浅谈数学问题中的特值法

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　所谓特值法，就是在某一范围内取一个特殊值，将繁杂的问题简单化，这对于解有关不需整个解题思维过程的客观题十分生效。其关键在于如何寻求特殊值。下面介绍几种常用寻求特殊值法解题的方法：
一、在所给的范围内寻求特殊值；

例1：如果0＜x＜1,则式子的化简结果是（
）

A、
B、
C、
D、﹣

方法（一）：直接化简

解: ∵0＜x＜1
∴＜

∴原式＝

=






=



=


   ＝＝﹣


方法（二）：特值法

解：∵0＜x＜1，可取＝

∴原式＝
××＝， ∵﹣＝﹣＝×＝


∴选D。

例2：若a＜﹣1,则3－的最后结果是（
）



A、3-a
B、3+a
C、-3-a
D、a-3

方法（一）：直接法

解：∵解：∵a＜﹣1，＜﹣1，∴a-3＜0

∴原式=3-=3-（-）=3+a

方法（二）： 特值法

解：∵a＜﹣1，可以取a=-4，代入计算：


原式=-1，又3+a=-1，
∴选B。


例3、如果，则的值是（
）


A、0
B、-1
C、1
D、不能确定

　　方法（一）：直接法


解：∵abc＝1


∴原式＝++



=++

=

                    ＝1
故选C

　　方法（二）：特值法


解：∵abc=1,可取a=1,b=1,c=1,代入得：


原式＝+
+＝1
故选C

　　二、在隐含的范围内寻求特殊值；

例：如果x、y、z是不全相等的实数，且，，则以下结论正确的是（
）

A、a、b、c都不小于0
B、a、b、c都不大于0

C、a、b、c至少一个小于0

D、a、b、c至少一个大于0

分析：此题若直接解比较繁杂，可采用特值法，较为简便，由x、y、z是不全相等的实数，可分为两种情况：

①x、y、z都不相等；

②x、y、z中有两个相等；

当x、y、z都不相等时，可取x=1,y=0,z=-1,则a=1，b=1，c=1，可排除B和C；

当x、y、z中有两个相等时，可以取x=0,y=z=1,则a=-1,b=1,c=1，可排除A；

综合以上情况，所以选D。

　　三、在选择的结论范围内寻求特殊值；

例1、如果方程有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（
）

A、q≤0
B、q＜
C、0≤q＜

D、q≥


　　方法（一）：直接法

解：∵


∴y≥0,则y≥q
∴q≥0或q＜0


∴


∵△=1-4q＞0
即q＜


当q＜0时，方程无根，∴0≤q＜

　　方法（二）：特值法


在A、B范围内取q＝-6，代入方程化简为，此时方程有一负根，可排除A、B。


在D 的范围内可取q=1，代入得，方程无解，排除D。故选C。

例2、如果方程的三根可作为一个三角形的三边长，则m的取值范围是（
）

A、m≥


B、

＜m≤1

C、
≤m≤1
D、m≤


分析:此题直接解比较困难，则可采用特值法。

解：在A、C、D范围内取m=
,代入方程得：

,解得，，，

∴
∴不符合三角形两边之和大于第三边。

故选C。

综上，通过对比，可见特值法在解决数学问题时，具有举足轻重的作用，有时比一般方法更方便、更快捷，我们在应用时一定要细心审题，灵活运用此法。