“图形中的规律”教学片断及反思

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“探寻图形中的规律”是课程新出现的内容，蕴涵着深刻的数学思想，是培养和发展学生空间观念和数学思维能力的有效载体。然而由于此类题目一般都孤立地存在于教材之中，没有形成系列，对每一道题的探索都要另起炉灶，所以，我们不像“双基”教学那样经验丰富。怎样达成《标准》要求的“能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素，描述实物或几何图形的运用和变化……”的目标呢?笔者作  了一些尝试和思考。

    课堂写真：

    师：还记得用小棒摆三角形的问题吗?请说一说，摆1个、2个、3个……a个三角形需要多少根小棒?

    生：摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要(3×2)根小棒，摆3个三角形需要(3×3)根小棒，……摆a个三角形需要(30)根小棒。

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师：能用5根小棒摆两个三角形，用7根小棒摆3个三角形吗?请动手摆一摆。学生摆出：

    师：今天我们就来研究这样摆三角形的规律。
出示图形：

摆10个三角形，需要多少根小棒?请同学们边摆图形，边填下表：

三角形个数	1	2	3	4	……	10
小棒根数	3	5	7	9	……	21

师：说一说，你是怎样得出摆10个三角形需要21根小棒的?

生1：我是数的。

生2：我是看表中的数据3、5、7、9……，后一个数都比前一个数多2，所以摆10个三角形需要小棒的根数为9＋2×6=21(根)。

师：上面两位同学的求法虽然能得出正确答案，但比较麻烦，如果要求摆30个三角形需要多少根小棒就困难了。其实，我们只要能找出摆三角形的规律，问题就迎刃而解了。现在请同学们广开思路，从不同角度探寻上面摆三角形的规律。

分组讨论，选代表汇报发现的不同规律。
生l：我们小组的同学发现，摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒(3＋2)，摆3个三角形需要7根小棒(3＋2×2)……，摆10个三角形需要21根小棒(3＋2×9)。也就是每多摆1个三角形就增加2根小棒。

生2：我们发现摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒(3×2－1)，摆3个三角形需要7根小棒(3×3－2)……，摆10个三角形需要21根小棒(3×10－9)。每多摆1个三角形就应减少1根相重合的小棒。
生3：我们小组发现的规律与众不同。假如除去最左边一个三角形左边一根小棒不算，那么，每摆一个三角形就增加2根小棒，所以摆1个三角形需要3根小棒(1＋2)，摆2个三角形需要5根小棒(1＋2×2)，摆3个三角形需要7根小棒(1＋2×3)……，摆10个三角形需要21根小棒(1＋2×10)。
师：同学们发现的规律有理有据，切实可信!那么，如果用字母n表示摆三角形的个数，你能用发现的规律写出表示需要小棒根数的表达式吗?先填写下表，再写出含字母n的表达式。

三角形个数	1	2	3	4	5	6
小棒根数

生l：填表如下：

三角形个数	1	2	3	4	5	6
小棒根数	3	3＋2×1	3＋2×2	3＋2×3	3＋2×4	3＋2×5

观察表中数据间的对应关系，当三角形个数为n时，小棒根数为3＋2(n—1)……(1)。
生2：填表如下：

三角形个数	1	2	3	4	5	6
小棒根数	3	3×2－1	3×3－2	3×4－3	3×5－4	3×6－5

根据表中数据间的对应关系，可得出：当三角形个数为n时，小棒根数为3n－(n—1)……(2)。
生3：填表如下：

三角形个数	1	2	3	4	5	6
小棒根数	1＋3	1＋2×2	1＋2×3	1＋2×4	1＋2×5	1＋2×6

根据表中数据间的对应关系，当三角形个数为n时，小棒根数为：1＋2n……(3)

师：同学们用字母表示图形中的规律，十分简捷而明了，且便于应用。现在，请同学们想一想摆30个三角形需要多少根小棒，用什么方法计算比较方便?答案是多少?

生4：采用上面的(3)式计算方便，即当n=30时，需要小棒1＋2n=1＋2×30=61(根)。

师：比比看，以上发现的三种含n的表达式有什么联系?

生5：我觉得由(1)。(2)两式都可以转化成(3)式，如由3＋2(n—1)=3+2n－2=l＋2n；由3n－(n－1)=3n－n＋l=l＋2n。显然，(3)式简捷而明了。

课后思考：
本课中的探寻只是一个例子，学生今后还要经历更多规律的探寻，那么，最大限度地放大例子的效能，使学生在探寻中习得一定的探寻策略，并进而提升学生的数学思维能力，这也是我们应努力探寻的。
l，经历找规律的初始阶段要“充分”。

以学生熟悉的用小棒摆三角形为思维起点，让学生摆10个三角形，并边摆边填写表格，其中就隐含着图形中的规律，学生有图可依、有表可据；要求他们说出解决问题的办法，学生通过数图中小棒的根数和看表中数据的规律，均可得出摆10个三角形需要2l根小棒。这一环节看似简单操作，但学生的摆、填、数、看中有思考，是规律悟出的基础，我以为不应因满足于得出答案而过早地将具体的规律抽象化，这样的经历是
不可或缺的。继而追问：如果要摆30个三角形需要多少根小棒?用上面的求法就困难了，怎么办?从而进一步激起学生的求知欲望，把学生导向深入探寻规律的活动中去。

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2．经历找规律的生成阶段要“丰满”。   

在学生的思维被激活时，我当即组织学生分组讨论，放手让他们从不同角度探索不同的规律，要求把发现的三种规律不仅用算式具体地体现出来，而且结合图形对这些算式(规律)作出正确合理的几何解释。正因为如此，规律在学生自主探索中呼之欲出了，且思维清晰而有条理，学生的回答将课堂引向了精彩，将全体学生的思考由感性引向了深刻、理性。的确，“当学生的热情被激发出来时，课堂教学内容就会被学生当作礼物来领受。”

3．经历找规律的创新阶段要“深刻”。

本课教学中，我没有满足于使用教材，而是将课本中发现的两种规律扩展成三种，同时利用学生刚学完的用字母表示数，提出“如果用字母n表示摆三角形的个数，你能用发现的规律写出表示需要小棒根数的表达式吗?”的新要求。再次发挥表格数据具体的特点，协助学生根据数据间的对应关系写出三个含n的表达式，使学生的思维又深入了一步。最后，通过沟通三个关系式的联系，选出形式最简捷的规律——“1＋2n”，求出当n=30时，需要小棒根数为1＋2×30=6l(根)。这样，学生就经历了抽象、概括、对比，选优的创新阶段，思维一波高于一波达到了顶峰。

回顾整堂课，我只有点拨引导的几句话，其余全都让学生自己在“做数学”。小学生由于受到年龄特征和认识水平的制约，他们总是以特定的方式在探究数学世界，所以我以为对他们而言，“做”数学远比“听”数学有效得多，而只有给学生提供足够的活动时机，学生才会去奇思妙想，才会去联想翩翩，也才会有精彩的生成和创造。我还以为在让学生思维走向深入的同时，给教师的思维也提出了挑战。教师要善于把学生外在的“做”引向内在的“做”，适时把外在活动获取的直接经验，通过一定的方式内化为抽象的符号，要灵活处理好学生生成的资源，让少数学生智慧的火花照亮全体学生。要让学生的思维走向深入，教师的思维必须首先走向深入，教师只有创造性地使用教材，能充分发挥教材的作用。

桃小

很深刻