形 数

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公元前四世纪，古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上，有了很大的发展，他们用石子、沙子记数和计算。在这一时期，对“形数”的研究达到了一个高峰。
在众多的学派中，毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，该项研究强烈地反映了他们将数作为几何思维元素的精神，有效地印证了“凡物皆数”的观点。
那什么是形数呢？即有形状的数。毕达哥拉斯学派研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生了一系列的形数。
1、三角形数
毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10、…等数时，小石子都能摆成正三角形，他把这些数叫做“三角形数”。如图一1、2所示：

不难看出，前四个三角形数都是一些连续自然数的和，记每一个三角形数为  （i=1、2、3、…、n）则：
=1
=1+2=3
=1+2+3=6
=1+2+3+4=10
……………
=1+2+3+…+100=5050
……………
就这样，毕达哥拉斯借助生动的直观的几何图形，很快就发现了自然数的一个规律：从1开始的连续自然数的和都是三角形数。如果用字母n表示最后一个加数，那么1+2+3+…+n的和即是一个三角形数，而且正好是第n个三角形数。

∴=1+2+3+…+n=    (n∈)
[例1]：如图二，前3个图形的点的个数分别是多少？第n个图形的点的个数是多少？

解：①问，前三个图形的点的个数分别是3、6、10。
②问，因为3、6、10、15…等数恰好构成三角形数，记第n个图的点为，则=1+2+3+…+(n+1)=(n+1)=
[例2]：古希腊数学家把数1、3、6、10、15、21…，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形的差为

解：=1+2+…+24          =1+2+…+22
∴—=23+24=47     故应填：47
2、正方形数

毕达哥拉斯还发现，当小石子的数目是1、4、9、16、…等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”。如图三1、2所示：

分别记各图所示的小石子个数为 (i=1、2、…、n)不难发现：a1=1=12
=1+3=4=
=1+3+5=9=
=1+3+5+7=16=
……………
=1+3+5+…+(2n-1)=n=
毕达哥拉斯，通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续的奇数之和是完全平方数。毕达哥拉斯，还给出了一个定理：两个相邻三角形数之和是正方形数，
即     （n+1）+(n+2)=
[例1]：如图四：计算1+3+5+7+9+11+13+15的值

解：观察图知道1、1+3、
1+3+5构成正方形数
……
1=     1+3=    1+3+5=     
∴=1=     
=1+3=
=1+3+5=
……………
=1+3+5+…+(2n-1)=
∴=1+3+5+…+15==64
3、长方形数
当小石子的数目是偶数2、6、12、20等数时，小石子都能摆成长方形，毕达哥拉斯把这些数叫做长方形数（或矩形数）。如图五

分别把每一个长方形数记作： (i=1、2、3、…、n)
=2
=2+4=6
=2+4+6=12
=2+4+6+8=20
……………
=2+4+6+8+…+2n = =n(n+1)
即，由序列：N=2+4+6+8+…+2n=n(n+1)   (n∈)给出的数叫长方形数。每个长方形数都等于某三角形数的2倍。
4、五边形数

当小石子的数目是1、5、12、22、…等数时，小石子都能摆成正五边形，毕达哥拉斯把这些数叫做“五边形数”如图六所示：

分别把每一个五边形数记作： (i=1、2、…、n)

=1         
=1+4=5
=1+4+7=12
=1+4+7+10=22
……………
=1+4+7+…+(3n-2)=n=
5、六边形数
当石子数目为1、6、15、28等数时，小石子都能摆成六边形，毕达哥拉斯把这些数叫做“六边形数”如图七所示：

分别把每个六边形记作 (i=1、2、3、…、n)
=1
=1+5=6
=1+5+9=15
=1+5+9+13=28
……………
=1+5+9+13+…+(4n-3)=n=2-n
根据这些规律，人们就可以写出很多很多的形数，毕达哥拉斯学派的学者还通过这一过程，将这种数形结合的思想推广到三维空间去构造多面体数。
[练习] 1、Ⅰ如图八所示，前三图中各有多少个三角形？
Ⅱ你能否找出其中的规律，用式子表示第n个图中有多少个三角形？

[答案]：前三图中各有3、6、10个三角形。
       ∵3、6、10等数恰好构成三角形数，把每一个图形的三角形数记为(i=1、2、3、…、n)，则
=1+2=3
=1+2+3=6
=1+2+3+4=10
……………
=1+2+3+…+（n+1）=

[练习] 2、把正方体摆成如图九所示的形状，从上向下数第一层1，个第二层3个，…，按这个规律摆放，第五层的正方体个数是：（
）

A、10    B、12   C、15    D、20
[答案]：经观察：
第一层：=1，

第二层：=3，

第三层：=6 ，

第四层：=10                                 

由此可知，1、3、6、10属三角形数，

则第五层：=1+2+3+4+5=15

故选C

[练习]3、如图十所示，若以点O为端点的射线有n条，则共组成多少个角？

[答案]：当有1条射线时：有角3=1+2个

当有2条射线时：有角6=1+2+3个

当有3条射线时：有角10=1+2+3+4个

当有4条射线时：有角15=1+2+3+4+5个

∵3、6、10、15…恰好构成三角形数。

∴当有n条射线时：有角1+2+3+…+（n+1）=（n+1）=个

[练习]4、某班共有学生m人，在春节期间，每个同学都与其他同学通电话一次来互致新春的祝福，求该班m个同学共通话多少次？

[答案]：2人通话       1次

       3人通话       3=1+2次

4人通话       6=1+2+3次

5人通话      10=1+2+3+4次

∵1、3、6、10、…恰好构成三角形数。

∴当有m个学生时：通话1+2+3+…+（m-1）==次

[练习]5、n条直线两两相交最多有多少个交点？

[答案]：如图十一所示：

∵1、3、6、10、…恰好构成三角形数。

∴n条直线两两相交最多交点N=1+2+3+…+（n-1）=个。[练习]6、已知∥、∥、∥、……、∥,那么图十二中共有多少对平行线?

[答案]：由题意可知，∥∥∥…∥∥

当有2条平行线时，有平行线的对数为=1

当有3条平行线时，有平行线的对数为=1+2

当有4条平行线时，有平行线的对数为=1+2+3

…………………………………………………………

当有n条平行线时，有平行线的对数为=1+2+3+…+（n-1）=

[练习]7、试求n边形的对角线的条数？

[答案]：四边形对角线条数记=2

五边形对角线条数记=2+3=5

六边形对角线条数记=2+3+4=9

七边形对角线条数记=2+3+4+5=14

2、5、9、14、…等数加1可得三角形数，所以n边形对角线条数记=2+3+4+…+（n-2）= =   （n≥3）

[练习]8、用牙签按图十三方式搭图。

问第n个图形有多少根牙签？

[答案]：每一个图牙签根数记为（i=1、2、3、…、n）则：

=3=3×1

=9=3×3=3×（1+2）

=18=3×6=3×（1+2+3）

……………

=3×（1+2+3+…+n）=3=