提升教师数学素养有策略有渠道

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　中小学教育改革发展中的大量现实表明，教师的学科专业素养欠缺，已经成为制约中小学教师提升教育教学质量、实现专业成长的最大障碍之一。作为广大小学数学教师中的一员，如何在相对紧张的教学与管理工作之余，及时提升自己的数学学科专业素养，就成为加速小学数学教师专业成长的关键和难点所在。

　基本策略——根据数学知识的不同类别分层处理

　影响小学数学教师准确把握数学内涵的课程内容，大致分为三大类别。

　一类是在以往接受的教育中没学过而小学数学课程新增的内容。如统计与概率，小学数学教师在日常教学中经常出现“小概率事件不可能发生”等错误认识，就是由于知识缺陷所致。

　二是教师以往学习过而小学数学课程新增的内容。比如负数、方程、平移、旋转等。此类问题主要表现为，多数教师不能准确把握这些新增内容的数学本质内涵，不能准确把握这些内容在小学数学课程中的难易程度。

　三是小学数学课程内容中的传统内容，但目前的小学数学课程的要求发生较大变化。以自然数为例，自然数的含义有两种，即基数含义和序数含义。当用来表示事物的数量，即被数的物体有“多少个”时，这就是自然数的基数意义；当用来表示事物的次序，即最后被数的物体是“第几个”时，就是自然数的序数意义。

  提升小学数学教师数学素养的基本方法与渠道

　近年来，通过针对小学数学教学的大量专题研究和专项实践探索，我们发现，如下四种渠道方法，对于提高小学数学教师的数学专业素养效果显著。

　一是认真研读课程标准，厘清数学课程每个领域的核心目标及其相应的数学内涵，以及每个具体的数学内容的课程教学要求。同时，结合小学生实际，列举一定数量的事例，以便于更准确地把握这些数学内容的深广度及相应的数学学科价值和教育价值。这是提高教师学科素养的关键，更是必不可少的环节。

　就小学数学课程的整个体系而言，小学数学课程的核心目标在于，通过发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观和运算能力，通过培养数据分析观念、合情推理和演绎推理能力以及数学的思维方式，进而实现学生在数学上的全面发展。而相对于不同的课程领域，其侧重点有所差异。例如，数与代数领域的重点在于帮助学生建立数感、符号意识、运算、模型观念，而图形与几何领域的重点在于通过操作、观察等活动，建立几何直观，发展推理能力和几何活动经验，进而帮助学生建立空间观念、几何直观、推理能力。

　二是系统学习数学学科的基本思想、基本方法的论文、论著，把握数学的思维特征和数学抽象的核心特征，对于核心数学思想，如数学抽象、数学推理、数学建模，要真正理解并用小学数学的典型事例加以解读。

　为此，一方面，教学需要细心收集现代数学的基本思想在中小学教学中具体体现的范例。例如，对于现代数学中的统筹优化思想，可以借助恰当的现实事例加以理解和学习：3位顾客同时来到一个油条摊点购买刚出锅的热油条，顾客甲是“单身贵族”，买一个人吃的油条，全程需要2分钟；顾客乙是“二人世界”，买两个人吃的油条，全程需要4分钟；顾客丙是“三口之家”，买3人吃的油条，全程需要6分钟。3位谁先买、谁后买，才能让大家等的时间总和最少？

　这个事例体现了现代数学的分支领域“排队论”的核心结论——买得多的后买，买得少的先买，大家等的时间总和最少。如果仅仅将其理解为一次加法运算、一次游戏活动，计算一下、比较一下，就此结束，其数学含义很有可能被埋没。当然，对于小学生来说，只需要了解“任何事情经过精心安排、统筹考虑，常常能找到最优方案”就可以了。

　另一方面，如果需要开展相对系统的学习，就需要借助一定的书籍。系统地学习数学思想，对于切实提高我们的数学素养具有显著效果。

　三是要进行数学知识补偿教育，查缺补漏。对此，不仅需要重视以往尚未系统学习过的数学内容，更不宜忽略曾经系统学过、而当前变化较大的小学数学内容。

　大学阶段或教师教育阶段尚未系统学习过的内容。需要进行相对系统的专门补习，而后学习有关数学课程专家撰写的相关数学内涵的解读材料。对此，宜将重点放在针对统计概率、现代数学概览的系统学习上。实践显示，有针对性地邀请相关的数学专业人士，开展以校为本的“概率”、“统计”系列专题报告，是十分有效的方法。

　中学数学的下放内容。一方面，要认真研读这部分内容的数学本质内涵；另一方面，要切实理清对这部分内容的数学课程目标、教学要求，不宜过高要求。以负数为例。从数学科学的意义上说，负数的含义至少包括两个方面，一是+a与-a表示一对相反意义的量；二是引入负数——一种新的数，也就实现了数系的又一次扩张，这样就可以满足数学上的需要，如“2－3”可以进行运算，方程“x+1=0”有解，等等。引入了负数，也就实现了这个数系关于加减运算的自封闭，即两个有理数进行加、减运算，其结果仍是有理数。容易证明，全体分数组成的分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在这个数系内也畅通无阻，负数的出现也就是必然的了。

　小学数学课程内容中的传统内容。需要开展更加深入的研究，尤其要从数学科学的视角重新审视这些课程内容。以分数为例，在数学科学中，分数主要有两个作用：一个是作为在运算中产生的一种数，它表示两个整数的商，能和其他的数一样参与运算；另一个是以比例的形式出现的数。而后者也是用来表示多少的，它代表一个事物的一部分，其本质在于它的无量纲性。分数无量纲性的意义在于，能够把事物的许多不可比的状态变成可比的状态。这一点对于数学活动，特别是数学建模来说也是有意义的。比如，一个小国的老百姓的生活质量和富有程度，与一个大国的老百姓的生活质量和富有程度，在很多情况下并不是可比的。但是，一旦转换成人均GDP，得到GDP指数，或者得到恩格尔系数（即家庭用以购买食物的支出与这个家庭的总收入之比），就可以进行相互间的比较了。

　特别要指出的是，有针对性地开展小学数学教师的知识补偿教育，不仅仅是补偿以往尚未清楚的数学内容，更是为了养成“从数学科学的视角审视小学数学课程内容”的思维习惯，切实避免出现数学科学错误。例如，在小学五年级的考卷上出现过这样的判断题：偶数的个数比自然数的个数少。从某种意义上说，它似乎是一道“好”的题目——考查了有限集内的部分与整体之间的关系。但是，无论如何，它都不适合小学五年级学生回答。解决这个问题，毕竟要用到无穷集的知识。两个无穷集合的元素比多少，一般需要根据一一对应来比较。据此，建立y=2x的对应关系，使得每一个偶数y总有一个自然数x与它对应，所以，在自然数集内，偶数的个数与自然数的个数是一样多的。之所以出现这样的问题，其根本在于，命题人的数学素养不足，对于“实变函数论”中的若干内容掌握不好所致。

　四是针对中小学数学课程内容中的核心概念、核心思想、核心方法，开展专题研究。这样的专题研究，一方面可以系统发掘这些核心词所涉及的数学内涵、本质特征；另一方面可以结合小学数学、中学数学的大量案例，详细地分析中小学数学课程内容中的这些核心词所体现的课程目标及其教科书呈现的特点。不仅如此，近年来，在国内著名数学家、数学教育家的倡导下，逐渐出版了一系列围绕小学数学教师的数学学科功底的系统研究的著作。

　总之，立足小学数学教师的日常工作实际，通过相对系统的在职学习，完全可以有效提高小学数学教师的数学学科素养。这些系统的在职学习，既要立足小学数学的课程内容实际，更要从数学学科视角，审视、研读小学数学课程内容。只有这样，才能“下连”小学数学实际，“上通”数学科学，使自己成为名副其实的数学教师。（作者为国家基础教育实验中心副主任，东北师范大学教授，义务教育数学课程标准研制组核心成员）