2012年11月7日小学六年级数学奥数题及答案《计数问题》名师讲解练习

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【计数问题】　　1．难度：★★★
　　兔妈妈摘了15个磨菇，分装在3个筐子里，如果不允许有空筐，共有多少种不同的装法？如果允许有空筐，共有多少种不同的装法？




　　2．难度：★★★★
　　在1～3998这3998个自然数中，有多少个4的倍数？有多少个数字和是4的倍数？

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【答案解析】

　　3、【答案】91、136

　　解析：15个蘑菇分装在3个筐子里，要求每筐至少有一个蘑菇，也就是说把这15个蘑菇分成3堆，我们可以采用"插板法"即在这15个蘑菇之间插入2块木板将它们隔开，而15个蘑菇之间共有14个间隔，所以只要在这14个间隔中选出2个放入板子即可。共有种放法。

　　当要求允许有空筐时，为了转化为上面的情形，我们可以先"借"3个蘑菇放入这3个筐子中，这样问题就转化为将18个蘑菇放入3个筐子中，要求每个筐子里至少有1个蘑菇的情形。所以共有种放法。

　　4、【答案】999

　　解析：为了方便，将0到3999这4000个整数都看成四位数abcd（不足四位数则在前面补零，如18=0018），由于b,c,d各有10种数字可任意选择，而且当b,c,d选定后，为满足a+b+c+d能被4整除，千位数字a必是唯一确定。（因为a的取值范围是0～3）

　　事实上，若b+c+d=4k时，则a=0；

　　若b+c+d=4k+1时，则a=3；

　　若b+c+d=4k+2时，则a=2；

　　若b+c+d=4k+3时，则a=1（k为整数）。

　　综上所述，在0到3999这4000个整数中有：10×10×10=1000个数的各位数字之和能被4整除。因此，从1到3998这3998个自然数中有1000-1=999（个）数的各位数字之和能被4整除。