为什么重上“平均数”

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对很多人而言，超越别人容易，超越自己难。而在我，情况似乎略有不同。事实上，在很多情形下，要想判断是否能够或者已经超越别人，很难有一个既定的标准。既无标准，又何谈对别人的超越?倒是自我超越，似乎显得稍容易一些。毕竟，每一天的学习、思索、实践，必然会使今天的你超越昨天的你，进而又被明天的你再次超越。人总是在这样一次又一次的自我超越中实现进步的。而于我，这样的体验尤为鲜明与深刻。   

    如果说从2003年的“走进圆的世界”到2007年的“圆的认识”，向数学本身回归的这一次自觉转身，是我从教以来教学实践层面的第一次自觉跨越的话，那么，从2000年第一次执教“平均数”，事隔八年后再度磨砺同题课，多少也算是实践之路上的“梅开二度”吧。成败与否先搁下不论，怎么着也得为自己再次拿自己开刀的勇气与精神喝彩。

    2000年，时值《数学课程标准(实验稿)》即将颁布，对于即将到来的新一轮数学课程改革，正是“山雨欲来风满楼”的关键时刻。清晰地记得，师傅张兴华老师不知从何处为我们觅得《数学课程标准(征求意见稿)》。急急读来，其中的种种观念、建议、变革，对于正在数学教学改革路途中左冲右突的我们而言，无疑是一次莫大的精神洗礼与引领。印象尤其深刻的是，《数学课程标准(征求意见稿)》中对于统计与概率部分的全新阐释，让我们大开眼界，更是萌生出一种“试一试”的实践冲动。

于是，趁着一次教研活动的契机，在认真通读《数学课程标准(征求意见稿)》中关于“平均数”这一内容的相关课程目标与实施建议后，“平均数”一课以其别具一格的课题(注：以往，这一课通常都叫“平均数”是作为应用题的一类教学的)及其“作为一种统计量”这一全新的视角，在实践层面赢得了广泛的认同与好评。至今，我仍清晰地记得，为了使学生认识到“平均数”是一个统计量，我撇开了教材中具有应用题意味的相关题材，而是选择从学生的平均身高、平均体重、家庭的平均收入等内容人手，进而在如何恰当估计平均数、如何强化移多补少、如何根据求出的平均数预测未来数据等问题上做出了初步的尝试。

八年弹指一挥间。《数学课程标准(实验稿)》正式颁布后，对于“平均数”这一内容的理论认识也随之渐人人心，相关的教学实践更是层出不穷。而真正促使我重备这一课的契机，现在想来，恐怕还得追溯到前年的那次南通教研活动。

在那次活动中，北京市第二实验小学的施银燕老师执教了“众数和中位数”一课，而其呈现的课题却是“数据的代表”，课题一出示，当即引起台下一片热议。现在想来，当时热议的话题与内容或许早已烟消云散，但正是那一次的深入思考与交流，使我越来越清晰地认识到，平均数也好，众数与中位数也罢，其实都是一组数据的代表。不同的是，同样作为数据的代表，平均数受所有数据的制约，更能反映一组数据的全貌，因而也就更加显得敏感、易变。而众数与中位数则相对不易受极端数据的干扰，因而也就体现出其比较稳定、不受极端数据干扰等特点来。带着这样的认识，再重新翻看多年前的平均数教案，总觉得作为一种“反映一组数据集中趋势的统计量”，其统计的意味并不明显。或者说，从教学的设计线索上看，似乎已经关注到其统计的内涵，但在真正的实践层面上，其作为一种统计量，尤其是作为数据代表的意义并没有得到真正的开掘。从而，“形似”而“神异”的意味，便不可避免地成为那一堂“平均数”的鲜明烙印。重备这一课便显得日渐迫切起来。

之后也听过几节“平均数”的研究课，较为典型的思路是：通过组织两组人数不等的比赛，在学生初步体会到“比总数”不公平的前提下，自然过渡到“通过求出平均每人的数量，再作比较”的思路上来。“平均数”由此自然生成。作为一种较为成熟的版本，此种教学思路的优点无疑是十分明显的。尤其是，从“比总数不公平”到“比人均数公平”的自然转折，将平均数的来龙去脉刻画得极为生动、细腻。但一直困扰我的问题是，当学生面对“比总数不公平”的情境，纷纷给出“先求出平均每人投中的个数再比较”的建议时，我始终不太明白：为什么求出“平均每人投中的个数”再比较就公平了?(笔者曾就此问题询问过不少教师与学生，均未获得十分清晰的回答)此为其一。再者，就算学生真正理解了个中的意义，那么，“平均每人投中的个数”是否就可以直接与“每人投中个数的平均数”画上等号?细微的文字表述差异的背后，又表征着学生怎样的微妙的思维差异?

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事实上，“求出平均每人投中的个数”，对于一个三年级学生而言，其心理活动的表征往往是“先求总和，再除以人数”。而这一心理运算对学生而言，其直观背景十分模糊。至于其最终运算后得出的结果又是如何成为这组数据的代表的，其意义的“联结点”对学生而言更是很难直接建立。由此可见，仅仅从“比较的维度”揭示平均数的意义，看似顺畅的教学现象背后，实则还潜藏着学生难以跨越、教师也很难察觉的认知障碍与思维断点。

于是，备课的思维焦点再次落到“数据的代表”上来。能不能从“数据的代表”的角度，重新为平均数寻找一条诞生的新途径?于是，便也有了这一版本的新尝试。

    真正尝试备课时，其实还遇到不少新的障碍。比如，最初选择的情境是：三(1)班仅小林一人参加年级组投篮比赛，1分钟投中5个。如果你是裁判，在他们班的计分牌上，该用哪个数表示他们班的整体水平?三(2)班小刚、小强二人参加比赛，1分钟分别投中3个、5个。他们班的计分牌上，又该用哪个数代表他们班的整体水平?结果，“数据的代表”的表面意义呈现了出来，但“公平与不公平”“求出平均每人投中几个再比”的观点再度浮出。“新瓶”实质上只是换上了“老酒”而已，无本质差别。此为其一。其二，又一更现实的问题摆在面前：作为数据的代表，平均数既可以代表“不同对象呈现的一组数据”(比如，小林、小刚、小强平均每人1分钟投中的个数)，以反映这一组对象的整体水平，也可代表“同一对象某几次呈现的数据”(比如，小明三次量得某木棒的长度各若干厘米，该木棒长度究竟几何)，以反映这一个对象在参差变换的随机数据背后所潜伏着的一般水平。究竟哪种情形更有利于学生顺利建立“平均数”的意义?思辨的最终结果让我把天平倾向后者。毕竟，前者在某种情形下，完全可以用总数去表征他们的整体水平，而对于后者，求总数似乎就显得有些“不合情理”，而找出这组数据的代表值，进而用代表值去刻画这组数据的一般水平，似乎更合情合理些。

    于是，在例题教学中，我有意设计了“小强三次均投中5个”的特殊数据组，以此促进学生自然建立起“用5代表他的一般水平最合适”的心理倾向，进而为随后的学习活动中学生主动避开“求总数”的窠臼，而直接通过“移多补少”或“先求和再均分”的思维活动，努力寻找几个数据的代表值，为平均数意义的建立奠定坚实的基础。“平均数”作为“数据的代表”的真实含义，在这一过程中得到了自然而然的呈现。

当然，仅仅从正面角度凸显平均数作为“数据的代表”的意义，显然还不够充分、丰富、饱满。于是，在随后的深化板块中，我借助学生的观察、比较、交流，从平均数的“敏感与易变性”(任何数据的变化都会带来平均数的相应变化)、平均数的“齐次性”(每一数据的相同变化，如都加2，会带来平均数的同样变化，也加2)以及平均数的“均差之和为0”的特性(即一组数据中各个数据与平均数的差之和为0)，帮助学生从各个不同侧面进一步丰富了对平均数这一“反映一组数据集中趋势的统计量”的意义的构建，深化了学生对平均数内涵的理解与把握。

也有遗憾。尤其是，随着备课及思考的不断深入，我越来越强烈地感受到，自身数学素养的肤浅对“平均数”课堂的深度开掘构成了致命的制约。“教什么比怎么教更重要”的命题再一次得到验证。期待能够得到专家与同行的批评指正。