数学教学中如何抓住数学本质

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数学教学中如何抓住数学本质
武 晓 锋
（呼和浩特市第六中学）
摘要：  由古今中外对数学本质的理解与探讨，提出自己对数学本质的粗浅理解，从以下三个方面进行论述。
1.        数学教材的改组，有利于探究数学本质。
2.        数学教学抓住数学本质，透析思维过程，培养思维能力。
3.        在数学教学过程中，面对疑难问题，究其数学本质。
在教学过程中抓住数学本质势在必行，凝练数学文化本质，提升数学文化力量是我们数学教学的终极目标。

关键词：数学本质  数学思维  凝练  提升

从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海在《数学与善》中说“数学的本质特征就是：在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究。”数学对于理解模式分析模式之间的关系是最强有力的技术。著名数学家冯•诺伊曼就认为数学兼有演绎科学和经验科学两种特征，而关于数学是研究模式的学问的说法，则是从数学的抽象过程和抽象水平的角度对数学本质特征的阐释，结果并不能反映数学的全貌，组成数学的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，而且从总体上来说，数学是一个动态的过程，是一个“思维的实践过程”，是数学真理的抽象概括过程。
数学课堂教学是将文化限定在数学课堂这个特定的情境中，发生在数学课堂教学中的规范，价值观念，思想观念和行为方式的整合体，它包括数学教材带给学生的显性知识，即那些承载与数学课程中的概念化了的数学知识与数学思想，也包括隐含在教材中的难以用概念来描述的对数学的情感，态度等观念性的东西，特别是数学课堂教学小理性思维的培养它不只是简单要求学生在共同的教和学中认同和接受所传递的文化知识，而是师生把接受文化的过程转变为建构文化的过程和价值观形成的过程，最终把它们内化为具有自觉，自愿性的数学思想，数学态度，数学价值观`。
数学教学不仅要传授数学知识，更重要的是要发展学生数学思维能力，这就要求我们在数学教学中抓住数学本质。汪宇先生在《西方文化中的数学》中补充的主编赘语里写到：“我很清楚，我们对数学的理解悖逆于数学的本质到了多么严重的程度，功利实用倾向和计算技能崇拜，遮蔽了数学本质精神，因此，国民的数学精神和基本的思维能力依然另人失望。我也很清楚，我们的数学教育悟入歧途，事倍功半，陷入了困境。我们可以成规模的制造战无不胜的数学奥赛选手，可是数学能力的捉襟见肘，又是整个高端研究领域很难取得突破性进展的瓶颈，我们更清楚，在应试教育的主战场-----中，小学，数学教学充当了急先锋。”
我们可以看到，在当前的数学教学过程中，逐渐有重“知”轻“识”的功利化取向，教学方式主要以传递为主，即“教学=传递”，以制度化知识和技能（大纲或标准及考纲所规定的知识和技能）为主要教学标准，在短时间内传递的大量的数学教学内容，各种考试制度成为判断数学教育和质量高低的标准。数学教学在某种程度上“迎合”了社会的这种需求，也导致了数学教学价值的功利化。数学教学是为知识所驾权的“物化课堂”，知识与技能的认识性目标仍然是当前学习的主要目标，认知性活动取代了养成完满人格和理性思维培养所必须的实践活动和心理活动，学生的数学课堂生活也被书本（包括各种练习册，测试卷）所排挤，要求“知”的一面，而忽略“识”的一面，有“知”无“识”不会达到高水平的数学思维，并将从根本上失去对人培养的鲜活理性精神的课堂。
基于当前数学教学中存在的问题，我想对在数学教学过程中应抓住数学本质谈几点粗浅认识。
（一）数学教材的改组，有利于探究数学本质。
函数的定义经历了传统定义和近代定义两个阶段。传统定义来自于物理中的运动，刻画了两个变量之间按照某种固定规则相互依赖，相互制约，不断变化的关系；近代定义是由映射定义并用集合描述的，即建立在两个非空数集上的映射叫函数，而映射又是一种特殊的对应，因此，该定义抽象性较强，形式化程度较高。然而，近代定义描述了函数的本质，对其数学意义有了更深，更进一步的探讨，使函数的范围更广，它不仅能很好的刻画两个变量之间有规律的变化关系，同时也能刻画两个变量之间规律性不明显的变化关系。例如，数列 1，8，6，-2，9，-7作为函数，自变量（项数）与函数值（项）之间的规律不够明显，这样的函数用近代定义描述有其优越性，而用传统定义中的“按照某种对应关系”难以解释清楚。                           
当前数学教材的改组，也有利于探究数学本质。在新编鄂教版教科书中，一改以往先讲映射后讲函数的风格，前移函数，在其特殊函数的理解之下，推广到一般，探究到其本质----映射。即突出了函数概念在中学教学中的“核心”地位，使学生通过多次接触，反复体会，螺旋上升，逐步加深认识和理解过程，使其达到真正理解，掌握与运用，最终提炼其数学本质----映射。在例习题中删除了判断同一函数的这一类型，淡化定义域与值域的求法中的繁难要求，都是为了突出函数这一核心概念，去其细枝，从而加深认识与理解，不把学生的注意力引向细枝末节问题。
在集合当中加入了简易逻辑，使推理逻辑思维能够更早，更好的深入学生思想；在三角函数中，去除了和差化积，积化和差的复杂运算，而对其定义本质加强，加深了探讨，这也是为更好的把握数学本质奠定了基础；淡化不等式中技巧性求解问题，充分发挥其工具性作用；微分，导数下放，使求函数的单调性及最值问题有了整体性把握；在立体几何这一部分，引入了空间向量，这样降低了其技巧性，使几何与数量能够更好的统一起来，充分发挥了“数形结合”，“形数结合”的数学思维本质。
上述种种，都是教材改组为探究数学本质带来的深远影响，这就要求我们在教学过程中，抓住各个部分的数学本质，进行更深入的数学教学。
（二）数学教学抓住数学本质，透析思维过程，培养思维能力。
关注数学本质，注重发展学生的数学能力，渗透数学思想方法，注重发展学生的数学能力，立足解决问题，透析本质，形成创新思维。问题是数学的心脏，解题是数学研究与数学学习的主要活动，是数学创造与数学发展的主要途径。解题研究是我国数学教育与数学研究的一项传统。问题情境产生的条件是主体（学生）真正“进入”问题，并且让主体认清发现这个障碍，使他（她）们想要排除障碍，产生动力。只有在这一条件下，主体才会产生积极的思维活动。在引导学生产生问题的同时，启发其解决问题，并抓住解决问题的切入点。

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下面我想从这样一个例题来说明这一问题：
例  求下列动圆圆心M 的轨迹方程
1）与⊙  外切, 且与⊙  内切。
解：1） 设 动圆M的半径为r
由⊙M 与 ⊙ 外切 且与⊙ 内切
可知，      ,      
则有，   
所以，点M 的轨迹是以   为焦点的双曲线的右支 ，
且有a=2 ， c=3

所求双曲线方程为：   (x≥2)
解这一问题，所强调的本质是：双曲线的定义本身，某一动点到两定点的距离的差的绝对值是一常数，则这一常数为2a当距离的差是一正数（负数）时则是双曲线的右（左）支。利用圆心与半径的关系，寻找解析式。找到关系 ，并与双曲线定义相联系，从而知道，动点到两定点的距离的差是一正数4，则此轨迹为双曲线的右支，“数形结合”确定其图象。
同样，解决一个问题也可以从多角度多侧面探究其本质，这就要看我们怎样把握问题了。
例 等差数列{ }中， ＜0， ，该数列前多少项的和最小？
解决这一问题，我们首先写出前 n 项和的函数解析式，再求此式的最值，思路由此展开。
解：设等差数列{ }的公差为d，则由题意得
解法一：  
  即   ，∴
     ∵ ＜0，∴d＞0
∴   
∵ d＞0 ,     ∴  有最小值取最小值
又 ∵   ,   ∴ n=10或n=11时 ，  取最小值
解法二：由 {
即  {
解得   
∴  n取10或11时 取最小值
解法三：∵  ，∴     ∴  
        ∴     ∵ <0
∴ 前10项或前11项和最小
解法四：∵  
∴   的图象所在的抛物线的对称轴为 ，
又   <0，
∴数列 的前10项或前11项和最小
方法一，方法四是将数列的前 n 项和看作一个函数，其探究了数列的本质---离散函数，它同样具有函数的最值性，所以，可以运用求函数最值的方法来求解数列前 n 项和的最值。
方法二，方法三是根据数列自身的本质特点---通项，来看待数列的前n 项和。这就要求我们在教学过程中，把握数列本质---函数，抓住其自身特点通项公式，前 n 项和公式，进行指导教学。
（三）在数学教学过程中，面对疑难问题，究其数学本质。
在教学过程中，我们经常会遇到一些疑难问题，同学们很难掌握的知识点，面对这些疑难杂症，我们更应究其数学本质，使同学更好的了解其来龙去脉，从而使问题迎刃而解。
分段函数是函数的一种形态，由于其表达形式比常见函数的表达形式复杂，因而造成理解和掌握上的困难。那么我们从本质上看，分段函数就是多个函数并列在一起这些函数的定义域不同（交集为空集），对应的法则也不同，f(x)意义就是x被其所在定义域上的对应法则作用的结果。一段定义域对应一个作用法则，把它们合并在一起，构成一个整体，这个整体是一个函数。                        
周期函数又是一类较为特殊的函数，它所强调的是上一个环节的重复，在整个定义域上，它是最小正周期的一个重复演绎，我们只要知道最小正周期的作用法则，整个定义域便可一目了然。我们不妨“抬起头来学习”即针对总的学习目标的一种战略大方向，这里我们来探究一种学习战术策略：重在探索，贵在归纳，利在发展。
接下来我就这样一道例题说明一下这个问题：
已知：f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R,都有f ( x - 1 )=f ( x + 3 ) 当x∈[4 , 6], f (x) =  +1,则函数f (x) 在区间 [-2，0]上的反函数 的值 为（  ）

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A.        B. 3 - 2     C. 5 +     D. –1-2
解析：f [ ( x +1 ) –1 ]=f [ ( x +1 ) +3],即f (x) = f ( x + 4 ),所以函数f(x)的周期T= 4 因为 -2≤x≤0,所以4≤4 – x ≤6,f ( 4 – x )=  +1  又f ( 4 – x )=f (- x)=f (x) 所以f(x)=
令        即：   所以 ：x = 3- 2
解决这一问题我们要把握的本质是周期函数，其特点是周期性的重复，那么我们首先要寻求函数f(x) 的周期，T = 4，利用周期4将区间 [-2，0] 切换到区间 [4，6] 上，从而求得区间 [-2，0] 上函数f(x) 的解析式，再利用互为反函数的关系求得
解答一道数学题目，就像攻克一座堡垒，首先要了解堡垒内部的情况，然后再依据自己的力量制定一个“进攻方案”都需首先选择一个易于攻克的突破口，以便集中优势兵力，有效的攻其一“点”，再由点及面，逐步扩大战果，取得最终胜利。这就要求我们在教学过程中抓住数学本质，解题抓住质的切入点。下面我们再来看一类疑难问题---极限。
例1 若  b为常数，则a的取值范围为 (   )  
基础知识（本质）：当 ＜1 时， ,
当 q = 1时 ，  ,
当 q = -1时 ，   不存在
当   ＞1时 ,     不存在
由此可知，要利用已知条件，就需按 q与1的大小关系分类求解，故，思维由此展开
解：当 ＜1即  -1＜a＜1 时   
（满足）
当 ＞1即a＜-1或a＞1时，      （满足）
当 a=1时  ，     
   （满足）



当a=-1时  ,   不存在  ，不合题意    所以  a≠-1
综合可得：    { a︱ a∈R 且 a≠-1 }
把握极限本质，寻求解题方法是解决这类问题的关键。
1985年8月举行的“全国数学论文报告会”的开幕词中，华罗庚讲道：“数学是研究自然现象和处理工程技术强有力的工具”我们学习数学是为了应用这一强有力的工具来改进我们的世界，来更好的进行“应试”教育。但是，无论“数学应试”还是“数学应用”，都应抓住数学本质进行教学。只有抓住数学本质，才能提高数学成绩，发展数学能力，形成创造性思维。但是，如果他们正在为轮子平衡而发愁的时候，你去努力教他们微积分或者无穷维空间，他们是不感兴趣的，可是，如果我们能告诉他们在几分钟内能使轮子平衡的办法，他们却会成为我们的朋友。所以，高考是指挥棒，教师是教育主导，在当前这种应试教育制度下，只有将指挥棒指在数学本质上，在教学过程中，老师的重点集中在本质上，才能使学生的注意力凝聚在本质上；才有可能使数学这一人类最美的语言，最巧的工具得以发挥最长足的作用；才有可能使数学这门学科有更高，更深，更远的发展。
一句话：数学既是一门科学，也是一门艺术，作为一种宝贵的，无可比拟的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美。凝练数学文化本质，提升数学文化力量是我们数学教学的终极目标。

参考文献：
[1]《西方文化中的数学》汪宇
[2]《数学与善》怀特海
[3]《数学大世界》2005。11（长春）上海华师 张志容
[4]《数学通讯》2005。19（武汉）华中师大 殷希群
[5]《中学教研（数学）》2005。10（金华）浙江师范大学 叶秋平
[6]《高中数理化》2005。5（京）张振华
[7]《内蒙古师范大学学报》2006。1  李春兰