研究中考命题动向，加强二次函数教学

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　摘要：本文通过对近两年课改实验区中考试题的分析，探讨了二次函数这一部分内容在中考命题中呈现出的三个方面的新动向。　　关键词：二次函数、变换、数学模型
　
新课标对于函数内容的教学主要关注：将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；及早渗透函数的思想；借助多种现实背景理解函数；通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；关注函数与相关知识的联系；推迟函数的形式化表达方式等。这些新变化在近几年课改实验区的中考试题得到了充分的体现。通过分析2005、2006年课改实验区的中考试题，发现对二次函数知识的考查呈现出如下几方面的新动向：
　　一、将二次函数与几何变换相结合。
例一、（浙江湖州2006年中考题）已知二次函数y=x2－bx+1（－1≤b≤1），当b从－1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（
）
　A、先往左上方移动，再往左下方移动；
　B、先往左下方移动，再往左上方移动；
　C、先往右上方移动，再往右下方移动；

　D、先往右下方移动，再往右上方移动。

分析：二次函数y=x2－bx+1可化为，可知抛物线的顶点坐标为()，当b从－1逐渐变化到1的过程中，顶点横坐标的值逐渐增大，表示抛物线往右方移动；而当b从－1逐渐变化到1的过程中，顶点纵坐标的值先逐渐增大后逐渐减小，表示抛物线先往上方移动再往下方移动，故选答案D。

例二、（旅顺口区2006年中考题）已知抛物线y=x?-4x+1。将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线。

（1）求平移后的抛物线解析式；

（2）若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m的取值范围；

（3）若将已知的抛物线解析式改为y=ax?+bx+c(a＞0，b＜0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移 -个单位长度，试探索问题（2）．

解：(1)y=x2-4x+1 配方，得y=(x-2)2-3，向左平移4个单位，得平移后得抛物线的解析式为y=x2+4x+1
(2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(－2，－3)
解，得　
∴两抛物线的交点为（0，1）

由图象知，若直线y＝m与两条抛物线有且只有四个交点时，m＞－3且m≠1

（3）由y=ax2+bx+c配方得，

  

向左平移-个单位长度得到抛物线的解析式为
∴两抛物线的顶点坐标分别为，
解　得　∴两抛物线的交点为（0，c）
由图象知满足（2）中条件的m的取值范围是：m＞且m≠c
评析：图形与变换是《初中数学新课程标准》中新增加的内容，把它与二次函数相结合,既考查了学生几何建模以及探究活动的能力，又考查了学生对几何与代数之间的联系、多角度、多层次综合运用数学知识、数学思想方法分析和解决问题的能力，是今后命题的重点。
　　二、在初高中知识衔接处命题
1、
求分段函数解析式。
例三、 ( 连云港2005年中考题) 据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图2所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．

　　（1）当t=4时，求s的值；
　　（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
　　（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

略解： （1）S=24(km);
　　（2）当0≤t≤10时, ；
　　　　　当10＜t≤20时,s=30t-150；
　　　　　当20＜t≤35时,s= -(t-35)2+675.
　　（3）沙尘暴发生后30h将侵袭到N城。
评析：分段函数是高中数学的一块重要内容，本题以动直线l运动的不同位置来确定面积S关于时间t的函数关系式，学生在充分理解了S的涵义后，求出函数关系式并不困难。像这类运动变化问题是中考命题的热点。
2、
求闭区间上二次函数的最值。
例四、（扬州2006年中考题）我市某企业生产的一批产品上市后40天内全部售完，该企业对这一批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查．表一、表二分别是国内、国外市场的日销售量y1、y2（万件）与时间t（t为整数,单位：天）的部分对应值．
　　表一：国内市场的日销售情况

时间t（天）	0	1	2	10	20	30	38	39	40
日销售量y1（万件）	0	5.85	11.4	45	60	45	11.4	5.85	0

　　表二：国外市场的日销售情况

时间t（天）	0	1	2	3	25	29	30	31	32	33	39	40
日销售量y2（万件）	0	2	4	6	50	58	60	54	48	42	6	0

　　（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律，写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
　　（2）分别探求该产品在国外市场上市30天前与30天后（含30天）的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
　　（3）设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式．试用所得函数关系式判断上市后第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值．

解：（1）通过描点,画图或分析表一中数据可知y1是t的二次函数。设y1=a（t-20）2+60，把t1=0，y1=0.代入得a=，故y1=t2+6t(0≤t≤40且t为整数)。经验证，表一中的所有数据都符合此解析式。
      （2）通过描点,画图或分析表二中数据可知当0≤t≤30时y2是t的正比例函数；当30≤t≤40时y2是t的一次函数。可求得　　　，经验证，表二中的所有数据都符合此解析式。
     （3）由y=y1+y2得，经比较可知第7天时y有最大值为106.65万件。
评析：二次函数问题是近几年高考的热点，倍受命题者的青睐，二次函数在闭区间上的最值问题是高考的重要题型之一。解决这类问题的策略是：画出函数在给定范围内的图象，找出图象的最高（低）点和坐标得出结果。另外，本题也体现了二次函数解析式考查方式的新变化：让学生从函数对应值表分析猜想出函数类别，进而用待定系数法确定函数关系式。
3、
加强三个“二次”之间联系的考查。

例五、（湖北省十堰2006年课改实验区中考题）市“健益”超市购进一批20元／千克的绿色食品，如果以30元／千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）（x≥30）存在如图3所示的一次函数关系．

　　（1）试求出y与x的函数关系式；
　　（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润p元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
　　（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出）．
解：（1）设y=kx+b，由图象可知，　

解得 ∴y=-20x+1000  (30≤x≤50)．
（2）p=(x-20)y=(x-20)(-20x+1000)= -20x2+1400x-20000．
∵a=-20<0，∴p有最大值．当时，p最大值=4500．
即当销售单价为35元／千克时，每天可获得最大利润4500元．
（3）31≤x≤34或36≤x≤39．
例六、（海淀区2006年中考题）已知抛物线y1=x2-2x+c的部分图象如图4所示。
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y1=x2-2x+c的解析式；
（3）若反比例函数的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图5所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y1与y2的大小。

解：（1）根据图象可知c<0 且抛物线y1=x2-2x+c与x轴有两个交点,故一元二次方程x2-2x+c=0有两个不等的实数根，∴△=(-2)2-4c=4-4c>0，且c<0∴c<1

（2）因为抛物线经过点（0，-1）
代入y1=x2-2x+c  得c= -1故所求抛物线的解析式为y1=x2-2x-1

（3）因为反比例函数的图象经过抛物线y1=x2-2x-1上的点（1，a）

把x=1,y=a代入y1=x2-2x-1，得a= -2   把x=1,a= -2代入，得 所以

画出的图象如图6所示。

观察图象，y1与y2除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为(-1,2)和(2,-1)
　　　把x=-1,y2=2和x=2,y2=-1分别代入y1=x2-2x-1和可知，(-1,2)和(2,-1)是y1与y2的两个交点。

根据图象可知：
当x<-1或0<x<1或x>2时，y1>y2；当x=-1或x=1或x=2时，y2=y1；
当-1<x<0或1<x<2时，y2>y1。
评析：例五第3问的求解借助了二次函数的图象，通过解一元二次方程求出利润为4480元与4180元时销售单价x的值，应用函数性质分析得出结果。它较好地考查了学生数形结合的数学思想方法。
　　三、
建立数学模型,解决应用问题。
1、
最值模型
例七、（2006年福建初中学业考试大纲）在某次数字变换游戏中，我们把整数0，1，2，…，100称为“旧数”，游戏的变换规则是：将旧数先平方，再除以100，所得到的数称为“新数”。

（1）请把旧数80和26按照上述规则变换为新数；

（2）经过上述规则变换后，我们发现许多旧数变小了。有人断言：“按照上述变换规则，所有的‘新数’都不等于它的‘旧数’”，你认为这种说法对吗？若不对，请求出所有不符合这一说法的旧数；

（3）请求出按照上述规划变换后减小了最多的旧数（要写出解答过程）。
解：（1）80的新数为802÷100=64，26的新数为262÷100=6.76
（2）这一说法不对。设旧数为x，则相应的新数为，列方程x =，
解得x =0或x =100，所以不符合这一说法的旧数是0和100
（3）设旧数为x，旧数与新数之差为y，则
         

当x = 50时，y的值最大，因此，减小了最多的旧数是50。
2、
应用函数增减性解决实际问题。
例八、（淮安2006年中考题）东方专卖店专销某种品牌的计算器，进价l2元／只，售价20元／只．为了促销,专卖店决定凡是买10只以上的，每多买一只，售价就降低0.10元(例如．某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20-10)=1元,就可以按19元／只的价格购买)，但是最低价为16元／只．
（1）求顾客一次至少买多少只，才能以最低价购买?
（2）写出当一次购买x只时(x>10)，利润y(元)与购买量x(只)之间的函数关系式；
（3）有一天，一位顾客买了46只，另一位顾客买了50只，专实店发现卖了50只反而比卖46只赚的钱少，为了使每次卖的多赚钱也多,在其他促销条件不变的情况下,最低价16元／只至少要提高到多少?为什么?

解：(1)50只
        (2)当l0<x≤50时，；
当x>50时，y=(20-16)x=4x

        (3)利润y=0.1x2+9x=-0.1(x-45)2+202.5，

因为卖的越多赚的越多，即y随x的增大而增大，

由二次函数图象可知，x≤45，最低售价为20-0.1(45-10)=16.5元

数学建模是培养学生实际应用能力的重要途径，是数学教育改革发展的方向。在新课标高中教材中还将学习数学模型、建模方法以及用数学建模来解决实际问题的步骤。这就要求教师在平时教学中要引导学生逐步养成用数学的眼光看待周围事物和现象的习惯，激励学生将所学数学知识和方法应用于现实生活，体会数学应用的价值，进而形成数学建模意识，促进数学素质提高。