慎看来时路,巧引去时向——“解方程”教学实践与思考

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有这样一题：花园小学有一块长方形试验田(如图)，求试验田的宽。

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学生已经学习了等式的性质(2)，初步掌握了解方程的一般步骤，因此我为学生提供了足够的自主探索空间，先结合现实情境引导学生根据长方形的面积公式列出方程，再尝试计算。从反馈来看，有这样两种方法：

第一种：40x=960

第二种：40x=960


x=960÷40

40x÷40=960÷40



x=24

x=24

依据：四则运算之间的关系

依据：等式的性质(2)

我主观上认为大多数学生会根据新学的等式性质(2)来解方程，但统计的结果却让我十分意外：全班78人，只有21人按照第二种方法来做。这是什么原因呢?

一、深入了解学生真实的思维活动

1．认知基础的“顽固性”

心理学研究表明，当人们熟练地掌握某种法则以后，往往就很难从另一种角度去思考问题，从而也就不容易顺利地实现由“过程”向“对象”的转变。在一至四年级，学生都是根据四则运算各部分之间的关系来做计算的，它既是学生十分熟悉的运算规律，同时又为新知的学习提供了合适的基础。方程是把已知和未知看作同等的地位，一样参与运算，从这个角度去看，当然也可以运用四则运算各部分之间的关系来做。而且，四则运算各部分之间的关系学生是先入为主、根深蒂固的，具有相对的“顽固性”，甚至在一定程度上会排斥新学的等式的性质，导致思维的“过早封闭”。因此，大多数学生这样做也就可以理解了。

2．两种方法形式上的相似引发学生思维的惰性
第一种方法书写较少，形式简单。第二种方法从表面看，显得烦琐、麻烦，而且方程左边的“40x÷40”可以直接简写成“x”，这样从表面上看就和第一种方法一样了。根据已有的经验已经能够正确地解方程了，何必又多此一举，再去理解、掌握等式的性质呢?学生形成思维惰性，就不会再去深究思路和观念的不同，更不会创新解法。

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二、领会课程标准和教材编排意图，确认教材价值

建构主义认为：“知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个学生根据自身已有的知识、经验、方法在他人的帮助下主动地加以建构。”从这个角度来看，学生依据四则运算各部分之间的关系来解方程是不言而喻的事，而新教材却一改往日的“利用四则运算各部分之间的关系和相关运算律”的传统做法，运用等式的性质解方程，这在教师看来是层次清晰的推理过程，对于学生来说，不仅感觉很烦琐，而且由于认知上的障碍反而不易接受。看来不能以教师的思想去取代学生的思维。难道教材安排不够科学?再次比较两种思路：第一种方法是把未知数x优先从背景中筛选出来，依据四则运算各部分之间的关系求出x的值；第二种方法用“结构性观点”去看待方程，着眼于其所表明的等量关系，体现了方程思想的本质，较好地解决了中小学关于方程解法的衔接问题。《数学课程标准》也明确要求学生能“理解等式的性质，会利用等式的性质解简单的方程”。那么，教材编排的价值是不容置疑的，即不能因为学生思维的轻车熟路，而忽视新知的教学，忽视学生数学思想的进一步提升。

三、根据学生心理特点及已有知识经验，采取合理的教学措施

1．帮助学生获得必要的经验和预备知识，建立起“等号”的“结构性观点”教师有意识地引导学生构造出下列等式：

4＋5=2＋(  )    2×6=(  )×(  )    10÷2＋1=(  )－7

    4＋5=3×(  )    2×6=50－(  )      10÷2－(  )=1×(  )

    问：你是怎么想的?为什么这样填?这些题有何共同点?

    思考：设计此题不只是要学生给出答案，而主要是让学生感悟其中的等量关系，明白等式不应被认为具有唯一的方向(左边表示应做的运算，右边表示答案)，等号的左  边和右边相等，等号表示左、右双方的等价性。通过重新组织，唤起、激活学生的相关认知结构，为利用等式的性质解方程提供强有力的支撑，使学生学习新知处于良好的准备状态。

    2．理解地“教”和“学”，实现由“过程性观点”向“结构性观点”的转化

    奥苏泊尔认为：“影响学生学习新知最重要的因素是学生已经知道了什么。”利用四则运算各部分之间的关系来计算是学生耳熟能详的，而根据等式的性质解方程对于学生来说是一个新生事物，与学生已有的知识和经验不能很好地联系起来，这时就要通过必要的“强化”达到新的整合，对知识网络进行改造。

    在“O”里填运算符号，在“(  )”里填数：

    X＋5=8             x÷9=90                2.5×y=10

    X＋5＋()=8+(  )    x÷9○(  )=90○(  )    2.5○(  )－8=10－8

    追问：你是怎么想的?每一题的答案都是唯一的吗?这三组题有什么共同点?

思考：心理学研究表明，抽象的概念需要通过熟悉很多的事物才得以形成。乍看这一题好像与上一题类似，其实是运用了心理学的变式原理，从不同的角度组织丰富的感性材料，变换等式的非本质特征，在各种表现形式中凸显等式的本质特征。让学生再次理解等式的性质，彻悟其中的等量关系，从而使学生对等式性质的理解达到越来越概括的程度，使其内化为学生知识网络的一部分，实现由“过程性观点”向“结构性观点”的转化。

3．抓住关键，巧妙突破难点，介绍教材编排意图

    出示：

    40x=960    x÷9=50    5+z=20    y－8=30＋20

    快速抢答：用什么方法使方程的一边只剩下未知数呢?

思考：学生的思维处于下意识状态，不由自主地从知识网络中检索出等式的性质，应用到解方程的过程中去(而不是被动的接受与机械的记忆)，突破思维定势，使利用等式的性质解方程变得顺理成章、水到渠成。学生深刻认识到：利用等式的性质解方程，看似麻烦，实则简单，不须思考各部分之间的关系。这时，教师再适时介绍教材之所以这样编排是为了中小学方程解法的衔接，使学生认识到利用等式的性质解方程的必要性，观念得以更新、深化。

4．慎选反例，引导学生进行评价和调整，让思维走向深渊

先找出错误，再改正。

    40x=960                   2x=5＋11=16=16÷2=8

    40x÷40=960

    x=960

思考：现代认知心理学表明，在解决问题的过程中，同时存在两种思维过程，即具体的认知过程和更高层次的元认知过程。在对反例辨别的过程中，学生会有意识地把自己心目中的“样例”抽取出来与之比较、分析，进而进行评价。在比较与思辨中，反衬和激生对用等式的性质解方程的认识，用“结构性观点”去看待方程，着眼于其所表明的等量关系，从而对自己已有的认知结构和认知策略进行评价和调整，使思维走向深刻。

5．巧解质疑，使全体学生都能有差异地得到发展

    960÷x=40    80－y=16

    在课的尾声，几只小手高高举起：“老师，例5列成960÷x=40，怎么解?”“如果未知数是减数或除数，怎么办?”(并举了上面的例子)教师教学用书上是这样说的：要告诉学生列这样的方程是可以的，但因为用我们现有的知识解这样的方程有些困难，所以一般也不要这样列。这样告诉学生就能解惑吗?牵强厂想法只有当它们要来时才来，而不是我们要它们来就来。”学生能提出这样的问题说明学生有自己的思考，是聪明的。于是，我引导学生自主探索，不少学生集思广益，成功地解决了这一难题。面对一张张因激动而涨红的小脸，我如释重负。