小学生五年级数学奥数集训名师专题讲座辅导讲解WORD版

admin

五年级奥数集训专题讲座（七）——包含与排除

    包含与排除问题其实也叫容斥问题。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从他们的和中排除重复部分。如：集合A加集合B组成一个新的集合C，再计算C的元素时为：C=A+B-AB

        A        AB        B        （韦恩图）


例1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。又问：‘谁做完数学作业？请举手！”有 42 人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【思路导航】如图所示，完成语文作业的有 37 人，完成数学作业的有 42 人，一共有 37 + 42 = 79 （人），多于全班人数，这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数学作业都完成的有：
              79－48 = 31（人）
              37 + 42－48=31（人）
        答：语文、数学作业都完成的有 31 人。


想一想：下面算式有何道理？
( l ) 37－（48－42) = 31 （人）
( 2 ) 42－（48－37）= 31 （人）

【疯狂操练】：
(1）五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少人？


(2）四年级一班有 54 人，订阅 《 小学生优秀作文 》 和 《 数学大世界 》 两种读物的有 13 人，订 《 小学生优秀作文 》 的有 45 人，每人至少订一种读物，订 《 数学大世界 》 的有多少人？


(3）学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17 人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。这个文艺组一共有多少人？


例2：某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的人有 23 人，两题都答对的有 15 人。问多少个同学两题都答得不对？
【思路导航】如图所示，已知答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15 人，可以求出只答对第一题的有 25－15＝ 10 （人）。又已知答对第二题的有 23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数10 + 23 = 33（人）。所以，两题都答得不对的有 36－33 = 3 （人）。
        36－［( 25 －15 ) + 23］=3（人）
想一想：下面算式有何道理。
(l) 36－［( 23－15 ) + 25］ = 3 （人）
(2) 36 －［( 25－ 15 ) + ( 23 － 15 ) + 15 ］＝ 3 （人）

【疯狂操练】：
(l）五（ 1 ）班有 40 个学生，其中有 25 人参加数学小组， 23 人参加科技小组，有 19 人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？

(2）一个班有 55 名学生，订阅 《 小学生数学报 》 的有 32 人，订阅 《 中国少年报 》 的有 29 人，两种报纸都订阅的有 25 人。两种报纸都没有订阅的有多少人？

(3）某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3 人两项比赛都获奖了，有 27 人两项比赛都没有获奖，已知作文比赛获奖的有 14 人，问数学比赛获奖的有多少人？

例3：某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
【思路导航】：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数56－25 =31（人），再求两科竞赛同时参加的人数：28+27-31 = 24 （人）。
           28+27-（56-25) = 24 （人）   
答：同时参加语文、数学两科竞赛的有 24 人。
想一想：下面算式有何道理
( l ) 28－（56 －25－27 ）= 24（人）
( 2 ) 27 －（56－25－28 ）= 24 （人）

【疯狂操练】：
(1）一个旅行社有 36 人，其中会英语的有 24 人，会法语的有 18 人，两样都不会的有 4 人，两样都会的有多少人？

(2）一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋的 52 人，这两种棋都不会下的有 12 人。问这两种棋都会下的有多少人？

(3）三年级一班参加合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有 14 人。这两队都没有参加的有 10 人。请算一算，这个班共有多少人？

例4：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有 24 幅不是五年级的，有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10 幅，其他年级参展的书法共有多少幅？
【思路导航】由题意知， 24 幅作品是一、二、三、四、五、六年级参展作品的总数； 22 幅作品是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。24 + 22 =46〔幅），这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六年级的共参展的 10 幅即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数．再除以2，即可求出其它年级参展的作品。
                     (24+22－10)÷2=18（幅）
答：其他年级参展的作品共有 18 幅。
【疯狂操练】：
( l ）科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有 110 件不是一年级的，有 100 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32 件。其他年级参展的作品共有多少件？

( 2 ）六（ 1 ）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有 25 幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四年级参展的画共有 8 幅，其他年级参展的画共有多少幅？

( 3 ）实验小学举办学生书法展。学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有 28 幅不是五年级的，有 24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 20 幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？

admin

五年级奥数集训专题讲座（八）——逻辑推理

        解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑： 1 、选准突破口，分析时综合几个条件进行判断。 2、 根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论。 3、对可能出现的情况作出假设，然后再根据条件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的。4、遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。

例1：有三个小朋友在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做的比静静多”静静说：“兰兰做的比冬冬少 。”这三位小朋友中，谁做的好事最多？准做的好事最少？
【思路导航】我们用“ > ”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系。
兰兰＞静静     冬冬＞静静      冬冬＞兰兰      
所以，冬冬＞兰兰＞静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少         
答：冬冬做的最多，静静做的最少。
【疯狂操练】
(l）卢刚，丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道：
卢刚和医生不同岁；医生比丁飞年龄小；陈瑜比飞行员年龄大。请问，谁是工程师，谁是医生，谁是飞行员？

〔2）小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师，数学家和工程师。小张年龄比工程师大；小李和数学家不同岁；数学家比小徐年龄小。想一想，谁是教师，谁是数学家，谁是工程师。

(3）江波、刘晓、吴萌三位老师，其中一位教语文，一位教数学，一位教英语。已知：江波和语文老师是邻居；吴萌和语文老师不是邻居；吴萌和数学老师是同学。请问：三位老师分别教什么科目？

例2：有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。问这个正方体的每个汉字的对面各是什么字？

   




【思路导航】想想某个汉字的对面不是什么字。从图（ l ）中可知，“奥”的对面不是“林”、“匹”，从图（ 2 ) 中可知：“奥”的对面不是‘数’、“学”，所以，“奥”的对面一定是“克”。从图（ 2 ）中可知：“数”的对面不是“奥”、“学”，从图（ 3 ) 中可知，“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数”的对面一定是“匹”。剩下的“学”的对面一定是？“林”。答：“奥”的对面是“克” , “数”的对面是“匹”, “学”的对面是“林”。
【疯狂操练】
(l）下面三块正方体的六个面都是按相同的规律涂有红黄蓝绿白黑六种色。请判断黄色的对面是什么颜色？白色的对面是什么颜色？红色的对面是什么颜色？

       




(2）一个正方体，六个面分别写上ABCDEF 、你能根据这个正方体不同的摆法，求出相对的两个面的字母是什么？



例3：甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃窗，甲说：“是丙打碎的”。乙说：“我没有打碎玻璃窗”，丙说：“是乙打碎的。”他们当中只有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃窗？
【思路导航】由题意推出结论，必须符合他们中只有一个说了谎，推理时可以先假设，看结论和条件是否矛盾。
如果是甲打碎的，那么是甲说谎话，乙说的是实话，丙说的是谎话，这样两人说的是谎话，与他们中只有一个说谎相矛盾．所以不是甲打碎的。
如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是实话，也与他们中只有一个说谎相矛盾，所以不是乙打碎的。
如果是丙打碎的，那么甲说的是实话，乙说的是实话，而丙说的是谎话。这样有两个说的是实话，符合条件他们中只有一个说的是谎话，所以玻璃窗是丙打碎的。

【疯狂操练】
(l）已知甲、乙、丙三个中，只有一个人会开汽车。甲说：“我会开汽车”。乙说：“我不会开”。丙说：“甲不会开汽车。”如果三个人中有一个讲的是真话，那么谁会开汽车？


(2）某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了 A 、 B 、 C 三个学生。 A 说：“是 B 做的”。 B 说：“不 是我做的”。 C 说：“不是我做的”。这三个中只有一个人说了实话，这件好事是谁做的？


(3) ABCD 四个孩子踢球打碎了玻璃。 A 说：“是 C 或 D 打碎的”。 B 说：“是 D 打碎的”。 C 说：“我没有打碎玻璃窗”。 D 说：“不是我打碎的。”他们中只有一个人说了谎，到底是谁打碎了玻璃窗？



【请思考】：
甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛，赛后，
甲说：“丙是第一名，我是第三名。”
乙说：“我是第一名，丁是第四名”。
丙说：“丁是第二名，我是第三名”。
丁没有说话，成绩揭晓时，大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半，你能说出他们的名次吗？
提示：推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提，为了帮助分析，可以借助图表分析：

admin

五年级奥数集训专题讲座（九）——行程问题（一）

        行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。行程问题的主要数量关系是：
路程=速度×时间。知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。
例1：甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行 56 千米，乙车每小时行 48 千米。两车在距中点 32 千米处相遇。东、西两地相距多少千米？




【思路导航】两车在距中点 32 千米处相遇，由于甲车的速度大于乙车的速度，所以相遇时，甲车应行了全程的一半多 32 千米，乙车行了全程的一半少 32 千米，因此，两车相遇时，甲车比乙车共多行了 32 × 2= 64 （千米）。两车同时出发，又相遇了，两车所行的时同是一样的，为什么甲车会比乙车多行 64 千米？因为甲车每小时比乙车多行 56－48 = 8 （千米）。 64 ÷8 =8 所以两车各行了 8 小时，求东、西的路程只要用（ 56 + 48 ）× 8 即可。
32× 2 ÷（56－48 )= 8 （小时）      
(56 + 48) ×8 = 832 （千米）
答：东、西两地相距 832 千米。

【疯狂操练】
1、小玲每分行 100 米，小平每分行 80 米，两人同时从学校和少年宫相向而行，并在离中点 120 米处相遇，学校到少年宫有多少米？


2、一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每；小时行 40 千米，摩托车每小时行 65 千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距 75 千米，甲、乙两地相距多少千米？


3 ．小轿车每小时行 60 千米，比客车每小时多行 5 千米，两车同时从A、 B 两地相向而行，在距中点 20 千米处相遇，求A、 B 两地的路程。


例2：快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行 40 千米，经过 3 小时，快车已驶过中点 25 千米，这时快车与慢车还相距 7 千米。慢车每小时行多少千米？
【思路导航】快车3小时行驶 40×3 = 120 （千米），这时快车已驶过中点25千米，说明甲、乙两地间路程的一半是 120－25 = 95（千米）。此时，慢车行了 95－25－7 = 63（千米），因此慢车每小时行 63 ÷3 = 21 （千米）。
(40×3－25×2－7)÷3 = 2l (千米）           
答：慢车每小时行 21 千米。
【疯狂操练】
1、兄、弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。哥哥每分钟行 120米， 5 分钟后哥哥已超过中点 50 米，这时兄弟二人还相距 30 米。弟弟每分钟行多少米。


2、汽车从甲地开往乙地，每小时行 32 千米， 4 小时后，剩下的路比全程的一半少 8 千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到达乙地？


例3：甲、乙二人上午 8 时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快 6 千米。中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村 15 千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米？
      


【思路导航】二人相遇时，甲比乙多行 1 5 ×2 = 30 （千米），说明二人已行 30 ÷6 = 5 （小时），上午 8 时至中午12 时是 4 小时，所以，甲的速度是 15÷（5－ 4）= 15 （千米）。因此，东、西两村的距离是 15×( 5 － l ）=60 （千米）。
上午 8 时至中午l2时是4小时。
15×2 ÷ 6 =5 （小时）
15÷（5－4 ) = 15 （千米）
15× ( 5－1) = 60 （千米）
答：东、西村相距 60 千米。
【疯狂操练】
1、甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250 米，乙每分钟走 90 米。甲到达 B 地后立即返回 A 地，在离 B 地 32千米处与乙相遇。 A 、 B 两地间的距离是多少千米？


2、小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走 20 米。 30 分钟后小平到家，到家后立即原路返回，在离家350 米处遇到小红。小红每分钟走多少千米？


3 ，甲、乙二人上午 7 时同时从A地去 B 地，甲每小时比乙快8千米。上午 11 时甲到达 B 地后立即返回．在距 B 地 24 千米处与乙相遇。求A、 B 两地相距多少千米？


例4：甲、乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行，一个同学骑自行车以每小时14千米的速度行驶，在两队之间不停地往返联络，甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？
【思路导航】 要求骑自行车的同学一共行多少千米，就要知道他的速度和所行时间。骑自行车同学的速度是每小时 14 千米，而他行的时间就是甲、乙两队学生从出发到相遇这段时间。因此，用18÷（4+5）=2（小时），用这个时间乘以他的速度就是他行的路程。
18 ÷( 4 + 5 ) = 2 （小时）
                                   14× 2 =28 （千米）  
答：骑自行车的同学共行 28 千米
【疯狂操练】
1、两支队伍从相距 55 千米的两地相向而行 。通讯员骑马以每小时 16 千米的速度在两支队伍之间不断往返联络。已知一支队伍每小时行 5 千米，另一支队伍每小时行 6 千米，两队相遇时，通讯员共行多少千米。


2、甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是 100千米。时行 6 千米，乙每小时行 4 千米。甲带着一只狗，狗每小时10千米，这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走，直到两人相遇时。这只狗一共走了多少千米？


3 ．两队同学同时从相距 30 千米的甲、乙两地相向出发，一只鸽子以每小时 20 千米的速度在两队同学之间不断往返送信如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了 30 千米，而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4 千米，求两队同学的行走速度.

admin

五年级奥数集训专题讲座（十）——牛吃草问题

英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．
“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．
解“牛吃草”问题的主要依据：
①        草的每天生长量不变；
②        每头牛每天的食草量不变；
③        草的总量 草场原有的草量 新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
④        新生的草量 每天生长量 天数．
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度 (对应牛的头数 较多天数 对应牛的头数 较少天数) (较多天数 较少天数)；
⑶原来的草量 对应牛的头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数；
⑷吃的天数 原来的草量 (牛的头数 草的生长速度)；
⑸牛的头数 原来的草量 吃的天数 草的生长速度．
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．

教学目标：
①　理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.
②　初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系

例题精讲：
板块一：一块地的“牛吃草问题”

【例 1】        一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）
【解析】        设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了 份；23头牛吃9周共吃了 份．第二种吃法比第一种吃法多吃了 份草，这45份草是牧场的草 周生长出来的，所以每周生长的草量为 ，那么原有草量为： ．
供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要 (周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．

【巩固】        牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？
【解析】        设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了 份；15头牛吃10天共吃了 份．第一种吃法比第二种吃法多吃了 份草，这50份草是牧场的草 天生长出来的，所以每天生长的草量为 ，那么原有草量为： ．
供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要 (天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．


【例 2】        牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？
【解析】        设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为 ，原有草量为 ，可供 （头）牛吃18周

【巩固】        (2007年湖北省“创新杯”)
牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则        头牛96天可以把草吃完．
【解析】        设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为 ，牧场原有草量为 ，要吃96天，需要 (头)牛．

【例 3】        有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？
【解析】        设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为 ，原有草量为： ．
现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加 才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为 (头)．

【巩固】        一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？
【解析】        设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为 ，原有草量为： ．如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩 ，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为： (天)．

模块二：“牛吃草问题”的变形
【例 4】        一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？
【解析】        设1人1小时淘出的水量是“1”，淘水速度是 ，原有水量 ，
要求2小时淘完，要安排 人淘水

【巩固】        一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？
【解析】        设1人1分钟淘出的水量是“1”， 分钟的进水量为 ，所以每分钟的进水量为 ，那么原有水量为： ．5人淘水需要 (分钟)把水淘完．

【例 5】        画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。
【解析】        设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入 。8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入 ，15分钟到来的人数  ，每分钟到来 。8：30以前原有人 。 所以应排了 （分钟），即第一个来人在7：30

【巩固】        画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．
【解析】        如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题．
设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为 ，即1分钟来的人为 ，原有的人为： ．这些人来到画展，所用时间为 (分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分．
【疯狂操练】
1、一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天?



2、仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？



3、一水库原有存水量一定，河水每天匀速入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？




4、早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站．这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客．现要求5分钟放完，需设立几个检票口?
【解析】        设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客．
①1分钟新来多少个单位的旅客

②检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候，
  4×１５－ ×15=52
③5分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客
52 + ×5=55
④设立几个检票口
(个)

5、食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完，如果派4个工人，40天可以把面粉用完，现在派4名工人加工了30天后，又增加了2名工人一起干，还需要几天加工完？
【分析】        开工前运进的面粉相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”，工人加工食品相当于“牛在吃草”．
设1名工人1天用掉面粉的量为“1”，那么每天运来的面粉量为 ，原有面粉量为： ．如果4名工人干30天，那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量，原有还剩 未加工，而后变成6名工人，还需要 (天)可以加工完．

admin

五年级奥数集训专题讲座（十一）——时钟问题
时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。
我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上时针与分针所成的角度等等。
时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。对于正常的时钟，
具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个大格为30度；60个小格，每个小格为6度。
分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度
时针速度：每分钟走 小格，每分钟走0.5度
注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种“怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们要学会对不同的问题进行独立的分析。
要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢，所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。
例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一次重合到下一次重合，所需时间为 分。
教学目标：
①　行程问题中时钟的标准制定；
②　时钟的时针与分针的追及与相遇问题的判断及计算；
③　时钟的周期问题.

例题精讲：
模块一、时针与分针的追及与相遇问题
【例 1】        王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快 30 秒.而闹钟却比标准时间每小时慢 30 秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？
【解析】        闹钟比标准的慢 那么它一小时只走（3600-30）/3600个小时，手表又比闹钟快 那么它一小时走（3600+30）/3600个小时，则标准时间走1小时 手表则走（3600-30）/3600*（3600+30）/3600个小时，则手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）/3600*（3600+30）/3600】=1—14399/14400=1/14400个小时 ，也就是1/14400*3600=四分之一秒，所以一昼夜24小时比标准时间慢四分之一乘以24等于6秒
【巩固】        小强家有一个闹钟，每时比标准时间快3分。有一天晚上10点整，小强对准了闹钟，他想第二天早晨6∶00起床，他应该将闹钟的铃定在几点几分？(6：24)

【巩固】        小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢3分。有一天晚上9点整，小翔对准了闹钟，他想第二天早晨6∶30起床，于是他就将闹钟的铃定在了6∶30。这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？(7点)

【巩固】        当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的钝角是多少度？(142.5度)

【例 2】        有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?

【解析】        在10点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l”，有时针速度为“ ”，于是需要时间： ．所以，再过 分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过 分钟，时针与分针第二次重合．标准的时钟，每隔 分钟，时针与分针重合一次． 我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟(1小时)，时针的速度为分针速度的 ．如果设分针的速度为单位“l”，那么时针的速度为“ ”．
【巩固】        钟表的时针与分针在4点多少分第一次重合？
【解析】        此题属于追及问题，追及路程是20格，速度差是 ，所以追及时间是： （分）。
【巩固】        现在是3点，什么时候时针与分针第一次重合？

【解析】        根据题意可知，3点时，时针与分针成90度，第一次重合需要分针追90度， （分）
【例 3】        钟表的时针与分针在8点多少分第一次垂直？
【解析】         此题属于追及问题，但是追及路程是4 格（由原来的40格变为15格），速度差是 ，所以追及时间是： （分）。
【例 4】        2点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？
【解析】        根据题意可知，2点时，时针与分针成60度，第一次垂直需要90度，即分针追了90+60=150（度）， （分）
【例 5】        现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？
【解析】        时针的速度是 360÷12÷60=0.5(度/分),分针的速度是 360÷60=6(度/分),即 分针与时针的速度差是 6-0.5=5.5(度/分),10点时，分针与时针的夹角是60度， ,第一次在一条直线时，分针与时针的夹角是180度，,即 分针与时针从60度到180度经过的时间为所求。,所以 答案为  (分)
【巩固】        在9点与10点之间的什么时刻，分针与时针在一条直线上？

【解析】        根据题意可知，9点时，时针与分针成90度，第一次在一条直线上需要分针追90度，第二次在一条直线上需要分针追270度，答案为 （分）和 （分）
【例 6】        晚上8点刚过，不一会小华开始做作业，一看钟，时针与分针正好成一条直线。做完作业再看钟，还不到9点，而且分针与时针恰好重合。小华做作业用了多长时间？
根据题意可知， 从在一条直线上追到重合，需要分针追180度， （分）

amyi399

李况况

谢谢楼主~