小学生四年级奥数教材名师辅导十七讲.DOC版下载

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（十三） 火柴棍游戏
①        摆图形游戏
一、例题与方法指导
例1.        用8根火柴棍可以摆成一个正方形。现添两根，即用10根火柴能摆出与这个正方形同样大小的图形吗？
思路导航：
8根火柴摆一个正方形，每边必是两根火柴。它可以分成四个小正方形(如右图)。因此，只要用10根火柴摆出有四个同样大小的小正方形的图形即可。下面的四个图形都符合题意。
　
　
例2.        用8根火柴棍摆出八个大小一样的三角形和两个一样大小的正方形。



思路导航：
4根火柴可摆出一个正方形，另4根火柴又可摆出一个同样大小的正方形。把这两个正方形如右图所示交叉放在一起，就形成八个相同的三角形。


② 移动火柴，变换图形游戏

一、例题与方法指导
例1.        右图是用10根火柴棍摆成的一座房子。请移动2根火柴，使房子改变方向。

思路导航：
如左下图所示，除虚线表示的2根火柴外，其余火柴是左、右对称的，所以改变房子的方向与这些火柴无关，应移动虚线表示的2根火柴(见右下图)。
　

例2.        在左下图中移动4根火柴棍，使图形成为只有三个正方形的图形。

思路导航：
因为只能移动4根火柴，所以图中较长的边(3根或4根火柴的边)都不能动。把图中最里面的4根火柴移补到右上图的相关位置上即可。

        例3.        在左下图中移动4根火柴棍，使它变成3个三角形，并且这3个三角形的面积之和与原来的六边形面积相同。

思路导航：
原图中有6个三角形，变化后剩下3个三角形，这3个三角形与原来的6个三角形的面积相同，必然有一个三角形的面积要增大。如右上图所示，移动虚线表示的4根火柴。图中下面的大三角形面积等于小三角形面积的4倍。

③        去掉火柴，变换图形游戏　　
一、例题与方法指导
例1.        在左下图中去掉尽量少的火柴棍，使得图中不存在任何正方形。

思路导航：
拿掉的火柴应能尽量多的“破坏”正方形。如右上图，拿掉虚线处的4根火柴即可。拿法不唯一。

例2.        在左下图中，去掉4根火柴棍，使它变成两个完全相同的图形组合。



思路导航：
左上图的面积等于七个边长为1根火柴棍的小正方形的面积之和。要达到规定要求，必须去掉一个小正方形。剩下的部分划分成两个面积等于三个小正方形面积的图形。去掉右上图中虚线所示的火柴棍即可。


（十四） 巧求面积习题
例1.        把一张长14厘米，宽6厘米的长方形纸，剪成边长是2厘米
的小正方形，能剪多少个？
思路导航：
方法一：长方形的长是14厘米，剪成的正方形边长是2厘米，
则一行可剪14÷2=7个，如图，长方形的宽是6厘米，则可剪
6÷2=3行，这样共剪7×3=21个。
方法二：长方形的面积是14×6=84平方厘米，剪成的小正方形的面积是2×2=4平方厘米，长方形；面积是正方形面积的84÷4=21倍。所以可以剪21个。
想一想：如果长方形长15厘米，宽8厘米，剪成边长为2厘米的小正方形，能剪多少个？应怎样求？ 能用第二种方法么？为什么？

例2.        求下面图形的面积（单位：厘米）
     3

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5       
思路导航：
                                                   
这个图形较复杂，没有现成的公式可以求出面积。我们可以把
这个图形进行分割或填补，把它转化成几个我们已经学过的图形                  
如下图，用一条线段把原来的图形分成一个正方形和一个长方形，                  
先分别求出正方形和长方形的面积，再把两部分面积相加，就可
以求出原图形的面积了。
正方形面积：3×3=9平方厘米
长方形面积：（3+4）×2=14平方厘米
组合图形的面积：9+14=23平方厘米。
想一想：这题还有别的方法吗？（补成一个大长方形）
小结：有时，可采用“割”或“补”的方法，把不规则图形转化成我们学过的图形。
        例3.        用一根长20厘米的铁丝围成一个长方形，长和宽都是整厘米数，可以围成多少个不同的长方形？面积分别是多少平方米？
思路导航：
长20厘米，就是长方形的周长，说明长和宽的和是10厘米。有序的思考：
长（厘米）        9        8        7        6        5
宽（厘米）        1        2        3        4        5
面积（平方厘米）        9        16        21        24        25

        例4.        一个长方形若长增加3厘米，面积就增加15平方厘米；若宽减少2厘米，面积就减少20平方厘米。求原来长方形的面积。
思路导航：
根据题意，画出两个图：
                         15                   20平方厘米  减少2厘米
                        平方厘米
            （1）      增加3厘米             （2）
从图（1）可看出，长增加3厘米，原图形就增加了一个小长方形，面积是15平方厘米，说明小长方形的长（即原长方形的宽）就是5厘米；
从图（2）可看出，宽减少2厘米，原图形就减少了一个小长方形，它的面积是20平方厘米，这个长方形的长是20÷2=10厘米。
（1）原来长方形的宽是多少厘米？15÷3=5厘米
（2）原来长方形的长是多少厘米？20÷2=10厘米
（3）原来长方形的面积是多少？10×5=50平方厘米。

例5.        两张边长是6厘米的正方形纸，一部分叠在一起放在桌上（如图），重叠部分是个边长为3厘米的正方形。桌子被盖住的面积是多少？
思路导航：
如果两张纸没有重叠，那么盖住桌子的面积是
6×6×2=72平方厘米，但重叠了一部分，盖住桌子的面积就
减少了，减少的部分正好是重叠部分，即边长为3厘米的正方形，
面积是3×3=9平方厘米，因此桌子被盖住的面积是72-9=63平方厘米。

【小结】
求图形的面积时，可以先根据题意画出图，然后根据“割”或“补”，把不规则图形转化成规则图形，分别求出面积。



（十五） 方程式解应用题
一、例题与方法指导
例1 买来一批苹果,分给幼儿园大班的小朋友,如果每人分3个,那么还剩32个.如果每人分8个,还有5个小朋友分不到苹果.这批苹果的个数是多少个?
苹果数不变(抓不变量)、间接设未知数




例2 一条鲨鱼，头长3米，身长等于头长加尾长，尾长等于头长再加上半个身长，这条鱼全长多少米？
间接设未知数
设鲨鱼身长x米。  身长=头长+尾长，
尾长= x÷2＋3  身长＝3＋x÷2＋3，

例3 鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只。问：鸡、兔各多少只?
解答：假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多120只，而实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120-60=60(只)。现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只)，而60÷6=10，因此有兔子10只，鸡60-10=50(只)。

二、巩固训练
1. 有一些糖，每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的1.5倍，那么每人4块就少2块.问这些糖共有多少块?
解，等量关系为两种分法的糖总数不变
设开始共有x人，
5x+10=4×1.5x-2，
解得x=12，
所以这些糖共有12×5+10=70块．

2.甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？
解答：这是一道年龄问题，也可以用方程来解决。等量关系为：多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍。关键：在相同的时间内，每个人增加或减少的年龄是相同的。
设x年前，甲乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.
16+12-2x=2×(11+9-2x),
解得x=6.
所以，6年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍.

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（十六） 移多补少平均数

        在日常生活中，我们经常遇到这样的情况：有几个杯子，里面的水有多有少。要想使杯中的水一样多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们经常驻遇到的“移多补少”……也就是求平均数问题。

一、例题与方法指导

例1.小刚有5个抽屉，分别有图书33本，42本，20本，53本和32本，平均每个抽屉里有图书多少本？
思路导航：分析：如果要求平均每个抽屉里的图书，就是把5个抽屉的总数除以5。
（33+42+20+53+32）÷5=36（本）
或取较为中间的一个数，如35作为基数，再把每个抽屉中的书本与35的差算出来。将这些差相加减，多出的为加数，不足的为减数，所得的数除以5，再加上基准数35，得出的就是要求的平均数。
提出总数，份数，平均数
5个抽屉书本书的总合就是“总数”，5个抽屉式“份数”。得到关系式：
平均数=总数÷份数 由此关系式可得出
总数=份数×平均数
份数=总数÷平均数

例2. 小名参加了四次语文测验，平均成绩是68分，他想通过一次语文测验，讲5次的平均成绩提高最少70分，那么在下次测验中，他至少要得多少分？
分析1：知道前四次的语文平均成绩后可以求出前四次的总成绩题目中要求是五次的平均成绩提高到70分，那么可以求出5次的总成绩，再用五次的总成绩减去四次的成绩，得到的就是第五次最少应考多少分。

思路导航：
68×4－70×5=78（分）
前四次平均为68分，要求平均分为70分，前四次一共差了（70－68）×4=8（分）那么第五次至少要考70+8=78（分）

例3.甲、乙两人带着同样多的钱，用他们全部的钱买了香皂，甲拿走了12块乙拿走了8块，回家后甲补给乙4元，每块香皂多少元？

思路导航：
因为甲乙两人带的是同样多的钱，两人的钱也已经全部用完，甲乙两人平均买了（8+12）÷2=10（块）香皂，而实际甲多拿了12－10=2（块）香皂，2块香皂是4元，则一块香皂是4÷2=2（元）

二、巩固训练
        1.如果4个人的平均年龄是18岁，4个人中没有小于14岁的，那么年龄最大的人可能是多少岁？
分析：4个人的平均年龄是18岁，那么四个人一共就有18×4＝72（岁），题目中告诉我们4个人中最小的只有14岁，如果要求年龄最大的那么其余3个人都应是最小的，则72－14×3＝20（岁）

2. 有甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，乙数和丙数的平均数是47，甲数和丙数的平均数是46，求甲、乙、丙这三个数各是多少？
分析：从题目我们可以知道 甲＋乙＝42×2=84  乙＋丙＝47×2=94 甲＋丙＝46×2=92
2（甲+乙+丙）=84+94+92=270  甲：135－94=44  乙：135－92=43 丙：135－84＝51
先求出甲乙丙三个数的和，知道另外两个数的和酒可以求出第三个数。

3. 某人沿一条长为12千米的路上山，又从原路下山。上山时的速度是每小时2千米，下山时的速度是每小时6千米。那么他在上、下山全过程中的平均速度是每小时多少千米？
分析：要求上、下山的平均速度先求上下山的总路程和处以时间即可。
解：2×12÷（12÷2＋12÷6）=3（千米）
总结：今天我们学习了如何求平均数，平均数的意义，也知道在解题过程中，可以运用到平均数的意义。希望同学们通过今天的学习可以掌握所学的知识。


三、拓展提升
1.一位小朋友的语文成绩是96分，数学成绩是90分，英语成绩是84分，求他三门的平均分。
2.甲、乙、丙三个数的平均数是150，甲数是48，乙数与丙数相同，求乙数。
3.小明和小红一起带着同样多的钱去学校旁边的文具店买铅笔，他们用全部的钱买了铅笔，小明买了12只，小红买了8只，回去后小明给了小红4元，每支铅笔多少元？
4.如果4个人的平均年龄是18岁，4个人中没有小于14岁的，那么年龄最大的人可能是多少岁？
5.有甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，乙数和丙数的平均数是47，甲数和丙数的平均数是46，求甲、乙、丙这三个数各是多少？


（十七） 一笔画

有一个著名的数学故事——哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡是立陶宛共和国的一座城市，布勒格尔河从城中穿过，河中有两个岛，18世纪时河上共有七座桥连接A，B两个岛以及河的两岸C，D(如下图)。
　
　　所谓七桥问题就是：一个散步者要一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，怎样走才能成功？
　　当时的许多人都热衷于解决七桥问题，但是都没成功。后来，这个问题引起了大数学家欧拉(1707-1783)的兴趣，许多人的不成功促使欧拉从反面来思考问题：是否根本就不存在这样一条路线呢？经过认真研究，欧拉终于在1736年圆满地解决了七桥问题，并发现了一笔画原理。欧拉是怎样解决七桥问题的呢？因为岛的大小，桥的长短都与问题无关，所以欧拉把A，B两岛以及陆地C，D用点表示，桥用线表示，那么七桥问题就变为右图是否可以一笔画的问题了。


一、例题与方法指导

例1 下图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。如果能，应从哪开始走？
　　
思路导航：
我们将每个展室看成一个点，室外看成点E，将每扇门看成一条线段，两个展室间有门相通表示两个点间有线段相连，于是得到右图。能否不重复地穿过每扇门的问题，变为右图是否一笔画问题。
　　
例1的关键是如何把一个实际问题变为判断是否一笔画问题，就像欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题时做的那样。

　　例2        一个邮递员投递信件要走的街道如下页左上图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？
　　
思路导航：
图中共有8个奇点，必须在8 个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画。在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左上图中虚线所示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米。走法参考右上图(走法不唯一)。

　　例3        右图中每个小正方形的边长都是100米。小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？
　　
思路导航：
这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解。首先，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，B都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点。所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如下页上图。或
　　
例2与例3的图中各有8个奇点，都是通过减少奇点个数，将多笔画变成一笔画的问题，但它们采用的方法却完全不同。因为例2中只要求走遍所有的线段，没有要求不能重复，所以通过添加线段的方法(实际是重复走添加线段的这段路)，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画。而在例3中，要求不能走重复的路，所以不能添加线段，只能通过减少线段的方法，将奇点变为偶点，使多笔画变成一笔画。区别就在于能否重复走！能“重复”就“添线”，不能“重复”就“减线”。

　　例4        在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁(见右图)，它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D。已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？
　　
思路导航：
许多同学看不出这是一笔画问题，但利用一笔画的知识，能非常巧妙地解答这道题。这道题只要求爬过所有的棱，没要求不能重复。可是两只蚂蚁爬速相同，如果一只不重复地爬遍所有的棱，而另一只必须重复爬某些棱，那么前一只蚂蚁爬的路程短，自然先到达D点，因而获胜。问题变为从B到D与从E到D哪个是一笔画问题。图中只有E，D两个奇点，所以从E到D可以一笔画出，而从B到D 却不能，因此E点的蚂蚁获胜。


二、巩固提高

　1.邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？
　　
　　2.有一个邮局，负责21个村庄的投递工作，右上图中的点表示村庄，线段表示道路。邮递员从邮局出发，怎样才能不重复地经过每一个村庄，最后回到邮局？
　　3.一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？

aoewo

这个挺好，孩子用的上呀。