名师辅导 初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略

网站工作室

交流资料 初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（一）



安徽省巢湖市教学研究室　张永超

(本讲适合初中)

方程是一种重要的数学模型，也是重要的数学思想之一。有关方程的解的讨论问题一直是初中数学竞赛试题的热点与难点。解决有关方程的解的讨论问题往往涉及到分类讨论、数形结合等数学思想。

一、知识要点

1.形如方程的解的讨论：

⑴若=0，①当=0时，方程有无数个解；

            ②当≠0时，方程无解；

⑵若≠0，方程的解为=。

    2.关于一元二次方程(≠0)根的讨论，一般需应用到根的判别式、根与系数的关系等相关知识。

⑴若，则它有一个实数根＝1；若，则它有一个实数根＝－1。

⑵运用数形结合思想将方程(≠0)根的讨论与二次函数(≠0)的图象结合起来考虑是常用方法。

3.涉及分式方程根的讨论，一般考虑使公分母为零的整式方程的根(即原分式方程的增根)。

4.关于含绝对值的方程解的讨论，一般使用分类讨论的方法去掉绝对值符号，有时也应用到数形结合思想与绝对值的几何意义。

5.解决有关方程整数根的问题时，一般要应用到整数的知识，要理解整除、质数等相关概念。

二、例题选讲

1.方程整数根的讨论

例1.已知，且方程的两个实数根都是整数，则其最大的根是　　。

解：设方程的两个实数根为、，则，所以。因为、都是整数，且97是质数，若设＜，则，，或，，因此最大的根是98。

评注：此题解答应用了一元二次方程根与系数的关系，分解质因数的知识等方法与技能。这种方法在有关一元二次方程整数根的讨论问题中经常用到，如：

类题.(2004年四川)已知，为整数，关于的方程有两个相同的实数根，则－等于(    )

     A.1；      B.2；     C.±1；     D.±2.

分析：依题意得⊿=，所以，由，为整数得

，或，或，或， 所以－=±1。

网站工作室

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（二）



安徽省巢湖市教学研究室　张永超

2.一元二次方程根的大小分布

例5.(2002年全国竞赛)设关于的方程有两个不相等的实数根、，且＜1＜，那么的取值范围是(     )

A.＜＜；　 B.＞；　　C.＜；　 D.-＜＜0.

解：设，依题意，方程的两个不相等的实数根、满足＜1＜，结合二次函数的图象可知，必须有

⑴，

⑵ ，

解不等式组⑴得，①、③的取值范围没有公共部分，因此⑴没有解；

解不等式组⑵得 ，因此解集为-＜＜0，所以答案选D。

评注：本例的解答涉及到解一元二次不等式。解一元二次不等式不在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》范围内，但是《初中数学竞赛大纲》对此有一定的要求。我们可以结合一元二次方程的解法作初步的探索与了解。

例6.(2002年全国竞赛)已知，为抛物线与轴交点的横坐标，＜，的值为_______。

解：要求的值，首先要根据，的正负去掉绝对值符号。

根据抛物线表达式可知，当时，＜0。又因为＜，二次项系数为1，因此我们得到的抛物线的形状大致如右图所示，并且＜＜，

所以。

评注：本例主要根据抛物线与轴交点的横坐标、，以及当时

对应的函数值的正负判断出、、的大小，从而化简。

例7.(2003年太原)已知关于的方程的两个实

数根、满足－3＜＜－2，＞0，求的取值范围。

解：设。因为方程的两个实数根、满足－3＜＜－2，＞0，所以函数对应的图象如上图所示。

因此解这个不等式组得

所以的取值范围是＜＜。

评注：本题求解过程中根据、、三个点的函数值得到一个不等式组，可以保证⊿=＞0，因此没有再列出根的判别式，这一点需要仔细推敲与感悟。这样处理也避免了解一元二次不等式。本例解答给我们的启示是，解题时首先要认真审题、分析题意，选择最优化的解题方法，这样做可以简化计算，提高解题准确率。

3.与一元二次方程有关的最值问题

例8.(2004年信利杯)已知＜0，≤0，＞0，且，求的最小值。

解：两边平方得=，而＜0，＞0即，所以，即。因此==。因为≤0，所以当=0时，取得最小值是4。

评注：求与一元二次方程有关的最值问题一般将所求问题转化为二次函数的最值问题来解决，或使用一元二次方程根的判别式来解决。

延伸拓展：2004年出现了多道用编拟的竞赛题，如：

类题.(2004年全国初中联赛)已知是一元二次方程的一个实根，则的取值范围为（    ）。

A.≥；    B.≤；   C.≥；   D.≤.

分析：由题设知，原方程的两个实根中，有一个等于，则有，或。若设，那么或。因为是一个实数，因此△=1-8≥0，解得≤。答案选B。

例9.设，是实数，且，求的最大值与最小值。

解：设 ①，  而 ②，

由①、②得，，所以③，

因此，而，

所以，是方程的两个实数根，

因此△≥0，并且≥0，解得1≤P≤9。

所以的最大值为9，最小值为1。

评注：本题是利用构造法，将，看作是方程的两个实数根，根据根的判别式求解的。本题还可以构造不等式组求解。如由①、②可得③=≥0，且=≥0，从而1≤P≤9。

类题.(2003年江苏)已知实数，，满足，，则的最大值为       。

分析：∵，∴，∴。又因为，∴，∴，所以、是方程的两个根，因为，，是实数，所以⊿＝≥0，解得-2≤≤2，故的最大值为2。

例10.(2003年四川)若、是方程的两个实数根，则的最小值是         。

解：依题意得                                     ，

解①：≤，由②、③得

，

所以当=时，有最小值。

评注：本题的关键在于根据方程有两个实数根，利用根的判别式求出的取值范围≤，在≤的范围内求的最小值，否则容易错误地认为取=1得的最小值为－8。

网站工作室

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（三）



安徽省巢湖市教学研究室　张永超

4.其它方程的解的讨论

例11.(2003年四川)若关于的方程只有一个实数解，则=。

解：去分母得，整理得  ①。

当=0时，方程①有一个实数根，经检验是原方程的解；

当≠0时，方程①是一元二次方程。因为＞0，因此方程①总有两个实数根，其中一个根是原方程的增根。而原方程的增根只可能出现在使原方程公分母为0的未知数的取值中，即原方程的增根只可能是=0，或=1。

因为=0不可能是方程①的解，所以只能=1是方程①的解，因此，解得=。

综上所述，当=0，或=时，原方程只有一个实数根。

评注：关于分式方程增根的讨论，本例具有一定的代表性。与本例类似的问题有：

类题. 是什么整数时，方程只有一个实数根？指出所有这样的值，并求出与它相对应的根。

分析：方法与例22类似，答案为=4，或=8。

   

例12.(2001年我爱数学夏令营)如果满足的实数恰有6个，那么实数的值等于         。

解：显然＞0。原方程可化为。

若＞10，则原方程等价于，可化为，即

，此时原方程只有4个解，不符合题意。

若0＜＜10，则原方程等价于，它可以化为如下四个方程：

，，，，

此时这4个方程都有两个不同的实数解，因此原方程有8不同的解，不符合题意。

若=10，则原方程可化为如下三个方程：，，，每个方程各有两个不同的实数解，所以=10符合题意。

评注：本题的解法有多种，上面的解答应用了分类讨论思想与

枚举法。实际上本题用图象法解答较为简便，方法是：

先作函数的图象，并将函数的图象

沿轴方向上下平移，不难发现，只有当=10时，函数的

图象与函数的图象才有6个不同的交点，即

原方程恰有6个解；当10＜＜15或=0时，原方程恰有4个解；当=15时，原方程恰有3个解；当0＜＜10时，原方程恰有8个解。(如上图所示)

延伸拓展：用类似上例的方法可以解决下列问题：

类题.(2003年北京)如果满足的实数恰有6个值，则实数的取值范围是(   ).

  A.－6≤≤0；  B.0＜≤3； C.3＜＜6；  D.6≤＜9.

    分析：运用分类讨论或图象法可得答案应选C.

例13.(2001年武汉)方程的整数解(    ).

A.不存在；   B.仅有1组；   C.恰有2组；   D.至少有4组。

解：根据二次根式运算的性质可知，只有被开方数相同的最简二次根式可以加减(合并)，因此、必须被开方数相同，而，被开方数中没有能开得尽方的因数，所以方程没有正整数解，只能有与两组整数解。

评注：若将改为，则原方程可化为，这时、可分别设为，(其中、是整数)，则方程有8组整数解。

延伸拓展：有关二次根式的竞赛题，除以被开方数相同为背景外，还可以以其被开方数为非负数来命制试题，如：

类题.(2003年全国联赛)满足等式的正整数对(，)的个数是(    )

    A.1；       B.2；     C.3；     D.4

分析：由已知等式可得，而＞0，所以，故。又因为2003是质数，必有，或，答案选B。

网站工作室

初中数学竞赛题中方程解的讨论问题解题策略（四）



安徽省巢湖市教学研究室　张永超

三、练习题

1.设、是关于的一元二次方程两个实数根，则的最大值为______。

2.已知实数、满足，，那么的取值范围是        。

3.若关于的方程有解，则实数的取值范围是       。

4.实数、、满足，，则的最大值是    。

5.满足方程的实数对(，)的个数等于       。

6.方程实数根的个数为(     )

A. 1；      B.2；      C.3；     D.4

7.方程的整数解有(    )组。

     A.1；      B.2；     C.3；     D.4.

8.已知方程，则此方程的正整数解的组数是(    )

     A.1；      B.2；      C.3；      D.4.

    9.若关于的方程的所有根都是比1小的正实数根，求实数的取值范围。

10.求满足如下条件的所有值，使得关于的方程的根都是整数。

11.已知实数，，满足，。

⑴求，，中的最大者的最小者； ⑵求的最小者。

12.是大于零的实数，已知存在唯一的实数，使得关于的二次方程的两个根均为质数，求的值。

练习题参考答案

1.；  2.≤≤；  3.＜-1或≥0；  4.；

5.1；     6.A；    7.D；    8.C；    9.=1或＞2；

10.当=0时，所给方程有整数根1；

当≠0时，设所给方程两个整数根为、，则，

则+-=-2，所以(-1)(-1)=3。

因此，，，，

∴+=-2，或+=6，因此，或，解得=1，或=。

当=1，或=时，⊿=均大于0，因此满足要求的值有三个，它们是=0，或=1，或=。

11.⑴不妨设是，，中的最大者，即≥，≥。由题意知＞0，且，。于是、可看作方程的两个实数根，则⊿=≥0。整理得≥0，≥0，所以≥4。当=4，==－1时，满足题意。故、、中最大者的最小值是4。

⑵因为＞0，所以、、为全大于0或一正一负。

①若、、均大于0，则由⑴知，、、中的最大者不小于4，这与++=2矛盾。②若、、一正一负，设＞0，＜0，＜0，则，

由⑴知≥4，故≥6。当=4，==－1时，满足条件且使得不等式等号成立，故的最小值为6。

12.设方程的两个质数根为、，由一元二次方程根与系数的关系，有

    ①，           ②。

①+②得，，  ∴   ③。

由③知，、显然均不能为2，故必为奇数，

∴和均为整数，且。

若为奇数，则必(=1，2，3)，则为合数，矛盾。

同理，也为偶数。因此和均为整数，且。

不妨设≤，则或5。

当时，，得，均为质数。

当时，，得，为合数，不合题意。

综上可知，。

代入①得  ④。

依题意，方程④有唯一的实数解，∴△。解得。