代数学习困难的心理学分析及解决措施

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代数学习困难的心理学分析及解决措施
数量关系的符号表示是代数的灵魂，它能使复杂的数量关系变化规律得到简明表示，而且符号和表达式还能够在探索解决问题的途径中提供线索。代数学习中，学生通过式、方程、函数、不等式、数列等学习内容，接触到语言的、数字的、符号的和图像的等各种数学表示，在学习这些表示的过程中，体会和理解用符号语言、构造方程或函数的手段来表述各种关系、描述各种变化的方法。
一、代数学习困难的心理学分析
代数学习是在算术学习基础上进行的。从心理学角度看，代数学习要以学生抽象逻辑思维的发展为基础。学生在小学阶段已经接触过某些代数思想，例如用“设未知量为x”建立方程的方法解数学应用题，当然，对“未知量x”含义的了解是非常肤浅的。进入初中后，学生要学习比较系统的代数内容，学习中会产生许多困难。
1．学生思维发展水平方面的原因。
字母代数是由常量数学到变量数学转变的开端。通过有关数、式、方程、函数等内容的学习，学生不但要掌握各种概念、运算法则，而且要学习各种代数变形的思想方法。通过代数学习，使学生的归纳、演绎、抽象、概括等思维形式都获得发展。从运算的角度说，代数运算（特别是式的运算和函数运算）主要是一种形式化的符号变换，其抽象程度较高，不像小学数的运算那样，有现实背景作为思维的强有力依托。因此，代数学习在促进学生逻辑思维发展的同时，又要以形式逻辑思维能力的发展作为基础。
心理学家曾经从（1）数学概念形成水平的发展；（2）数学命题演算水平的发展和（3）数学推理能力水平的发展等三个方面研究了中学生形式逻辑思维水平的发展情况，研究表明：
在概念形成水平的发展上，要经历了解与认识概念、理解与掌握概念和灵活运用概念等阶段。当前，学生（特别是初中学生）对概念的认识较多停留在感性的、初步的水平上，而对概念的发生发展过程、概念的内涵与外延，特别是对概念间的内在联系的认识水平普遍较低。
在数学命题演算水平的发展上，要经历能对带有全程量词的简单命题进行演算但不能理解命题演算过程中逻辑连接词含义、能进行简单命题的合并和否定演算、能进行符合命题的否定演算等三级水平。通过循序渐进的命题形式的演算，学生的命题演算水平获得了发展，而且呈现年龄特征。初二学生大都集中在第一级水平上，初三学生虽然在同一级水平层次上有所发展，但仍以第一级水平上的人数为多。进入高中后，第一级水平的发展似乎停止，后两级有一个飞速发展。这与学生的思维水平趋向成熟有关，也与高中数学课程中直接学习集合、简易逻辑等与命题演算直接相关的内容有关。所以，大多数初中学生的逻辑思维能力发展的水平较低。另外，学生掌握命题结构的能力普遍较低。
数学推理可以分为似真推理和逻辑推理两个方面。在解决问题的过程中，分析问题、选择解法往往以似真推理为主，而解题方法的具体实施则多与逻辑推理相关。逻辑推理的发展要经历四级水平：直接推理水平，即套用公式直接推出结论；间接推理水平，即需要进行条件转化、寻找依据、经过多个步骤得出结论；迂回推理水平，即需要深入分析条件及相互关系，提出假设，反复验证后才得出结论；综合性推理水平，即要按照一定的数理逻辑规则、格式进行推理，追求推理过程的简练、合理。研究表明，中学生逻辑推理水平普遍较低，初一学生有一半以上不能套公式做题，高中学生还有人不能按公式进行一步推理；多步推理成为普遍难题，综合性推理更是困难重重。
由上所述可知，学生形式逻辑思维发展水平不够是造成代数学习困难的主要原因之一。由于学生的思维发展有其自身的规律性，数学学习受到这种发展规律的制约，因此，在数学课程、教材和教学中，对学生提出恰当的要求是非常重要的。
以下三条更加直接针对了代数学习。
2．自然语言、数学语言的理解能力以及转换能力方面的原因。
数学知识使用专门的数学语言来表述，数学思维必须借助于数学语言才能进行。因此，数学语言既是数学思维的产物，又是数学思维的工具。数学学习的目的就是要学会一套具有一定系统性的数学语言符号体系，并能在遇到问题时采用恰当的数学符号对问题作出表示。这种学习是建立在自然语言能力基础上的。研究表明，数学语言及自然语言理解能力低、数学语言与自然语言的相互转换困难等都会导致代数学习的困难。
首先，自然语言常常是模糊的，有不确定性。将自然语言不加限定而直接应用到数学中来，就有可能造成错误。有人举过这样一个例子：“一粒麦子构不成一堆，对于任何一个数字n来说，如果n粒麦子构不成一堆的话，那么，n＋1粒麦子也构不成一堆。因此，任意多的麦粒都不能形成堆。”造成这个悖论的原因就是因为用了自然语言中“堆”这个模糊概念。因为n粒麦子与n＋1粒麦子是否构成“堆”的界限是模糊的。
为了克服这种模糊性，数学中常常对自然语言进行改造，加以限定、修饰，使其精确化，从而形成了数学语言简练、明白、准确、形式化的特点。例如，“a＋b＝b＋a”表示交换律， “y＝f（x）”表示一元函数，等等。这些内容如果用自然语言来叙述的话，不仅复杂，而且还不一定准确。
对数学语言表述的理解，学生之间有差异性。例如，有人以“2元纸币的数目是5角纸币数目的7倍，5角纸币的总值比2元纸币的中至多3.60元，列方程求解2元、5角纸币的数目”为题，要求学生列出方程，结果出现三种情况：
（1）设x为5角纸币的数目，方程为：5x＝20×7x＋36；
（2）设x为5角纸币的数目，方程为：20×7x＝5x＋36；
（3）题目错误，不能求解。
分析显示，得出（1）的学生是根据语言表述的结构直接列方程；得出（2）的学生考虑了语言表述的实际内容，从符合实际的角度列出方程；得出（3）的学生综合考虑了上述两种情况。
因此，心理学家认为，理解数学语言表述的句子，应从三方面进行：数学语言的句法结构、数学语言表达的实际内容（称为语义内容）、句法与语义的关系。从学生代数学习的表现看，他们在上述三个方面都存在困难。
3.数字运算不过关的原因。
小学学习的数字运算，即正有理数的加、减、乘、除等，是代数学习的必备基础。所谓“数字运算过关”主要有三方面含义，一是能够在一定算理的指导下，根据算法正确地完成运算任务；二是能够根据题目特点，选择恰当的算法，合理、迅速地进行运算；三是能够对运算结果进行评估。这里特别强调正确前提下的运算速度问题，因为它不仅反映了学生对运算原理、法则理解的程度差异，而且还反映了运算习惯、思维概括能力等方面的差异。数字运算速度、运算习惯主要应当在小学阶段培养。显然，数字运算中内涵的这些关于运算的正确性、合理性、敏捷性、灵活性等品质，对于中学代数学习是至关重要。调查表明，由于小学数学教学中培养措施不当，导致许多学生错过了养成良好运算习惯、形成必备运算技能的机会，致使后续的代数运算出现困难。