构造斜边上的中线与高解决斜边的最小值问题

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中考中经常考察直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，从形状上来说，直角三角形斜边上的高把直角三角形分得两个小直角三角形，而斜边上的中线则把它分为两个小等腰三角形；从长度上来说，直角三角形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除以斜边求得；而斜边上的中线等于斜边的一半。


本文从构造的角度，说明当直角三角形斜边上的高与中线相结合时，如何解决斜边的最小值问题。


案例一：（2006贵阳市）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。


（1）点P在运动时，线段AB的长度在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；


（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。

【分析】：本题问题（1）中,要求解线段AB的最小值，而A、B点都随切线的改变而改变，不好直接求其最值，而在Rt⊿OAB中，线段AB为斜边，取AB的中点C，连结OC，这样就利用斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=AB，求出OC的最小值而就可以解决斜边AB的最小值，又因为⊙O与边相切，连结O与切点P，所以半径OP⊥AB, 由图可以知，Rt⊿OAB中，斜边上的中线OC    斜边上的高OP, 当OC＝OP时，OC最短，即AB最短，此时AB＝4。


案例二：（常州市2007年）如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是（
）


A．    B．     C．       D．

【分析】：本题中，由，，，可知∠ACB=90°，要求解线段PQ的最小值，而P、Q点都随动圆在改变，不好直接求其最值，而在Rt⊿PQC中，线段PQ为斜边，取PQ的中点O（O点也是动圆的圆心），连结OC,这样就利用斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=QP，又因为⊙O与边相切，连结O与切点E，所以半径OE⊥AB,OE=OC=QP，即OE+OC=QP，求出OE+OC的最小值而就可以解决斜边PQ的最小值，OE+OC的最小值就是在Rt⊿ABC中C点到AB的距离,也就是Rt⊿ABC斜边上的高CF。即PQ长度的最小值等于6×8÷10=4.8。



从上面两个案例我们发现，当求直角三角形斜边的最小值问题时，我们通常是构造出斜边上的中线，然后把求斜边的最值问题转化成求斜边上中线的最小值问题，而往往斜边上中线的最小值又与斜边上的高有关，最后由确定斜边上高来求出斜边的最值问题。