相反数和绝对值

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相反数和绝对值是数学的重要基础概念之一,有着广泛的应用．不少学生在学习时觉得不好理解，应用时经常出问题，下面就和同学们一起学习相反数和绝对值.
　　【相反数和绝对值知识点归纳总结】


　　1、

相反数的概念关键要理解“只有符号不同”的含义，规定零的相反数是零；


　　2、
互为相反数指的是一对数，甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反数，乙也是甲的相反数；


　　3、相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。


　　4、多重符号化简的依据就是相反数的意义，化简的结果是由“-”号的个数来决定的，简称：奇负偶正。


　　5、什么是一个数的绝对值呢？从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。注意，这里的距离，是以单位长度为度量单位的，是一个非负的量。


　　6、一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。


　　7、两个负数，绝对值大的反而小。

　　【用相反数和绝对值解题】

　　一、用相反数和绝对值的概念

　　例1.(重庆市2005年中考题)
5的相反数是(
)
　　　A. -5
B. 5
C.

D.

　　解析:根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数,易知本题选A

　　例2.(绵阳市2005年)绝对值为4的实数是

　　　A. ±4
B. 4
C. －4
D. 2

　　解析:求绝对值等于4的数用绝对值几何定义比较直观，绝对值等于4的整数即在数轴上到原点距离等于4的整数点表示的数,故本题选A

　　二、用相反数和绝对值的性质特征

　　例3.(佛山市2005年中考题) －2的绝对值是（
）。
　　A．2
B．－2
C．±2
D．

　　解析:由绝对值的特征：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 所以-2的绝对值是2

　　例4.(济南市2005年中考题)若a与2 互为相反数, 则|a+2|等于(
)

　　A. 0
B. -2
C.2
D. 4

　　解析:由相反数的特征若a、b两数互为相反数，则a＋b＝0，反之也成立.可知a+2=0, 再由绝对值的特征可得本题选A

　　三．用相反数和绝对值解决实际问题

　　例5. 质检员抽查某种零件的长度，超过规定长度的记为正数，不足规定长度的记为负数.检查结果如下：第一个为0.13毫米，第二个为－0.2毫米，第三个为－0.1毫米，第四个为0.15毫米，则长度最小的零件是第几个？哪一个零件与规定长度的误差最小？

　　解析:
∵|－0.2|＞|0.15|＞|0.13|＞|－0.1|

　　∴长度最小的零件是第二个，与规定长度的误差最小的是第三个.

　　四．用相反数和绝对值中的数学思想

相反数和绝对值的应用十分广泛．因此我们在学习时，不仅应该深入理解概念，掌握特征，灵活运用，还应注意在应用过程中学会思想方法．

　　1．整体代换

　　例6. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围．

　　解析:根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2．

　　2．数形结合

　　例7.(全国初中数学竞赛试题)设x是实数，y＝|x-1|+|x+1|．下列四个结论：

　　Ⅰy没有最小值；　　Ⅱ 只有一个x使y取到最小值；

　　Ⅲ 有有限多个x(不只一个)使y取到最小值；

　　Ⅳ 有无穷多个x使y取到最小值．　　其中正确的是 [
]．

　　A．Ⅰ
B．Ⅱ
C．Ⅲ
D．Ⅳ

　　解析:我们知道，|x|的几何意义是表示数轴上点x到原点的距离．类似地可知，|x-a|的几何意义是表示数轴上点x到点a的距离．一些有关绝对值的竞赛题，利用上述绝对值的几何意义，借助数形结合，常常会得到妙解. 原问题可转化为求x取那些值时，数轴上点x到点1与点-1的距离之和为最小．

　　从数轴上可知，区间[-1，1]上的任一点x到点1与点-1的距离之和均为2；区间[-1，1] 之外的点x 到点1与点-1的距离之和均大于2．所以函数y＝|x-1|+|x+1|当-1≤x≤1时，取得最小值2．　　故选(D)．

　　3．分类

　　例8.（2003年哈尔滨市中考题）已知|x|＝3，|y|＝2，且xy＜0，则x＋y的值等于（　）

　　A．5或－5
B．1或－1
C．5或1
D．－5或－1

　　解析:|x|＝3，|y|＝2，所以x＝±3，y＝±2，又因为xy＜0，x、y异号.

　所以有两种情况：（1）当x＝3，y＝－2时，x＋y＝1.

　　　　　　　　　
（2）当x＝－3，y＝2时x＋y＝－1.

　　　故选B.

　　练习：

　　1．（玉林市2005年中考题）若-m=4，则m=__________．

　　2. 正式排球比赛，对所使用的排球的重量是有严格规定的。检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下表：

+15

-10

+30

-20

-40

　　指出哪个排球的质量好一些（即重量最接近规定重量）？你怎样用学过的绝对值知识来说明这个问题？

　　3. 如图是一个正方体纸盒的侧面展开图，请在其余三个正方形内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数.则①②③表示的数分别为（　）

　　A．－1，－0.5，3　　　　B．－0.5，－1，3　　　　C．－0.5，3，－1　　　　D．3，－0.5，－1

　　　　　　

　　4．(2004年重庆市初中数学竞赛)已知：a、b、c都不等于0，且的最大值为m，最小值为n，则(m+n) 2004＝_________.

　　5. (第二届“创新杯”数学邀请赛)若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示, 则|c|-|b-a|+|b+c|等于(


).

　　　　　


(A)-a
(B)-a+2b
(C)-a-2c
(D)a-2b

　　6．(江苏省第十七届初中数学竞赛题)下列说法中，正确的是（
）．

（A）|-a|是正数
（B）|-a|不是负数
（C）-|a|是负数
（D）不是正数

　　7．(2004年全国初中数学联赛试题深圳赛区题)已知、都是有理数，且，则是（
c
）

　　A．负数；
B.正数；
C.负数或零；
D.非负数.


　　练习题答案

　　1.-4

　　2.
第二只排球质量好一些，利用这些数据的绝对值的大小来判断排球的质量，绝对值越小说明越接近规定重量，因此质量也就好一些。

　　3.D　　　　4.0 　　　　5.
c 　　　　　　6.
B　　　　　7.c