，但对后继知识的学习和掌握有很大价值，教师要把握好时机，引导学生理解、掌握和运用。（海门市常乐中心小学三四年级）

邵宽云：在交流算法的过程中，教师可以采取重复的策略。一方面，对于学生表达不清的算法，教师可以重复学生算法的关键环节，排除学生语言障碍，及时弥补学生表达能力的缺陷，促进全体学生的理解。另一方面，也应注意让学生学会倾听，对于一些重要的算法，让学生复述计算的过程。（灌云县鲁河中心小学）   

江孟德：数学本身具有简捷、合理的特征，优化思想是一个重要的数学思想。在允许有些学生保留自己算法的同时，适时、适当地进行优化是完全必要的。值得注意的是：在优化的同时要留给学生反思的时间和空间，让他们在合作与交流中，通过评价别人和自己的算法，不断完善或改进自己的方法。要努力为学生搭建交流和学习的平台，重视师生之间、生生之间的交流。因为数学学习活动就是一个将学生的数学知识经验和资源进行共享的平台。在交流和比较中，可以让孩子向别人学习、借鉴，让学生找到适合自己的最优算法。（灌云县鲁河中心小学）