小学生五年级奥数名师专题讲座辅导WORD免费下载

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2.        如果规定：③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……，⑨=8×9×10，求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。


解题思路
依题意可以看出：定义的新运算为连续三个数的乘积，而且，⑤里的数就是三个连续数中的中间的哪个数，即③是2，3，4三个连续的乘积，④是3，4，5三个连续睡的乘积，从而不难求出⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。
解：原式=8×9×10+7×8×9-6×7×8+5×6×7-4×5×6+3×4×5-2×3×4
=720+504+-339+210-120+60-24
=1014

三、能力提升




答案



（四）  行程问题

行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：
        这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)

　　三个关系：1. 简单行程： 路程 = 速度 × 时间

　　                        2. 相遇问题： 路程和 = 速度和 × 时间

　　                        3. 追击问题： 路程差 = 速度差 × 时间

　　牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。
①        追击及遇问题
一、例题与方法指导
例1.        有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？思路导航：
这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。
        第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）        第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷ （38-36）=114（分钟）
        第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程
        所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）
        我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。

        例2.        东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。乙车每小时行多少千米？
思路导航：
      
      从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。
解：（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时）
（2）甲车一共行多少千米路程？25×4.5=112.5（千米）
（3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）
（4）乙车每小时行多少千米？ (105-15)÷3=30（千米）
答：乙车每小时行30千米。

        例3.        兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？
思路导航：
  
从图中可以看出，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米，两人同时出发，相向而行，哥哥每分钟行200米，妹妹每分钟行80米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就容易了。
解：（1）从家到学校的距离的2倍：1400×2=2800（米）
（2）从出发到相遇所需的时间：2800÷（200+80）=10（分）
（3）相遇处到学校的距离：1400-80×10=600（米）
答：从出发到相遇，妹妹走了10分钟，相遇处离学校有600米。

二、巩固训练
        1.        两城市相距328千米，甲、乙两人骑自行车同时从两城出发，相向而行。甲每小时行28千米，乙每小时行22千米，乙在中途修车耽误1小时，然后继续行驶，与甲相遇，求出发到相遇经过多少时间？

分析:如果乙在中途不停车，那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和：328+22×1=350（千米），两车的速度和：28+22=50（千米/小时），然后根据相遇问题“路程和÷速度和=相遇时间”得 350÷50=7（小时）
  解：（328+22×1）÷（28+22）
  =350÷50

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=7（小时）
解法2：
（328-22×1）÷（28+22）
  =300÷50
=6（小时）
6+1=7（小时）

      答：从出发到相遇经过了7小时。

2.        快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？

分析:

从图中可知：快车3小时行的路程40×3=120千米，比全程的一半多12千米，全程的一半是120-12=108千米。而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千米，所以慢车3小时行的路程是108-12=96千米，由此可以求出慢车的速度。
    解：①甲乙两地路程的一半：40×3-12=108（千米）
         ②慢车3小时行的路程：108-12=96（千米）
③慢车的速度：96÷3=32（千米）
答：慢车每小时行32千米。

3.        小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少千米？


分析:
  
从图上可以看出，小华和小明两人第一次相遇时，行了一个全程，小华行了85千米。当小华和小明第二次相遇时，共行了3个全程，这时小华共行了3个85千米，如果再加上35千米，相当于小华行了2个全程，甲乙两地全长也就可以求出来了。
解：（1）甲乙出发到第二次相遇时，小华共行了多少千米？ 85×3=255（千米）
（2）甲乙两城相距多少千米？（ 255+35）÷2=290÷2=145（千米）
答：两城相距145千米。


三、拓展提升
1.        客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。求甲乙两站相距多少千米？

分析      

如图，从出发到第二次相遇时，客车和货车共行3个全程，在这段时间里客车一共比货车多行216千米，客车每小时比货车快54-48=6千米，这样可以求出行3个全程的时间为216÷6=36小时，由此可求出行一个全程时间：36÷3=12小时，因而可以求出甲乙两站的距离。
      解：①从出发到第二次是两车行驶的时间：216÷（54-48）=36（小时）
②从出发到第一次相遇所用的时间：36÷3=12（小时）
   ③甲乙两站的距离：（54+48）×12=1224（千米）
答：求甲乙两站相距1224千米。


2.        甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇。求丙车的速度。
     分析:
  
解答的关键是求出卡车的速度，从图上明显看出，甲车6小时的行程与乙车7小时的行程差正好是卡车的速度。再根据速度和、相遇时间和路程三者之间的关系，求出丙车速度。
     解：（1）卡车的速度：（ 60×6-48×7）÷（7-6）=24÷1=24（千米）
（2）AB两地之间的距离：（60+24）×6=504（千米）
（3）丙车与卡车的速度和：504÷8=64（千米）
（4）丙车的速度：64-24=40（千米/小时）
答：丙车的速度每小时40千米。
3.        两列火车从某站相背而行，甲车每小时行58千米，先开出2小时后，车以每小时62千米才开出，乙车开出5小时后，两列火车相距多少千米？


②        火车过桥
    过桥问题也是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。列车过桥的
总路程是桥长加车长，这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系：
    过桥问题的一般数量关系是：
因为：                过桥的路程 = 桥长 + 车长  
所以有：通过桥的时间 =（桥长 + 车长）÷车速
车速 = （桥长 + 车长）÷过桥时间
公式的变形：
    桥长 = 车速×过桥时间 — 车长
车长 = 车速×过桥时间 — 桥长
后三个都是根据第二个关系式逆推出的。
火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的，也要通过上面的数量关系来解决。

一、例题与方法指导
例1.        一列客车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列客车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？
思路导航：

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    从火车头上桥，到火车尾离桥，这之间是火车通过这座大桥的过程，也就是过桥的路程是桥长 + 车长。通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间。
    （1）过桥路程：6700 + 100 = 6800（米）
    （2）过桥时间：6800÷400 = 17（分）
    答：这列客车通过南京长江大桥需要17分钟。
    例2.                一列火车长160米，全车通过440米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？
思路导航：
    要想求火车过桥的速度，就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。
    （1）过桥的路程：160 + 440 = 600（米）
    （2）火车的速度：600÷30 = 20（米）
    答：这列火车每秒行20米。

例3.        某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟，求这列火车的长度？
思路导航：
    火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒，为什么多用8秒呢？原因是第一个隧道比第二个隧道长360—216 = 144（米），这144米正好和8秒相对应，这样可以求出车速。火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长，减去已知的隧道长，就是火车长。
    （1）第一个隧道比第二个长多少米？
    360—216 = 144（米）
    （2）火车通过第一个隧道比第二个多用几秒？
    24—16 = 8（秒）
    （3）火车每秒行多少米？
    144÷8 = 18（米）
    （4）火车24秒行多少米？
    18×24 = 432（米）
    （5）火车长多少米？
    432—360 = 72（米）
答：这列火车长72米。


二、巩固训练
            1.        某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒钟？
思路导航：
通过前两个已知条件，我们可以求出火车的车速和火车的车身长。
    （342—234）÷（23—17）= 18（米）……车速
    18×23—342 = 72（米）  ……………………车身长
    两车错车是从车头相遇开始，直到两车尾离开才是错车结束，两车错车的总路程是两个车身之和，两车是做相向运动，所以，根据“路程÷速度和 = 相遇时间”，可以求出两车错车需要的时间。
    （72 + 88）÷（18 + 22）= 4（秒）
    答：两车错车而过，需要4秒钟。
2.        一列火车全长265米，每秒行驶25米，全车要通过一座985米长的大桥，问需要多少秒钟？

    （265 + 985）÷25 = 50（秒）
    答：需要50秒钟。

3.        一列长50米的火车，穿过200米长的山洞用了25秒钟，这列火车每秒行多少米？
    （200 + 50）÷25 = 10（米）
    答：这列火车每秒行10米。

三、拓展提升
        1.        一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多
少米？
    1分 = 60秒
    30×60—240 = 1560（米）
答：这座桥长1560米。

        2.        一列货车全长240米，每秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用40秒钟，桥长150米，
问这条隧道长多少米？
    15×40—240—150 = 210（米）
答：这条隧道长210米。

        3.        一列火车开过一座长1200米的大桥，需要75秒钟，火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟，求火车长多少米？
    1200÷（75—15）= 20（米）
    20×15 = 300（米）
答：火车长300米。

        4.        在上下行轨道上，两列火车相对开来，一列火车长182米，每秒行18米，另一列火车每秒行17米，两列火车错车而过用了10秒钟，求另一列火车长多少米？
    （18 + 17）×10—182 = 168（米）
答：另一列火车长168米。

（五） 列方程解应用题
同学们在解答数学问题时，经常遇到一些数量关系较复杂的，或较隐蔽的逆向问题。用算术方法解答比较困难，如果用方程解就简便得多。它可以进一步培养我们分析问题和解决问题的能力，抽象思维能力，列方程解应用题一般分为五步：
（一）审题；（弄清已知数和未知数以及它们之间的关系）
（二）用字母表示未知数；（通常用“x”表示）
（三）根据等量关系列出方程；
（四）解方程求出未知数的值；

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（五）验算并答题。

一、例题与方法指导
例1.         金台小学学生参加申奥植树活动，六年级共植树252棵，比五年级植树总数的 倍少8棵，五年级植树多少棵？
思路导航：
六年级比五年级植树总数的 倍少8棵，就是六年级的 倍的数少8，等于六年级植树的总数。等量关系是：五年级的 倍－8＝六年级的植树总数。
    解：设五年级植树x棵，根据题意列方程，得
     
        
        
           
    验算：把 代入原方程
    左边
    右边＝252
    左边＝右边
     是原方程的解。
    答：五年级植树208棵。

  例2.         一瓶农药700克，其中水比硫磺粉的6倍还多25克，含硫磺粉的重量是石灰的2倍，这瓶农药里，水、硫磺粉和石灰粉各多少克？
思路导航：
这是道比较复杂的“和倍应用题”，硫磺粉和水有直接关系，硫磺粉和石灰也有直接关系，因此应设未知数硫磺粉为x克。水的重量是硫磺的6倍还多25克，也就是（6x＋25）克，石灰的重量就是硫磺粉的重量除以2，也就是 克。等量关系式表示为：
    水＋硫磺粉＋石灰＝农药重量
    解：设硫磺粉的重量是x克，那么，水的重量是（ ）克，石灰重量是 克。根据题意列方程，解。
     
               
                 
                    
    验算：把 代入原方程
    左边
    右边＝700
    左边＝右边
     是原方程的解。

  例3.         两袋米同样重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下的第一袋刚好是第二袋的2倍，两袋原来各有多少千克？
思路导航：
题中告诉我们原来两袋大米同样重，解答时可以设两袋大米原来各重x千克，第一袋剩下的则是 千克，第二袋剩下的则是 千克。根据题意，第一袋剩下的大米是第二袋剩下的2倍，也就是说，如果把第二袋剩下的扩大2倍就和第一袋剩下的相等。
    解：设两袋大米原来的重量各为x千克，根据题意，列方程得
     
         
         
               
    验算：左边
          右边＝32－18＝14
    左边＝右边
    x＝32是原方程的解
    答：两袋大米原来各重32千克。

二、巩固训练
1.        李红看一本小说，上午看了60页，相当于下午看的页数的 又4页，李红这天共看了多少页小说？
思路导航：
这道题和求的问题是这一天共看了多少页小说。题目中已知上午看了60页，所以，只要求出下午看的页数，就可以了。题目中明确告诉了我们等量关系即“上午看了60页，相当于下午看的页数的 又4页”。
    等量关系：下午看的页数× ＋4＝上午看的页数
    解：法（一）：设下午看了x页。
     
        
        
         
    60＋64＝124页
    答：这天共看了124页。
    解：解法（二）：这一天共看了x页。
     
      
                  
                  
                     
    答：这一天共看了124页。

  2.         已知一个长方形的长是20米，如果把它的宽减少4米，新得到一个长方形，它的面积想法于原来长方形的面积的 ，原来长方形的周长是多少？
思路导航：

这道题的所求问题是求原来长方形的周长，而题目中明确告诉了我们等量关系即“新得到的长方形的面积相当于原来长方形面积的 。”如果没有原来长方形的宽为x米，原来长方形的面积就是20x平方米；新的长方形的宽就是（x—4）米；新的长方形面积就是 平方米。

    等量关系：原长方形面积× ＝新长方形面积
    解：设原长方形的宽是x米
    根据题意列方程，得

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    答：原来长方形的周长是68米。


  3. 两根绳共长90米，已知第一根绳长的 等于第二根绳长的 ，求两根绳各长多少米？
思路导航：
解答时，首先抓住题目中的等量关系“第一根绳长的 等于第二根绳长的 ”再根据第一根绳长为（90－x）米，就可以列出方程。

    等量关系：第一根绳长× ＝第二根绳长×
    解：设第一根绳长x米，第二根绳长（ ）米，根据题意列方程，得
     
     
     
        
    90－50＝40
    答：第一根绳长50米，第二根绳长40米。

三、拓展提升
  1. 甲乙两个粮仓共有粮食55万千克，如果甲仓运出 ，乙仓运出6万千克，则甲乙两仓存粮相等，甲、乙两仓原来各存粮多少万千克？
    解：设甲仓原有粮食有x万千克，则乙仓原有粮食（ ）万千克。根据题意列方程，得
     
         
      
         
           
    55－35＝20
    答：甲仓原有35万千克，乙仓原有20万千克。
  2. 用5千克含盐20%的盐水，如果把它稀释为含盐15%的盐水，需要加水多少千克？
    解：设需要加水x千克。
     
            
               
    答：需要加水 千克。
  3. 有甲、乙两筐苹果，如果从甲筐取10千克放入乙筐，则两筐相等；如果从两筐中各取出10千克，这时甲筐余下的 比乙筐余下的 多5千克。求两筐苹果原来各多少千克？
    解：设乙筐原有苹果x千克。
     
        
           
               
                  
    40＋20＝60
    答：甲筐原有苹果60千克，乙筐原有40千克。
  4. 同学们到郊区野炊。一个同学到老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个。又问“多少人吃饭”，他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。”算一算，有多少人吃饭。
    解：设参加野炊活动的人数为x人。
     
            
               
    答：参加野炊活动的有30人。



（六） 抽屉原理

　　如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。
　　同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。
　　以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。
抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。
　　说明这个原理是不难的。假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件，那么每一个抽屉中的物品或者是一件，或者没有。这样，n个抽屉中所放物品的总数就不会超过n件，这与有多于n件物品的假设相矛盾，所以前面假定“这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到2件”不能成立，从而抽屉原理1成立。
从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不少于2件物品。这就说明了抽屉原理1。

一、例题与方法指导
例1.        某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？
分析与解：1996年是闰年，这年应有366天。把366天看作366个抽屉，将367名小朋友看作367个物品。这样，把367个物品放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。

例2.        在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？
分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里。
将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两个数的差必能被3整除。

例3.        在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？
分析与解：根据例2的讨论，任何整数除以3的余数只能是0，1，2。现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论。
　　第一种情形。有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同的余数。因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍，故能被3整除，所以这三个数之和能被3整除。
　　第二种情形。至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0，1，2。因此这三个数之和能被3整除。
综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数。

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二、巩固训练
1.        有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？
分析与解：由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。
　　对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：
　　（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），
　　其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性。
将这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。


2.        用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见右图），每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

分析与解：用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：

　　将上面的四种情形看成四个“抽屉”。根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。
在上面的几个例子中，例1用一年的366天作为366个抽屉；例2与例3用整数被3除的余数的三种情形0，1，2作为3个抽屉；例4将一条线段的10等份作为10个抽屉；例5把每堆水果中，苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为4个抽屉；例6将每列中两个小方格涂色的4种情形作为4个抽屉。由此可见，利用抽屉原理解题的关键，在于恰当地构造抽屉。

3.        在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于1厘米？
分析与解：把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）。

　　将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉。现在将这11个点放到这10个抽屉中去。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）。由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米。
所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米。


三、拓展提升

        1.        有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。

分析与解答 首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.把每人的3枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有5个苹果.把每人所拿3枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有5个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。

2.        一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花色情况是相同的？

分析与解答 扑克牌中有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色，2张牌的花色可以有：2张方块，2张梅花，2张红桃，2张黑桃，1张方块1张梅花，1张方块1张黑桃，1张方块1张红桃，1张梅花1张黑桃，1张梅花1张红桃，1张黑桃1张红桃共计10种情况.把这10种花色配组看作10个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多1个就可以有题目所要的结果.所以至少有11个人。

        3.        从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。
分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉：

　　凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。
　　现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。


（七） 不规则图形面积计算（1）
我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：

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实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
一、例题与方法指导
例1        如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
思路导航：
阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

例2                如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
思路导航：
∵△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，
∴四边形 AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD的 。
在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，
∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。

例3                两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
思路导航：
在等腰直角三角形ABC中
∵AB=10
∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，
∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。

                例4                如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.
求△ABD及△ACE的面积.
思路导航：
取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，
所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.
　∴△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。
　又由于△ACE与△ACD等底、等高，所以△ACE的面积是15平方厘米。

二、巩固训练
        1.        如右图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是三角形DEC的面积的 ，求正方形ABCD的面积。　　
解：过E作BC的垂线交AD于F。
在矩形ABEF中AE是对角线，所以S△ABE=S△AEF=8.
在矩形CDFE中DE是对角线，所以S△ECD=S△EDF。
        2.        如右图，已知：S△ABC=1，AE=ED,BD= BC.求阴影部分的面积。
解：连结DF。∵AE=ED，
∴S△AEF=S△DEF；S△ABE=S△BED
        3.        如右图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？
解：连结AG，自A作AH垂直于DG于H，在△ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.
　　∴S△AGD=4×4÷2=8，又DG=5，
　　∴S△AGD=AH×DG÷2，
　　∴AH=8×2÷5=3.2（厘米），
∴DE=3.2（厘米）。
        4.        如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.
　　解：∵梯形面积=（上底+下底）×高÷2
　　即45=（AD+BC）×6÷2，
　　45=（AD+10）×6÷2，
　　∴AD=45×2÷6-10=5米。
　　∴△ADE的高是2米。
△        EBC的高等于梯形的高减去△ADE的高，即6-2=4米，
        5.        如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.
证明：连结CE，
ABCD的面积等于△CDE面积的2倍，
而  DEFG的面积也是△CDE面积的2倍。
∴  ABCD的面积与  DEFG的面积相等。