听“认识众数”有感

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众数是统计与概率领域新增的教学内容，它和平均数、中位数一样，都是一种统计量，分别从不同角度反映数据的整体状况，在统计中有着重要的意义，在我们的生活中应用也非常广泛。笔者最近在课堂教学大比武时连续听十多位老师上了“认识众数”这节课，对这一看似简单的课有了新的思考和认识。下面，我就几位老师教学中带有共性的两个典型片段进行简要分析。

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片段描述一(引人新课部分)

1．师：同学们，这是一张艾格、连洋两家公司的员工年收入调查表(单位：万元)。

	员工 ①	员工 ②	员工 ③	员工 ④	员工 ⑤	员工 ⑥	员工 ⑦	员工 ⑧	员工 ⑨	员工 ⑩	年平均收入
艾格	7	6	5	5	5	5	5	4	3		4.5
连洋	18	12	3	3	3	3	3	3	2	2	5.2

2．师：如果你想推荐你的亲戚进这两家单位工作，你准备推荐哪个单位?

生1：我推荐到连洋工作，因为在连洋工作年平均收入高。

生2：我推荐到艾格工作，因为在艾格工作至少收入3万，比连洋的2万高。

生3：我推荐到艾格工作，因为在艾格工作大多数人的年收入是5万，在连洋工作大多数人的年收入只有3万。

3．师(满意地接过话题)：是呀，在这里用平均数来比较两个厂的工资水平不是很合适，应该比较大多数员工的工资水平。因为表中连洋有两人的工资是18万和12万，远高于其他人，就是这两个极端数据拉高了连洋员工的年平均收入。

(就在这时，一个学生站起来提出异议)

生4：老师，我认为还是应该到连洋工作，因为这两个极端数据说明在连洋工作有前途，工作出色的话收入可以很高呢！

4．师(显然没想到会出现这样的情况，很尴尬)：想想看，到底用什么样的数来反映两个厂的工资水平比较合适?大家讨论讨论。

分析思考
用“应聘时挑选工作单位”的情境引入众数是好几位老师共同的选择。从上述教学中可以看出，老师们都已经认识到：众数是在现实需要的基础上产生和学习的统计量，因此必须把众数放在有意义的现实情境中进行教学。这位老师就设计了“请同学推荐他们的亲戚选择艾格、连洋两家厂中的哪一家工作”的问题情境，力求制造认知冲突，打破学生原有的认知平衡，让学生在思考和选择中发现众数的存在和价值，从而引出众数的意义。但是因为挑选工作单位会受到多种因素的影响，各人关注的角度不同(如上述这节课学生就有异议)，所以有时反而会在众说纷纭中淡化了研究主题。而且在一开始就把用平均数和众数放在一起让学生思考到底根据哪个统计量进行决策，显然提高了教学要求，以至于大多数学生茫然不知所措，只能任由老师引着人云亦云。

改进策略

这里的问题情境应进行修改，矛盾冲突可以制造在“平均工资不能准确反映员工工资的真实情况，必须关注大多数员工的收人情况”，这样众数的引出才有其意义和价值。具体可作如下修改：

1．教师谈话引入并出示。

招聘启示

因公司扩大规模，现需招聘若干名业务员。本公司待遇优厚，月平均工资3000元，机不可失，欢迎应聘。
连洋人事处
小马工作一个月后，发现实际领到的工资只有1500元，就去找人事部门理论，人事部门向他出示了三月份的工资单。
连洋公司三月份工资单(单位：元)

员工	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧	⑨	⑩
收入	10000	8500	1500	1500	1500	1500	1500	1500	1500	1000

2．师：，卜马看了工资单，一算平均工资的确是3000元，他还发现，大部分员工的工资也都只有1000多。

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3．师：同学们知道什么是平均工资吗?它是如何计算的?

    4．师：大部分员工的工资只有1000多，平均工资怎么会有3000元呢?大家讨论讨论。(讨论时出示工资单的条形统计图：上面标有表示平均工资的虚线)

    反馈交流：这里有两个极端数据拉高了平均工资。

    5。师：用平均工资3000元来代表该公司大部分员工的工资水平合适吗?   

    引出众数概念。   

    片段描述二(比较分析部分)

    出示：这是两组同学一次投飞镖练习的成绩(单位：环)：

    甲：6，8，8，8，10，9，8，8，7，1

    乙：7，2，8，9，8，10，8，8，6，7

    在甲组统计数据中，众数是(    )，平均数是(    )，用(    )数来描述甲组同学的成绩更合适些。

    在乙组统计数据中，众数是(    )，平均数是(    )，用(    )数来描述乙组同学的成绩更合适些。

填空后反馈时，同学们有的认为用众数来描述成绩更合适，有的认为用平均数来描述成绩更合适，各自摆出论据。描述甲组同学的成绩，同学们经过讨论，认为用众数8比用平均数7.3更合适；但是描述乙组同学的成绩，同学们有的认为用众数8合适，有的认为用平均数7．3合适，互不相让，争论激烈。

分析思考

    在本课的教学中，大多数老师都能明确“能根据具体问题选择恰当的统计量表示一组数据的整体特征”是本课的教学难点，因此都能创设相应的现实情境让学生对平均数和众数进行分析对比，从中合理选择恰当的统计量。但是有些老师却没有精心挑选合适的数据，导致数据特征不明，学生争论不休，陷人了“公说公有理，婆说婆有理”的两难境地。还有的老师片面地认为：只要一组数据中有极端数据和众数出现，就必须选择众数来表示一组数据的整体特征。其实一般而言，平均数作为一组数据的代表，相对可靠和稳定，因为它与其中的每一个数据都有关系，能够最为充分地反映这组数据所包含的信息。只有在乎均数不能有效地反映出一组数据的基本特点而且众数出现频数较高的情况下，选择众数来描述一组数据的整体特征才有其说服力。

    改进策略

    这个环节中的数据一定要精挑细选，使数据能反映统计量的特征，便于学生分析比较、合理选择。(如果要选择众数来表示一组数据的整体特征，那么众数出现的频数应该超过数据数量的50％)题目的呈现方式也可稍作调整，具体可作如下修改。

这是两组同学一次投飞镖练习的成绩(单位：环)：

甲：8，8，9，0，8，8，8，1，8，8

在这组数据中，众数是(    )，平均数是(    )。

众数表示什么?平均数又表示什么?

    用什么数来代表甲组同学的成绩更合适些?为什么?(用众数8代表甲组同学的成绩比较合适，而平均数6．6因为受极端数据0、1的影响，在这组数据中偏低了，不能代表甲组大多数同学的成绩。)

    乙：7，8，6，6，9，7，6，6，8，9

在这一组数据中，众数是(    )，平均数是(    )。

用什么数来代表乙组同学的成绩更合适些?为什么?(众数6在这组数据中是最小的，且出现的频数少于数据数量的50％，因此不能代表乙组大多数同学的成绩。用平均数7．2代表乙组同学的成绩比较合适。)

    课后畅想

听课结束后，我认真反思这节课，确实这是一节乍一看非常简单的课，看内容：认识众数，按一般概念课的常规教法，不要说六年级的学生了，就是三年级的学生，可能只需10分钟也就能教会了，一节课40分钟的时间如何打发呢?但十多节课听下来，几乎一半的老师都没能很好地完成教学目标、突破教学难点。这里既有对教材的深层次研究不到位导致的教学目标定位不准的问题，也有眉毛胡子一把抓导致知识点不清、教学  层次不明的原因，还有数据特征不明显导致模棱两可学生争论不休的情况……那么，这堂课到底该如何有效地完成教学目标、突破教学重难点呢?我认为可以通过“在情境引入中体验众数产生的需要——在寻找众数中理解意义、掌握方法——在对比分析中感受众数与平均数的区别——在合理选择中解决问题——在思考成因中拓展延伸”这一教学思路来进行教学设计，具体可以这样设计。

一、创设情境，引出众数

众数是在现实需要的基础上产生和学习的统计量。因此，众数的出场必须结合现实情境。教学设计时可以参考“片段一”改进策略中的实例：小马去找工作，看到一份招聘广告上写着该公司月平均工资3000元，觉得条件不错便喜滋滋地去应聘上班了，可工作一月后发现实际领到的工资只有1500元，接着抛出“大部分员工的工资只有1000多，平均工资怎么会有3000元呢”的问题讨论，引发学生对“月工资水平”的认知冲突，然后在对“能不能用3000元来代表这家公司员工工资整体水平”的问题探讨中，出示直观的条形统计图表示员工的工资水平，引导学生观察：平均数3000元在这组数据中所处的位置明显偏离中心，而大多数员工的工资都在1500元的位置，从而自然引出众数概念，并首次体会众数的统计意义。

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二、理解意义，掌握方法

    在学生理解了众数的意义后，让学生根据自己对众数意义的理解，尝试找出一组数据的众数，通过学生之间的相互交流，掌握求众数的一般方法。本环节可设计“学生英语口语成绩、学生年龄、售鞋问题”等几道由浅人深的题目，通过让学生由易到难地体验寻找众数的过程，掌握寻找众数的方法，并更好地理解众数的意义。其中“学生英语口语成绩、学生年龄问题”可在实际情境中帮助学生更好地理解众数的内涵和外延：一组数据中，众数一定是“出现次数最多的数”，众数可能不止一个，它和平均数的唯一性不同。“售鞋问题”可设计成学生无法一眼就看出众数是多少，必须通过“画正字”或别的方法进行统计才能知道哪个多哪个少，从而让学生掌握寻找众数的各种方法，初步感知众数的实际应用价值，使得新概念的教学起点降低、落点增高。

    三、分析对比，深化认识

本节课的一个重要目标，是让学生能根据现实情境合理选择统计量。怎样让学生将平均数和众数这两个既有联系，又相互区别的统计量加以正确区分呢?在设计教学时，本环节可参考“片段二”的改进策略，创设一个问题情境：分别出示甲组和乙组同学一次投飞镖练习成绩的两组数据，让学生找出其中的众数和平均数，并结合具体情况说说这里的众数和平均数各表示什么实际意义，用什么数来代表他们组同学的成绩更合适些，为什么。这个环节主要通过对两组数据的对比分析，沟通概念之间彼此的联系，明确它们的区别，进一步促进学生对众数的认识。同时让学生体会到平均数和众数都是统    计量，平均数与每个数据的大小有关，而众数只与各个数据的次数有关；从而认识到有时需要用平均数来表示一组数据的总体情况，有时用众数来表示一组数据的一般情况更合适。在描述一组数据时，关键看平均数和众数哪个更具有代表性，为下面选择合适的统计量描述数据的特征作铺垫。

四、合理选择，解决问题

    数学学习的最终目的是运用所学知识解决实际问题，在实际应用中也有助于学生进一步理解知识、应用知识。本环节可设计这样的两个题组练习：

    1．五(3)班准备从两名运动员中选一名去参加射击比赛，下面是他们的选拔成绩(单位：环)：

甲：9．1，9．1，9．8，9．0，9．1，9．1

    乙：9．8，9．9，9．8，9．8，3．7，9．8

    讨论：该选谁去呢?你是根据什么来决定的?

    交流：甲：众数——9.1，平均数——9.2；乙：众数——9.8，平均数——8.8。

(结论：这里众数能代表这两位同学的大多数成绩，所以依据众数来选择更合适。因为乙的众数大，所以选乙去)

2．五(4)班准备在两名女生中选一名参加投篮比赛，下面是她们8次投篮的成绩记录(单位：个)：

甲：6，7，6，8，6，6，5，8

    乙：3，7，5，7，4，8，3，7

    讨论：该选谁去呢?为什么?

    交流：甲：众数——6，平均数——6.5；乙：众数——7，平均数——5.5。

    (结论：众数在这里不能代表这两位同学的大多数成绩，而依据平均数来选择更合适。因为甲的平均数大，所以选甲去)通过这两个判断决策练习，使学生体会到平均数和众数都可以反映数据的一些情况和特征，但是决策判断时是依据众数还是平均数，必须根据数据特征进行具体分析，从而学会更全面地分析数据，进行统计决策。

    五、归纳总结，体会收获

    六、寻找成因，拓展应用

    让学生进一步体会学习众数的实际价值，学会数学地思考问题，把学生的认知由只认识表层现象推进到剖开现象看本质。本环节可创设这样一个现实情境：

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1．出示五(5)班一次数学调研测试的成绩，如下表(单位：分)。

100	95	95	95	95	95	95	95
95	95	95	95	95	95	95	95
95	95	95	95	94	94	93	92
91	91	91	90	88	88	87	85
85	85	84	83	80	75	70	63

2．仔细观察这次测验成绩，说说发现了什么。(学生发现95分是这一次测试成绩的众数)
3．怎么会出现这么多的95分，而99、98、97、96都没有呢?

老师觉得这里面一定有原因，于是就去调阅试卷，发现有一道操作题大家都不太明白题意，许多同学都在这里被扣了5分，所以众数的出现有时是有原因的。分析众数出现的原因，对老师以后的教学会有帮助。

课后可以让学生们去找一找生活中的众数，并分析了一下众数出现的原因，将课内活动向课外活动作有效延伸，将书面学习活动转向社会实践活动，进一步体会统计在实际生活中的作用，发展数学应用意识。

行云流水

很受启发!