例说数学思想方法

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数学习题浩瀚无边，问题又可变式发散，这样习题就林林总总，题量就千千万万，但是蕴涵在问题中的数学思想方法总是永恒不变的，它是数学的精髓，是解决问题的有效手段，是制胜的法宝，以下就本学期有关的数学思想方法做一个简单的阐述．


　　一、化归思想

“化归”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题，将复杂的问题转化成简单的问题，也就是将 “未知”的问题“已知化”，“复杂”的问题“简单化”．化归思想是解决问题的常见思想方法．

　　【例1】△ABC为等边三角形，三边的长均已在图中标出，求的值．


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　分析：因为△ABC为等边三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，稍加组合可得2x-8=x+6，可以求出x的值，然后回代又可求出y的值．


　　解：因为△ABC为等边三角形，故AB=BC=CA，所以2x-8=x+6＝3y+2，
　　　又因为2x-8=x+6，解得，x＝14，将x＝14代入x+6＝3y+2，
　　　解得，y＝6，将x＝14 y＝6代入下式：
　　＝．


　　点评：本题利用“化归”的思想，将三角形的三边的长转化成一元一次方程，此处应注意的是方程的组合，不同的组合可能得到的是二元一次方程组，从而加大了计算量和解答难度．


　　二、分类讨论思想


　有时将问题看成一个整体时，则无从下手，若分而治之，各个击破，则能柳暗花明，分类讨论正是这一种思想，也是一种重要是数学思想方法，为了解决问题，将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题，然后逐一解决，从而最终解决整个问题的目的．


　　【例2】（五城市联赛题）若ab>0，求的值．


　　分析：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，于是将问题分成两种情况进行讨论，不难得到结果．


　　解：因为ab>0，则a>0，b>0或a<0，b<0，
　　①
当a>0，b>0时，，，
　　＝＝1+1-1＝1．
　　②
当a<0，b<0时，，，
　　＝＝－1－1－1＝－3．
　　故当ab>0， ＝1或－3．


　　点评：在分类讨论时，应注意不遗漏地将问题所涉级的各种情况作出讨论，最后应总结各种讨论的结果．


　　三、整体思想


　与分解，分步处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑．在整体思想中，往往能够找到问题的捷径．


　　【例3】已知，求的值．


　　分析：若将问题中的x看成一个未知数，将其求出，然后代入后式中求值，显然计算复杂繁琐，计算量偏大，但将看成一个整体，通过通分得到，继而看作整体，求其倒数得到，对比联想，容易找到解决问题的思路．


　　解：因为 ，
则
　　　　所以
，则，
　　　　所以 ，
　　　　将 代入＝＝2000．


　　点评：本题若不运用整体的思想方法解题，则计算复杂繁琐，而整体思想的运用，化难为易，整体思想是一种技巧，也是一种重要的思想方法．


　　四、数形结合思想


　数形结合思想，是一种重要的思想，有时力图用图形来直观体现数量的关系，将抽象复杂的数（量），利用图形的直观表达，然后利用图形的性质（特征），分析解决问题，有时力图用数（量）来体现图形的关系，将图形的性质（特征），利用数（量）的关系来加以解决的思想方法，也是一种重要的思想方法．


　　【例4】（北京市“迎春杯”数学竞赛题）已知：a>0，b<0，且a+b<0，那么有理数a，b，-a，的大小关系是
（用“<”连接）．

　　解析：因为b<0，＝－b，因为a>0，b<0且a+b<0，根据有理数加法法则，可得，<，以形辅数，在数轴上表示它们的位置关系，又根据相反数的定义，可以得到a，b，－a，－b的位置关系．

　　故b<－a<a<－b，即b<－a<a<．
　　【例5】如图，AC=AB,BD=AB, 且AE=CD,则CE为AB长的（
）
(A)

(B)
(C)
(D)

　　分析：若将线段的长度具体数量化，则容易得到各线段的长度关系．


　　解：设AB=12a，AC=
AB=4a，BD=
AB=3a,
　　　　所以CD=AB-AC-BD=12a-4a-3a=5a，
　　　　又因为AE=CD，AC+CE=5a，即4a+CE=5a，所以CE=a，
　　　　则，
　　　　故选C


　　点评：正如我国著名的数学家华罗庚所言——“数形结合百般好，隔离分家万事非”，将图形的数量关系，辅之以数，则更加具体直观，从而快速得到问题的答案．