2012年11月18日五年级奥林匹克数学题《数论问题》难题练习及答案

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【数论问题】　　1．难度：★★
　　一个房间中有100盏灯，用自然数1，2，…，100编号，每盏灯各有一个开关。开始时，所有的灯都不亮。有100个人依次进入房间，第1个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离开。问：第100个人离开房间后，房间里哪些灯还亮着？




    2.难度：★★
　　，a，b均为自然数。a有种不同的取值。

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【答案解析】　　1.【解析】对于任何一盏灯，由于它原来不亮，那么，当它的开关被按奇数次时，灯是开着的；当它的开关被按偶数次时，灯是关着的；

　　根据题意可知，当第100个人离开房间后，一盏灯的开关被按的次数，恰等于这盏灯的编号的因数的个数；

　　要求哪些灯还亮着，就是问哪些灯的编号的因数有奇数个。显然完全平方数有奇数个因数。所以平方数编号的灯是亮着的。

　　而内的完全平方数有，所以当第100个人离开房间后，房间里还亮着的灯的编号是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100。



　 　2.【解析】由题意可知，ab=2011-9=2002。a是2002的因数而且a>9，求a有多少种取值，则求2002的所有因数中大于9的有多少个，2002=2×7×11×13，共有因数2×2×2×2=16个，其中1，2和7不能取，所以共有13种取法。