有关“除法的初步认识”和“有余数的除法”的教材比较研究

彭庙

人民教育出版社小学数学室 刘丽



    “除法的初步认识”和“有余数的除法”在小学低年级的计算教学中是非常重要的教学内容，也是难点教学内容。本文就这两部分内容的教材编排进行了比较研究，试图寻求一些规律性的经验或结论，为教师们理解教材、展开更有效的教学提供参考。  

一、我国教材中这两部分内容编排的发展

笔者阅读并分析了我国在1950年至2001年间出版的以下十套教材的相关内容。

结果发现，通过教材编者的反复探索与实践，这两部分教学内容在编排上最终形成了相对固定的模式，知识的呈现更符合学生的心理发展水平和认知规律。

彭庙

（一）除法初步认识的编排
在实际教学中，除法的初步认识往往从分实物引入，使学生理解“除”的实质就是“平均分”。接着让学生理解，在实际平均分实物时又有两种不同的分法：一种是按“份”分（以前所谓的“等分除”），一种是按“每份是多少”分（以前所谓的“包含除”）。以此来建立除法的意义。但形成今天这种认识，也经历了一个发展过程。
1. 由不突出“平均分”含义的教学到突出“平均分”含义的教学，更重视除法概念的建立。例如，第一套教材在分物时虽然暗含了“平均”的意思，却没有明确突出“平均分”（图1、2）；第二套教材中虽然明确了“平均”分（图3、4），但没有进行单独的教学；第七套教材才开始安排例题教学“平均分”的含义，以后这种编排方式相对固定下来。

   
图1

  
图2

  
图3                                           图4

2. 由只重视联系实际、不重视操作过程到既联系实际又借助操作帮助学生理解相关的概念，建立除法的模型。
虽然借助实际问题也有助于学生对于概念的理解，但由于除法是“平均分”过程的数学化表示，因此引导学生进行实际操作，充分体会平均分的过程及方法就显得尤为重要。但体验平均分的过程和方法的操作从第五套教材才开始有所体现，到第七套教材才逐步完善：不仅通过操作将不易直观的“等分”过程突出出来，同时也借助具体的操作将“包含”的含义充分地体现出来。
3. 对于“等分”“包含”两种分法的教学更注重二者的区别，而对于二者本质都是“平均分”的强调稍有欠缺。从开始同时安排两种分法开始，教学的着眼点始终放在两者分别都可以用除法来计算、区分其含义的不同上面，而对于从整体上整合两者的本质都是“平均分”，则略显不够。相比较而言，目前的课标实验教材在这一点上做得较好。
（二）有余数除法的编排
有余数除法的编排是依据除法初步认识的编排而变化的，具体体现如下。
1. 编排的形式较为一致，多套教材都安排了独立的小节或单元进行教学，并都以“包含”为基础进行教学，在练习或其他例题中兼顾“等分”的情况，从而暗含了解决商与余数的单位名称的教学。
2. 相应的知识点逐步丰富、完善。例如，第一套教材只包括有余数除法的横式与竖式的教学，说明除法中有时候不能刚好除尽，并未给出余数的概念，也未突出余数与除数的关系（如图5）；第二套教材开始出现余数的概念，但并未突出余数与除数的关系（如图6）；第五、六套教材开始比较全面地包含了余数及有余数除法的认识、如何试商及余数与除数关系的内容；第七套教材增加了突破“商和余数的单位名称”这一教学难点的应用题。

  
图5                                               图6

特别需要提出的是，十套教材在编排上都结合了生活中的实际问题，充分利用了学生的生活经验，同时配有相应的图片，利于学生对新知识的理解。但在内容的具体呈现形式上，后面的教材往往比前面的教材在过程上更加展开，更突出具体形象对学生思维过程的支持。这个“分水岭”的两侧分别是第四套教材（如图7）和第五套教材（如图8），第六、七套（图9、10）教材就更为突出。可见，我们的教材一直在实践中探索，力求更贴近儿童的生活，更适合儿童的心理发展特征，从而更有利于学生的学习。

图7                                                   图8

  
图9                                        图10

二、中国、日本、美国现行教材的比较
由于篇幅有限，本文仅就每个国家的一套教材进行比较。中国为人教版的《义务教育课程标准实验教科书·数学》，日本为教育出版株式会社的《小学算术》，美国为McGraw-Hill出版公司的《McGraw-Hill Mathematics》。
（一）人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》的编排
在多年积淀的基础上，以《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》为依据，人民教育出版社于2001年开始出版的《义务教育课程标准实验教科书·数学》，分别在二年级下册和三年级上册安排了“表内除法（一）”“有余数的除法”。
1. 知识点的变化。
“除法的初步认识”加强了除法概念的教学。不再从两种分法的角度教学除法，而是以“平均分”为基础对两种分法进行整合，让学生从整体上认识平均分，在此基础上建立除法的概念。因此，教材不再只通过一个例题让学生理解平均分的含义，而是专门设为一段，安排3个例题，让学生充分体会“平均分”的含义、经历“平均分”的过程，为除法的教学建立了良好的认知基础。
“有余数的除法”同样是建立在这一基础之上的，共包括4个例题、两部分教学内容（除法竖式和有余数除法），分为三个教学层次：（1）利用平均分的概念，借助分实物的过程学习表内除法竖式（例1），理解余数的含义及有余数除法（含竖式，例2），掌握余数比除数小的原理（例3）；（2）抽象地计算有余数除法式题（例3的“做一做”），教学重点是如何定商；（3）利用有余数除法解决实际问题（例4），引导学生结合商和余数在实际情境中的含义正确写出相应的单位名称。
2. 突出知识的形成过程。
“平均分”的教学，首先从生活情境出发，使学生认识到分物时有时需要把每份分得同样多，引入“平均分”；然后让学生实际操作，探索平均分的方法，并从中体验到：无论怎样分，只要分的结果是每份同样多，就是平均分；之后还让学生用“平均分”解决生活中的实际问题，体会知识的作用。
在有余数除法的第一个层次中，多处都体现了知识的形成过程。表内除法竖式和有余数除法的教学都是结合分实物的过程进行教学的，学生在“分”的过程中理解竖式中各部分的来源、掌握余数的含义，从整体上动态地认识“除”的结果——有时“平均分”正好分完，有时“平均分”后还有多余的，从而更深刻地理解余数和有余数除法；“余数与除数关系”为学生留出了探索的空间，学生在“分”的过程中会逐渐发现规律——分到不能再分时，剩下的数量总是比分得的每份数量少，即余数比除数小的原理，这就为第二个层次的抽象作了很好的铺垫，同时由具体到抽象的编排方式可以抓住学生思维发展的“关键期”，有效地促进学生抽象逻辑思维的发展。

彭庙

（二）日本《小学算术》的编排

2005年的《小学算术》在三年级上册第三单元和第八单元安排了除法计算、有余数除法。

1. 除法计算。

对除法含义的教学也是从两种分法开始的，并将分法与除法的认识结合起来进行编排，然后通过叙述能用某一除法算式计算的实际问题将两种分法统一起来，从整体上认识除法的意义。这样的安排与我国的第七套教材基本一致。

这套教材与我国教材有以下不同：（1）没有理解“平均分”含义的环节，这可能与语言习惯的不同有关，我国用“平均分”表示“每份分的结果同样多”的含义，而在日语中没有这样一个专用词，意思是直接叙述出来的；（2）每种分法教学之后，又分别安排了相应的例题教学用乘法口诀求商，也就是将除法含义与用口诀求商的内容融合在一起进行教学；（3）在初步认识除法之后，结合除法的意义，借助操作过程编排了“0和1的除法”（如0÷3，3÷3，6÷1）。

2. 有余数除法。

这部分内容包含以下三个层次：首先，通过操作理解分物时会出现有剩余的情况，以此来认识有余数除法的横式；其次，探索有余数除法的求商方法及余数与除数的关系，并给出“除尽”和“除不尽”的名词；最后，安排解决实际问题的内容（含验算方法及“进一法”）。

与我国教材不同，日本教材将“除法竖式”安排在四年级上册的笔算除法中，结合除数是一位数的除法进行编排，这与我国的第二套教材相似。

通过上述介绍可以看出，日本教材关于这部分内容的安排与我国教材是非常相似的，只是在编排时所结合的具体内容有所差异，如有余数除法的验算和进一法等，但这些不是本质的差异，这可能与两国在乘除法中都使用“九九表”有关。

（三）美国《McGraw-Hill Mathematics》的编排

　 2002年的《McGraw-Hill Mathematics》对于这部分内容的安排与中国和日本有较多的不同。

首先，教材在二年级下册安排了除法的认识、有余数除法。但这里的认识都是初步的，主要是借助操作理解平均分（两种方法）及有余数的情况，了解这一过程可以用除法来表示，并能通过连减和直观图等手段找出商。

其次，三年级上册进一步安排了除法，主要知识点包括：从分物的角度探索除法的意义并建立模型，知道除法可以解决两类问题（总数÷每组个数=组数，总数÷组数=每组个数）；从连续减法的角度理解除法及用连续减求商的方法（如12÷3，用连续减法，一直减到什么也不剩，然后计算减了几次。12-3=9，9-3=6，6-3=3，3-3=0。减了4次，所以12÷3=4）；用乘法帮助进行除法计算；除数是2、5、3、4的除法计算（运用求商的方法）；关于0和1的除法（如4÷4，0÷4）。

最后，三年级下册安排了除数是6、7，8、9，10的除法，主要进行求商方法（利用乘法、连减或数轴及其他间接的方法）的教学，并归纳出了乘法表（见附文）及使用方法，以方便学生的计算。除法竖式的教学则结合除数是一位数的除法安排在本册，其内容还包含了有余数除法竖式及试商、余数与除数的关系、检验方法等内容。

由上述内容中不难发现美国教材在编排上的特点。（1）教材中有很多小循环。例如，有余数除法从二年级下册就开始安排，但只是初步的认识，具体的竖式计算及试商等内容的教学则安排在三年级。这一特点虽然有它的好处（如能使学生逐步深入地学习、适应学生的认识过程等），但对于教师把握教材是有影响的（如把握不好教材的深度、不知重点讲什么等）。（2）可能由于美国不使用乘法口诀，在求商方法的编排上特别突出“找商”的过程及方法的多样性，而不像中国和日本教材那样简捷、有效。（3）在编排的重点上，中日教材的编排突出了平均分的基础，美国教材除了建立“平均分这样的问题可以用除法解决”的模式外，更突出了“作为连减的除法”，为求商打基础。

三、对我们的启示

前面的分析可以给我们提供如下几点启示。

（一）重视操作对学生理解的支持作用，并适时进行整合

对“平均分”含义、除法意义及有余数除法的理解都是以操作为基础的，操作使知识的理解更加直观，并展示了知识的形成过程，因此在教材编写或教学过程中，要充分利用操作让学生理解。同时，在操作过程中，要使教学的着眼点放在整合的基础上，例如，使学生理解不论采用两种分法中的哪一种方法，结果都是“平均分”，只是分的方法不同，从而使学生全面而深刻地理解“平均分”的含义。

（二）适时做好从具体到抽象的过渡

操作是帮助学生理解的，但学生的认识不能仅仅停留在操作上，应该适时地引导学生进行抽象。例如，美国教材注意使学生建立平均分——除法的数量关系模式。在除法竖式（含有余数除法）的教学中，要注意使学生在弄清算理的基础上，能够脱离具体操作初步接触除法试商的基本思考方法：什么数和除数相乘，既小于被除数，又最接近被除数，这个数则为商；同时余数又小于除数。

（三）注意联系实际，解决教学难点

例如，使学生理解如何确定有余数除法中商和余数的单位名称，就要结合实际问题的解决过程帮助学生理解所得商和余数的实际含义。