一元二次方程根的判别式的综合应用

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一、知识要点：
1.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。


定理1  ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根.

　　定理2  ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.

　　定理3  ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.

　　2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。

　　定理4  ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0.

　　定理5  ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0.

　　定理6  ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0.

　　注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.

　　二.根的判别式有以下应用：

①
不解一元二次方程，判断根的情况。

例1．
不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1)
2x2+3x-4=0　(2)ax2+bx=0(a≠0)



　　　解：(1) 2x2+3x-4=0

　　　　　　a=2, b=3, c=-4,

　　　　　∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0

　　∴方程有两个不相等的实数根。

　　　(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，

　　　　∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2,

　　　　　∵无论b取任何关数，b2均为非负数，

　　　　　∴Δ≥0，　　故方程有两个实数根。

　②
根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

　　例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；

分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0；

　　解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k

　　（1）∵方程有两个不相等的实数根，

　　　∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9

　　　（2）∵方程有两个不相等的实数根，

　　　　　∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9

　　（3）∵方程有两个不相等的实数根，

　　∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9

③
证明字母系数方程有实数根或无实数根。

　　例3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

　　分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。

　　证明：　　Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)

　　　=4m2-4(m4+5m2+4)

　　　=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)

　　　=-4(m2+2)2

　　∵不论m取任何实数(m2+2)2>0,

　　∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ<0.

　　∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。

　　小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：

　　（1）计算Δ（2）用配方法将Δ恒等变形（3）判断Δ的符号（4）结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。

④
应用根的判别式判断三角形的形状。

　　例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。

　　证明：整理原方程：

　　方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2ax =0.

　　整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2
ax =0

　　(c+b)x2-2
ax +cm-bm=0

　　根据题意：

　　∵方程有两个相等的实数根，

　　∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0

　　　4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0

　　　ma2-c2m+b2m=0

　　∴Δ=m(a2+b2-c2)=0

　　又∵ m>0,　　∴a2+b2-c2=0　　∴a2+b2=c2　　又∵a,b,c为ΔABC的三边，　　∴ΔABC为RtΔ。

⑤
判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式

例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（ ）;

　　（2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）;


分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ=0

解：（1）令16a2+ka+1=0

　　　　∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ=k2-4×16×25=0

∴k=+40或者-40

（2）令ka2+4a+15=0

　　　　∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0
∴k=4

⑥
可以判断抛物线与直线有无公共点

例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？

解:列方程组消去y并整理得x2+x-m-1=0


，∵抛物线与直线只有一个交点，

∴Δ＝0，即　4m+5=0
∴



(  说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。)

⑦
可以判断抛物线与x轴有几个交点

分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点  （１）当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：  
  ①
当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。   
②当
时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（）。   
③当 时，抛物线与x轴没有交点。

　　例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：

  　　（１）　　　（２） 　　　（３）

　　  解：（１）Δ＝16-12=4>0
∴抛物线与x轴有两个交点。

     　　　 （２）Δ＝36-36=0
∴抛物线与x轴只有一个公共点。

    　　　  （３）Δ＝4-16=-12<0
∴抛物线与x轴无公共点。

　　例8、已知抛物线

　　  （１）当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点？

　　  （２）当m取什么值时，抛物线和x轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标。

　　 （３）当m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点？

　　解：令y=0，则　　　Δ＝4-4(m-1)= -4m+8

　　
(1)∵抛物线与x轴有两个公共点，　∴Δ>0，即 – 4m+8>0
∴m<2

　　   (2)∵抛物线和x轴只有一个公共点，　∴Δ＝0，即 –4m+8=0
∴m=2

       　　 当m=2时，方程可化为，解得x1=x2= -1，∴抛物线与x轴公共点坐标为（-1,0）。

　　    (3)∵抛物线与x轴没有公共点，　∴Δ<0，即　－4m+8<0，　∴m>2


∴当m>2时，抛物线与x轴没有公共点。

⑧
利用根的判别式解有关抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题.

　　分析:抛物线 （Δ>0）与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 的两根差的绝对值。它有以下表示方法：

　　 例9: 求当a为何值时?二次函数
图象与x轴的两个交点间的距离是3。

　　 解：令y=0，得方程，设这个一元二次方程的两根分别为x1和x2，则　由　得，即。进而得　　∴a=或a=。
∴当时，图象与x轴两个交点间的距离是3。