“3的倍数的特征“教学实践与评析

天涯

    3的倍数的特征迥然区别于2、5倍数的特征，即使同样是运用不完全归纳的方法，3的倍数的特征的发现过程亦与2、5倍数的特征的发现过程有着显著的差异。那么，在学习“2、5的倍数的特征”之后继续学习“3的倍数的特征”，如何处理前面的学习经验与后继学习的关系?如何结合学习的内容，合理设计探究的台阶?如何使“3的倍数的特征”的发现过程成为一个经典的运用“不完全归纳法”的过程?这些既构成了教学的难点，同时也是教学中可以挖掘的资源，处理好这些问题，将会使学生经历更为有效的探究活动，从而积累更为宝贵的数学活动经验，积淀基本的数学思想，进而彰显这一内容的教学价值。基于以上思考，笔者执教了苏教版数学教材四年级下册“3的倍数的特征”一课，现将课堂实录整理如下，求教于同行。

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一、课前谈话

    师：面对大家注视的目光，我想出一句话，那就是“人都有两只眼睛”。(生笑)

    师：难道不对吗?

    生：对。

    师：如果把这句话倒过来说呢?

    生：有两只眼睛的都是人。(生笑)

    师：又笑了，倒过来说的这句话对吗?为什么?

    生1：猫也有两只眼睛，但猫不是人。

    生2：有些不是人的动物也有两只眼睛，所以不能说“有两只眼睛的都是人”。   

    师：很有说服力，举出反例就推翻了这个说法。

    师：我们在生活中可以发现一类事物具有一定的特征，但是具有这样特征的却并不一定是这类事物，也许别的事物也具有这样的特征。其实数学知识也是一样，很多话倒过来说就要出问题。

师：例如我们可以说正方形是四条边都相等的四边形，但是我们能说四条边相等的四边形一定是正方形吗?

生：不能。

师：是啊，这样的例子可以举出很多。不管在生活中还是数学学习中，我们都应该这样严密地思考问题。

[评析：貌似随意的谈话，实为精心的设计。从3的倍数具有怎样的特征到具有何种特征的数是3的倍数，这是一个互逆命题的关系。一个命题成立，但它的逆命题却未必成立。如果没有与学生经验紧密联系的实例的支撑，学生要理清这之间的逻辑关系是具有一定难度的。这段谈话，为本节课学生数学地思考做了有效的铺垫。)  

    二、复习导入

师：前面我们研究过2和5的倍数，谁来介绍一下它们各有什么特征?还记得我们是怎么研究2和5的倍数的吗?

生：我们先找出一些2和5的倍数，通过观察这些数发现了一些规律，然后举了一些例子验证，这样就得到了2和5的倍数的特征。

    师：是啊，通过“找数、观察、猜想、举证、归纳”的过程，我们得到了2和5的倍数的特征。(板书：找数、观察、猜想、举证、归纳。)

    师：今天我们要来研究3的倍数的特征。(揭题)你能猜一下3的倍数有什么特征吗?

    生1：3的倍数的个位上可能都是奇数。

    生2：3的倍数的个位上可能是3、6、9。

    师：大家的这些猜想是否正确呢，你准备如何来研究?

生：我们还是应该先找一些3的倍数，通过观察、猜想、举证、归纳的过程进行研究。

[评析：我们不应该使每一次探究活动成为一次孤立的探究活动，更不应该使探究活动完全受到教师的主宰，学生已有的进行探究活动的经验完全可以在教师的引导下实现自主迁移。在这里，教师激活学生学习2、5倍数的经验，让学生在自主设计探究3的倍数特征的方案过程中，逐步领悟探究数学问题的一般方法。]

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三、展开探究
1．在筛选数据、观察激疑中揭示新的探索思路
师：好，我们一起来把百数表中3的倍数都找出来吧。
(师生一起将百数表中3的倍数圈起来，见下图。)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

师：通过观察你有什么想法?

生1：3的倍数的个位上不一定是奇数，例如42、36。

生2：3的倍数的个位上也不一定是3、6、9，例如12、45。

师：通过观察，同学们刚才的猜想全都被否定了。那就再看看，有没有别的特征呢?

(学生观察后，表示找不到特征。)
师：这样的观察很难直接发现3的倍数的特征，看来我们要寻找新的研究思路。课前每个同学都准备了一个计数器，如果我们用计数器拨出一些3的倍数，再进行观察研究，又将会
有什么发现呢?
[评析：从建立猜想到自我否定猜想，是一个真实而自然的过程。在经历了这一过程之后，学生对陷入探究困境的体验无疑将会更为深刻。此时，教师基于学生的强烈心理需求提出新的研究思路，恰当体现了教师在探究过程中的引导作用。]

2．操作观察，初步发现

师：请每个同学在刚才找出的3的倍数中任意选一个，用计数器把它拨出来，并记录下拨这个数用了几颗数珠。

(学生按教师的要求进行操作。)

师：说一说，你拨了哪个数，用了几颗数珠?

生1：我拨的是15，用了6颗数珠。

生2：我拨的是36，用了9颗数珠。

生3：我拨的是99，用了18颗数珠。

师：观察这几个同学拨3的倍数所用数珠的颗数，你能发现什么?

生：所用数珠的颗数都是3的倍数。

师：这会不会是巧合呢?是不是其他的3的倍数也是这样呢?观察你所拨出的3的倍数，再看看小组内其他同学所拨的数，是不是也是这样?

(学生观察、交流。)

师：你们研究的3的倍数，所用数珠的颗数全都是3的倍数吗?

生：是的。

师：很好，这个发现很重要。看来我们的研究已经有了一点进展了。我们发现在计数器上拨3的倍数，所用数珠的颗数
都是3的倍数。

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[评析：计数器是学生所熟悉的学习数、研究数的工具，借助计数器来研究3的倍数的特征，一方面，研究对象的直观化降低了学生观察发现特征的难度，使得所学新知更贴近学生的“最近发展区”；另一方面，对计数器的熟练运用，也使得学生的思维更加聚焦于对数的特征的研究。此外，在上述教学过程中，虽然每个同学只操作了一次，但是通过学生之间的合作交流，在教师的引导下，学生经历了一个典型的通过不完全  归纳的方法得出规律的过程。学生在这一过程中的体验，无论是方法层面，还是思想层面均将对后继的学习产生深刻的影响。]

    3．逆向思考，完善认知

    师：那么，有了刚才的发现，我们能不能就说“一个数，在计数器上拨出它，所用数珠的颗数是3的倍数，它就是3的倍数”?想一想，这么说会不会有问题?

    生：数珠的颗数是3的倍数，拨出来的数也有可能不是3的倍数。

    师：为什么呢?

    生：因为不是3的倍数的数，所用数珠的颗数究竟是不是3的倍数，我们还没有研究过。

    师：那么你们认为下面我们该怎么办?

    生：我们应该再找一些不是3的倍数的数来研究。

    师：怎么研究呢?

    生：任意找一些不是3的倍数的数，把它们在计数器上拨出来，看看所用的数珠究竟是不是3的倍数。可以先每个人自己任意拨一个不是3的倍数的数，然后全班同学一起观察交流。

    师：好，我们就按这样的方法来研究一下百数表中那些不是3的倍数的数。

    (学生按上述方法操作、交流。)

    师：我们的研究又有了新的进展。到现在为止，我们研究了100以内的3的倍数，发现所用数珠的颗数都是3的倍数；也研究了100以内不是3的倍数的数，发现所用数珠的颗数都不是3的倍数。也就是说，100以内的数，如果在计数器上拨它，所用数珠的颗数是3的倍数，这个数就是3的倍数。   

    [评析：上述的研究结论是判断一个数是否是3的倍数的重要依据，联系课前谈话，使学生自然地想到初次探究得到的结论倒过来说未必成立，还需要作进一步的研究；并进而受课前谈话的启发，结合前面的探究体验，设想了通过研究否命题来判断逆命题是否成立的思路。这条思路无疑是可行的，“一类事物具有某种特性，非此类事物则不具有这种特性，那么具有这种特性的必然就是这类事物”——这也是生活中常见的一种判断思路。接下来，直接针对百数表中未圈出的那些不是3的倍数的数，继续按照前面的思路进行研究，也极具操作性。但是，学生也有可能提出直接通过用3的倍数颗数珠去拨一些数，然后再判断拨出的数是否是3的倍数，这一思路首先要确定用多少颗数珠，拔数时要再确认是否使用了这么多数珠，然后再通过做除法辨别拔出的数是不是3的倍数。虽然也可行，但在操作上与前面直接把百数表中未圈出的非3的倍数作为研究对象相比，相对比较繁琐。因而，如果有学生提出后一种思路，可以引导学生将这两种思路的操作过程做一比较，然后   再让他们对研究方法做出选择。]

4．拓展研究，深化认知

    师：有了前面的研究，你是否认为我们研究出的结论对所有的数都适用呢?

生：我们只是任意找了一些100以内的数来研究，很多更大的数是什么情况，我们还不知道。

师：你说得很有道理。但是，比100大的数还有很多很多，接下来你觉得我们该怎么办?

    生：任意找一些比较大的3的倍数、以及不是3的倍数的数再进行研究。

    师：那就请每个同学先想好一个更大的数，注意，要任意想一个。

师：你想的这个数是不是3的倍数呢?你现在知道吗?

生：不知道。

    师：怎么才能知道呢?

    生：只要把它除以3就可以了。

    师：同学们可以用计算器算一下，先确定一下你想的数是不是3的倍数。

    (学生用计算器进行验证。)

    师：请每一小组的同学将自己所拨的数放到一起观察。3的倍数的放在一边，不是3的倍数的放在另一边。

    师：通过研究，现在你有什么想法?

生：在较大的数里，3的倍数所用数珠的颗数也是3的倍数；不是3的倍数的数，所用数珠的颗数也不是3的倍数。

师：通过研究，现在我们可以说……

生：3的倍数，所用数珠的颗数就是3的倍数；反过来，拨一个数，所用数珠的颗数是3的倍数，这个数就是3的倍数。   

[评析：通过不完全归纳得到某一结论的可靠性，取决于所研究的对象的代表性，研究的对象覆盖面越广，代表性越强，结论的可靠性就越高。通过“更大的数”和“任意找”两方面，使学生深切体验了不完全归纳法的这一要义，同时也培养了学生缜密思考问题的意识和习惯。]

    5.初步应用，归纳特征

    师：现在如果给你一个数，不做除法，你怎样很快地判断它是不是3的倍数?

生：看在计数器上拨这个数要用几颗数珠。如果数珠的颗数是3的倍数，那么它就是3的倍数，否则它就不是3的倍数。

师：好，我们就来试一下吧。75。

    生：我用计数器拨了，75要用12颗数珠，12是3的倍数，所以75是3的倍数。

    师：203。   

    生：203不是3的倍数，因为要用5颗数珠，而5不是3的倍数。

    师：老师发现有的同学没有拨计数器，也判断对了。再来一个吧，看谁判断得最快！ 111。

    生：111是3的倍数，因为要用3颗数珠，3就是3的倍数。

    师：刚才同学们都没有拨计数器，不拨计数器也能判断吗?你是怎样想的?

    生：只要把每个数位上的数加起来就是所用数珠的颗数，所以不拨出来照样可以判断。

师：同学们想到的办法真好，连计数器都可以不用了。既然这样，下面我们就用这样的方法继续来判断一些数。

(师生继续做了几次判断3的倍数的练习。)   

师：现在让你再来说说3的倍数具有怎样的特征，你会怎么说呢?

    生1：一个数每个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

    生2：3的倍数，各个数位上数的和是3的倍数。

    [评析：在应用中引导学生自己发现更好的判断3的倍数的方法，从而帮助学生把先前发现的“数珠颗数”的特征转变为数本身的特征，使得“各个数位上数的和”这种稍复杂的表述方式，由学生在操作中自然归纳得出。]

    四、基础练习，巩固新知

学生完成课本第72页，想想做做1、2、3。

五、游戏应用，拓展深化

师：每个同学手里都有0到9十张数字卡片，你能任意选3张卡片，摆出一个3的倍数吗?

师：用你选的3张卡片还能摆出不同的3的倍数吗?一共能摆出几个?

    师：你能在你摆的数的基础上再加上一些卡片，使摆出的数还是3的倍数吗?想一想，如果加一张怎样加?两张呢?三张呢?……

师：你最多能用到几张卡片摆出一个3的倍数?

师：当十张卡片全都用上时，我们就摆出一个比较大的3的倍数。你能去掉一些卡片，让这个数依然是3的倍数吗?

    生1：3、6、9可以去掉。

    生2：0也可以去掉。

生3：7和8可以一起去掉，因为加起来是15。   

……

师：刚才的练习有没有给你什么启发?现在让你判断一个数位较多的数是不是3的倍数，你会怎样做?

    生1：可以先将各位上是3的倍数的数去掉后再判断。

    生2：如果数位上某两个数相加的和是3的倍数，也可以先将这些数去掉后再判断。

    师：用你们的方法判断下面这些数是不是3的倍数：369639693，13693692，121212127，182754。

    [评析：让学生在操作中应用，在有趣的数学问题情境中使学生兴趣盎然地完成了对所学知识的拓展。]

    六、全课总结，提炼方法

    师：通过这堂课的学习，你有什么收获?我们是怎样研究3的倍数的特征的?

    七、实践探究，引向深入

    师：你能用我们今天所学的研究方法去研究一下其他数的倍数的特征吗?   

    生：能!

    师：好，老师就给同学们留一个课后探究的作业。

    探究作业：研究问题：9的倍数有什么特征?

    研究方法：找数一观察一猜想一举证一归纳。

    研究工具：百数表、计数器、计算器。

    把研究成果与同学或老师分享。

    [评析：在课堂探究之后，把学生引向独立的探究活动。用掌握的研究方法去解决新的问题，给学生提出了新的挑战，把学生推向完全自主的研究过程，真正凸显了学生的主体地位。]