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小学生四年级奥数教材名师辅导十七讲.DOC版下载

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8#
 楼主| 发表于 2012-11-4 01:20:22 | 只看该作者

二、巩固训练

1.        若对所有b,a△b =a×x,x是一个与b无关的常数;a☆b=(a+b)÷2,且(1△3)☆3=1△(3☆3)。
求(1△4)☆2的值。

分析   注意本题有两种运算,由(1△3)☆3=1△(3☆3),可求出x.
解   因为(1△3)☆3=1△(3☆3),所以(1×x)

(x+3)÷2=x
x+3=2x
x=3
因为(1△4)☆2
     =(1×4)☆2
     =(4+2)÷2
     =3

2.        如果规定:③=2×3×4,④=3×4×5,⑤=4×5×6,……,⑨=8×9×10,求⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。


解题思路
依题意可以看出:定义的新运算为连续三个数的乘积,而且,⑤里的数就是三个连续数中的中间的哪个数,即③是2,3,4三个连续的乘积,④是3,4,5三个连续睡的乘积,从而不难求出⑨+⑧-⑦+⑥-⑤+④-③的值。
解:原式=8×9×10+7×8×9-6×7×8+5×6×7-4×5×6+3×4×5-2×3×4
=720+504+-339+210-120+60-24
=1014

三、能力提升




答案



(四) 鸡兔同笼

鸡兔同笼问题是指鸡与兔同在一个笼中,已知鸡与兔的总头数以及鸡与兔的总足数,求鸡和兔各是多少只的应用题。这种类型题是古代趣题,在现实生活和生产中应用广泛,有着十分重要的使用价值。
鸡兔问题,也叫简换问题。解答时,一般采用假设法,即假定全部的只数都是鸡或者是兔,算出假定情况下的足数和实际上的足数和、足数差,然后推算出鸡和兔的只数。

计算时的主要数量关系是:
1.如果假定全部是兔,则
鸡的只数=(每只兔的足数×总头数-总足数)÷(每一只鸡与兔足数的差)
简单理解就是:
鸡的只数=(4 ×总头数-总足数)÷2
兔的只数=总头数-鸡的只数
2.如果假定全部是鸡,则
兔的只数=(总足数-每只鸡的足数×总头数) ÷(每一只鸡与兔足数的差)
简单写就是
兔的只数=(总足数-2 ×总头数) ÷2
鸡的只数=总头数-兔的只数

一、例题与方法指导
例1. 鸡兔同笼,共有100个头,320只脚,问鸡和兔各是多少只?
思路导航:
鸡有2只脚,兔有4只脚,如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来,当成一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,当成一只脚,那么兔子和鸡一样,都是2只脚。鸡和兔的总脚数就是100×2=200(只),但比实际320只脚要少320-200=120(只),为什么会少了120只脚呢?是因为每只兔子只算一只前脚,一只后脚,而少算了一只前脚和一只后脚。也就是说每只兔子都少算了两只脚,一共少算了120只脚,所以兔子应该有120÷2=60(只)。
解法一:                             解法二:
2×100=200(只)                                4×100=400(只)
320-200=120(只)                400-320=80(只)
120÷2=60(只)                        80÷2=40(只)
100-60=40(只)      
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9#
 楼主| 发表于 2012-11-4 01:20:27 | 只看该作者
        100-40=60(只)

答:鸡有40只,兔有60只。
例2. 5元纸币和2元纸币总张数是200张,已知它们的总面值是940元,这两种纸币各多少张?
思路导航:
(1)假设200张纸币完全是2元,共值:
        2×200=400(元)
(2)比实际少:
        940-400=540(元)
(3)2元换成5元,每张增加:
        5-2=3(元)
(4)5元纸币有:
        540÷3=180(张)
(5)2元纸币有:
        200-180=20(张)
答:有180张5元、20张2元纸币。

例3. 鸡兔同笼,鸡比兔多25只,脚数共176只,鸡、兔各多少只?
思路导航:
假设去掉多的25只鸡,则一共去掉2×25=50(只)脚,那么176-50=126(只)脚是鸡和兔一样多的脚的总数量,而一对鸡兔共有2+4=6(只)脚,可以求出去掉25只鸡以后一共多少对鸡和兔,然后再加上去掉的25只鸡。
2×25=50(只)
176-50=126(只)
2+4=6(只)
126÷6=21(对)‥‥‥鸡、兔各21只
21+25=46(只) ‥‥‥鸡的只数
答:鸡有46只,兔有21只。

二、巩固训练

1.鸡兔同笼,共有头90只,脚252只。鸡兔各多少只?



2.鸡兔同笼,共有头80只,鸡的脚数比兔的脚数多40只,鸡兔各多少只?



3.30枚硬币由2分和5分组成,共值9角9分,两种硬币各多少枚?



三、拓展提升

1.鸡兔共100只,鸡的脚数比兔少40只,鸡兔各多少只?
2.46人去划船,一共乘坐10条船,其中大船坐7人,小船坐4人,大、小船各多少条?
3.某车棚共停放三轮车和自行车共39辆,两种车轮总和96个,三轮车和自行车各多少辆?

(五) 行程问题
行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题,不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中,都拥有非常重要的地位。行程问题中包括:火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程,等等。每一类问题都有自己的特点,解决方法也有所不同,但是,行程问题无论怎么变化,都离不开“三个量,三个关系”:
        这三个量是:路程(s)、速度(v)、时间(t)

  三个关系:1. 简单行程: 路程 = 速度 × 时间

                          2. 相遇问题: 路程和 = 速度和 × 时间

                          3. 追击问题: 路程差 = 速度差 × 时间

  牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系,就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。
①        追击及遇问题
一、例题与方法指导
例1.        有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个花圃行走,乙、丙二人同方向行走,甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米,乙每分钟走38米,丙每分钟走36米。在途中,甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问:这个花圃的周长是多少米?思路导航:
这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成,题目中所给的条件只有三个人的速度,以及一个“3分钟”的时间。
        第一个相遇:在3分钟的时间里,甲、丙的路程和为(40+36)×3=228(米)        第一个追击:这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里,乙、丙两人的速度差造成的,是逆向的追击过程,可求出甲、乙相遇的时间为228÷ (38-36)=114(分钟)
        第二个相遇:在114分钟里,甲、乙二人一起走完了全程
        所以花圃周长为(40+38)×114=8892(米)
        我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题,使解题思路更加清晰。
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10#
 楼主| 发表于 2012-11-4 01:20:31 | 只看该作者
例2.        东西两地间有一条公路长217.5千米,甲车以每小时25千米的速度从东到西地,1.5小时后,乙车从西地出发,再经过3小时两车还相距15千米。乙车每小时行多少千米?
思路导航:
      
      从图中可以看出,要求乙车每小时行多少千米,关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。
解:(1)甲车一共行多少小时?1.5+3=4.5(小时)
(2)甲车一共行多少千米路程?25×4.5=112.5(千米)
(3)乙车一共行多少千米路程?217.5-112.5=105(千米)
(4)乙车每小时行多少千米? (105-15)÷3=30(千米)
答:乙车每小时行30千米。

        例3.        兄妹二人同时从家里出发到学校去,家与学校相距1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米,妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇,妹妹走了几分钟?相遇处离学校有多少米?
思路导航:
  
从图中可以看出,哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米,两人同时出发,相向而行,哥哥每分钟行200米,妹妹每分钟行80米,经过几分钟相遇?”的问题,解答就容易了。
解:(1)从家到学校的距离的2倍:1400×2=2800(米)
(2)从出发到相遇所需的时间:2800÷(200+80)=10(分)
(3)相遇处到学校的距离:1400-80×10=600(米)
答:从出发到相遇,妹妹走了10分钟,相遇处离学校有600米。

二、巩固训练
        1.        两城市相距328千米,甲、乙两人骑自行车同时从两城出发,相向而行。甲每小时行28千米,乙每小时行22千米,乙在中途修车耽误1小时,然后继续行驶,与甲相遇,求出发到相遇经过多少时间?

分析:如果乙在中途不停车,那么甲、乙两人从出发到相遇共行路程的和:328+22×1=350(千米),两车的速度和:28+22=50(千米/小时),然后根据相遇问题“路程和÷速度和=相遇时间”得 350÷50=7(小时)
  解:(328+22×1)÷(28+22)
  =350÷50
=7(小时)
解法2:
(328-22×1)÷(28+22)
  =300÷50
=6(小时)
6+1=7(小时)

      答:从出发到相遇经过了7小时。

2.        快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,已知快车每小时行40千米,经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇,慢车每小时行多少千米?

分析:

从图中可知:快车3小时行的路程40×3=120千米,比全程的一半多12千米,全程的一半是120-12=108千米。而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千米,所以慢车3小时行的路程是108-12=96千米,由此可以求出慢车的速度。
    解:①甲乙两地路程的一半:40×3-12=108(千米)
         ②慢车3小时行的路程:108-12=96(千米)
③慢车的速度:96÷3=32(千米)
答:慢车每小时行32千米。

3.        小华和小明同时从甲、乙两城相向而行,在离甲城85千米处相遇,到达对方城市后立即以原速沿原路返回,又在离甲城35千米处相遇,两城相距多少千米?


分析:
  
从图上可以看出,小华和小明两人第一次相遇时,行了一个全程,小华行了85千米。当小华和小明第二次相遇时,共行了3个全程,这时小华共行了3个85千米,如果再加上35千米,相当于小华行了2个全程,甲乙两地全长也就可以求出来了。
解:(1)甲乙出发到第二次相遇时,小华共行了多少千米? 85×3=255(千米)
(2)甲乙两城相距多少千米?( 255+35)÷2=290÷2=145(千米)
答:两城相距145千米。


三、拓展提升
1.        客车和货车同时从甲、乙两地相对开出,客车每小时行54千米,货车每小时行48千米,两车相遇后又以原来的速度继续前进,客车到达乙站后立即返回,货车到达甲站后也立即返回,两车再次相遇时,客车比货车多行216千米。求甲乙两站相距多少千米?

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11#
 楼主| 发表于 2012-11-4 01:20:36 | 只看该作者
       
分析      

如图,从出发到第二次相遇时,客车和货车共行3个全程,在这段时间里客车一共比货车多行216千米,客车每小时比货车快54-48=6千米,这样可以求出行3个全程的时间为216÷6=36小时,由此可求出行一个全程时间:36÷3=12小时,因而可以求出甲乙两站的距离。
      解:①从出发到第二次是两车行驶的时间:216÷(54-48)=36(小时)
②从出发到第一次相遇所用的时间:36÷3=12(小时)
   ③甲乙两站的距离:(54+48)×12=1224(千米)
答:求甲乙两站相距1224千米。


2.        甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去,甲、乙两车速度分别为每小时60千米和48千米,有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇。求丙车的速度。
     分析:
  
解答的关键是求出卡车的速度,从图上明显看出,甲车6小时的行程与乙车7小时的行程差正好是卡车的速度。再根据速度和、相遇时间和路程三者之间的关系,求出丙车速度。
     解:(1)卡车的速度:( 60×6-48×7)÷(7-6)=24÷1=24(千米)
(2)AB两地之间的距离:(60+24)×6=504(千米)
(3)丙车与卡车的速度和:504÷8=64(千米)
(4)丙车的速度:64-24=40(千米/小时)
答:丙车的速度每小时40千米。
3.        两列火车从某站相背而行,甲车每小时行58千米,先开出2小时后,车以每小时62千米才开出,乙车开出5小时后,两列火车相距多少千米?


②        火车过桥
    过桥问题也是行程问题的一种。首先要弄清列车通过一座桥是指从车头上桥到车尾离桥。列车过桥的
总路程是桥长加车长,这是解决过桥问题的关键。过桥问题也要用到一般行程问题的基本数量关系:
    过桥问题的一般数量关系是:
因为:                过桥的路程 = 桥长 + 车长  
所以有:通过桥的时间 =(桥长 + 车长)÷车速
车速 = (桥长 + 车长)÷过桥时间
公式的变形:
    桥长 = 车速×过桥时间 — 车长
车长 = 车速×过桥时间 — 桥长
后三个都是根据第二个关系式逆推出的。
火车通过隧道的问题和过桥问题的道理是一样的,也要通过上面的数量关系来解决。

一、例题与方法指导
例1.        一列客车经过南京长江大桥,大桥长6700米,这列客车长100米,火车每分钟行400米,这列客车经过长江大桥需要多少分钟?
思路导航:
                        
    从火车头上桥,到火车尾离桥,这之间是火车通过这座大桥的过程,也就是过桥的路程是桥长 + 车长。通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间。
    (1)过桥路程:6700 + 100 = 6800(米)
    (2)过桥时间:6800÷400 = 17(分)
    答:这列客车通过南京长江大桥需要17分钟。
    例2.                一列火车长160米,全车通过440米的桥需要30秒钟,这列火车每秒行多少米?
思路导航:
    要想求火车过桥的速度,就要知道“过桥的路程”和过桥的时间。
    (1)过桥的路程:160 + 440 = 600(米)
    (2)火车的速度:600÷30 = 20(米)
    答:这列火车每秒行20米。

例3.        某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟,接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟,求这列火车的长度?
思路导航:
    火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒,为什么多用8秒呢?原因是第一个隧道比第二个隧道长360—216 = 144(米),这144米正好和8秒相对应,这样可以求出车速。火车24秒行进的路程包括隧道长和火车长,减去已知的隧道长,就是火车长。
    (1)第一个隧道比第二个长多少米?
    360—216 = 144(米)
    (2)火车通过第一个隧道比第二个多用几秒?
    24—16 = 8(秒)
    (3)火车每秒行多少米?
    144÷8 = 18(米)
    (4)火车24秒行多少米?
    18×24 = 432(米)
    (5)火车长多少米?
    432—360 = 72(米)
答:这列火车长72米。
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12#
 楼主| 发表于 2012-11-4 01:20:41 | 只看该作者

二、巩固训练
            1.        某列火车通过342米的隧道用了23秒,接着通过234米的隧道用了17秒,这列火车与另一列长88米,速度为每秒22米的列车错车而过,问需要几秒钟?
思路导航:
通过前两个已知条件,我们可以求出火车的车速和火车的车身长。
    (342—234)÷(23—17)= 18(米)……车速
    18×23—342 = 72(米)  ……………………车身长
    两车错车是从车头相遇开始,直到两车尾离开才是错车结束,两车错车的总路程是两个车身之和,两车是做相向运动,所以,根据“路程÷速度和 = 相遇时间”,可以求出两车错车需要的时间。
    (72 + 88)÷(18 + 22)= 4(秒)
    答:两车错车而过,需要4秒钟。
2.        一列火车全长265米,每秒行驶25米,全车要通过一座985米长的大桥,问需要多少秒钟?

    (265 + 985)÷25 = 50(秒)
    答:需要50秒钟。

3.        一列长50米的火车,穿过200米长的山洞用了25秒钟,这列火车每秒行多少米?
    (200 + 50)÷25 = 10(米)
    答:这列火车每秒行10米。

三、拓展提升
        1.        一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥,从车头上桥到车尾离桥用了1分钟,求这座桥长多
少米?
    1分 = 60秒
    30×60—240 = 1560(米)
答:这座桥长1560米。

        2.        一列货车全长240米,每秒行驶15米,全车连续通过一条隧道和一座桥,共用40秒钟,桥长150米,
问这条隧道长多少米?
    15×40—240—150 = 210(米)
答:这条隧道长210米。

        3.        一列火车开过一座长1200米的大桥,需要75秒钟,火车以同样的速度开过路旁的电线杆只需15秒钟,求火车长多少米?
    1200÷(75—15)= 20(米)
    20×15 = 300(米)
答:火车长300米。

        4.        在上下行轨道上,两列火车相对开来,一列火车长182米,每秒行18米,另一列火车每秒行17米,两列火车错车而过用了10秒钟,求另一列火车长多少米?
    (18 + 17)×10—182 = 168(米)
答:另一列火车长168米。



(六) 植树问题
只要我们稍加留意,都会看到在马路两旁一般都种有树木。细心观察,这些树木的间距一般都是等距离种植的。路长、间距、棵数之间存在着确定的关系,我们把这种关系叫做“植树问题”。而植树问题,一般又可分为封闭型的和不封闭型的(开放型的)。
封闭型的和不封闭型的植树问题,区别在于间隔数(段数)与棵数的关系:
1、不封闭型的(多为直线上),一般情况为两端植树,如下图所示,其路长、间距、棵数的关系是:
但如果只在一端植树,如右图所示,这时路长、间距、棵数的关系就是:
如果两端都不植树,那么棵数比一端植树还要再少一棵,其路长、间距、棵数的关系就是:
2、封闭型的情况(多为圆周形),如下图所示,那么:


植树问题的三要素:
总路线长、间距(棵距)长、棵数.
只要知道这三个要素中任意两个要素,就可以求出第三个.
植树问题的分类:
  ⑴直线型的植树问题 ⑵封闭型植树问题 ⑶特殊类型的植树问题
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13#
 楼主| 发表于 2012-11-4 01:20:46 | 只看该作者

一、例题与方法指导

例1 有一条公路长1000米,在公路的一侧每隔5米栽一棵垂柳,可种植垂柳多少棵?
思路导航:
每隔5米栽一棵垂柳,即以两棵垂柳之间的距离5米为一段。公路的全长1000米,分成5米一段,那么里包含有1000÷5=200段。由于公路的两端都要求种树,所以要种植的棵数比分成的段数多1,所以,可种植垂柳200+1=201棵。

例2 某一淡水湖的周长1350米,在湖边每隔9米种柳树一株,在两株柳树中间种植2株夹枝桃,可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?
思路导航:
在圆周上植树时,由于可栽的株数等于分成的段数,所以,可栽柳树=1350÷9=150株;由于两株柳树之间等距离地栽株夹枝桃,而间隔数(段数)为150,所以栽夹枝桃的株数=2×150=300株;每隔9米种柳树一株,在两株夹枝桃之间等距地栽2株夹枝桃,这就变成两端都不植树的情形,即2株等距离栽在9米的直线上,不含两端,所以,每两株之间的距离=9÷(2+1)=3(米)。
例3 一条街上,一旁每隔8米有一个广告牌,从头到尾有16个广告牌,现在要进行调整,变成每12米有一个广告牌。那么除了两端的广告牌外,中间还有几个牌不需要移动?
思路导航:
16个广告牌,每相邻的两个广告牌的间隔为8米,则共有16-1=15 个间隔,这条街的总长度为8×15=120(米);现在要调整为每12米一个广告牌,那么不移动的牌离端点的距离一定既是8的倍数,同时也是12的倍数;8×3=12×2=24,也就是说,每24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动;120÷24=5,即段数为5个,但要扣除两端的2个,所以,中间不需要移动的有5-1=4个。
事实上,所谓植树问题只是我们对这一种类型问题的总称,并不单指植树问题。例如,与之类似的还有爬楼(梯)问题、队列问题、敲钟问题、锯木头问题的等。所以,植树问题又称上楼梯问题。

二、巩固训练

1 某人要到一座高层楼的第8层办事,不巧停电,电梯停开。如果他从1层走到4层需要48秒,请问以同样的速度走到八层,还需要多少秒?
思路导航::
要求还需要多少秒才能到达,必须先求出上一层楼梯需要几秒,并且知道从4楼走到8楼共需要走几层楼梯。从1层走到4层,事实所爬的层数只是4-1=3层,所以上一层楼梯需要的时间是48÷(4-1)=16(秒);又,从4楼走到8楼共需走8-4=4层楼梯,所以还需要的时间是16×4=64秒。
2 光华路小学三年级学生有125人参加运动会入场式,他们每5人一行,前后每行间隔为2米,主席台长42米,他们以每分钟45米的速度通过主席台需要多少分钟?
思路导航::
125人参加运动会入场式,每5人一行,共排了125÷5=25行,那么这里25行就相当于直线上的25棵树,所以,这列队的长度为两端植树的路的长度,全长是2×(25-1)=48米;这列队伍通过主席台,所走的总路程应该是队伍长度与主席台长度之和,即:48+42=90米,所以,他们通过主席台的时间是90÷45=2分钟。
3 下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形,它的长度是多少?十个这样的铁环连在一起有多长?
思路导航::
根据上图所示,要求出它的总长度是多少,关键是求出重叠部分需要扣除的长度。每一个铁环的厚度为6毫米,注意到重叠部分,后面连上的铁环将有2个厚度是重叠的,也就是说实际每加一个铁环所延伸的长度为4厘米-2×6毫米=40毫米-12毫米=28毫米; 根据我们前面所讲的植树问题,五个铁环连在一起,“环扣”数为5-1=4(个),所以,五个大小相同的铁环连在一起时,总长度为40+4×28=152(毫米)。同理,十个铁环连在一起的长度为40+ (10-1) ×28=292(毫米)。
4 一个木工把一根长24米的木条锯成了3米长的小段,每锯断一次要用5分钟,共需多少分钟?
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要求需要的时间,我们就要弄清楚共需锯几次。24米长的木条里面包含有24÷3=8个3米,8段有8-1=7个间隔,即木工只需锯7次,那么,每次5分钟,一共需要用时5×7=35分钟。


三、能力提升
1 一个街心花园如下图所示,它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花。问大三角形边上栽有多少棵花?整个花园中共栽多少棵花?

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由题意可知,大三角形的边长是小三角形边长的2倍,因为每个小三角形的边上均匀栽9株, 而大三角形的每条边由两个小三角形的边重叠一个顶点而成,所以,大三角形的每条边上栽的棵数为:9×2-1=17棵;又大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的,所以,大三角形三条边上共栽花:(17-1)×3=48棵;再看图中间的阴影小三角形,每边所栽花的棵数就是一个两端不种树的植树问题,所以小三角形每条边上栽花的棵数为9-2=7棵,中间共栽花:7×3=21棵,所以,整个花坛共栽花:48+21=69棵。

2 时钟4点敲4下,用12秒敲完。那么6点钟敲6下,几秒钟敲完?

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4点钟敲4下,共12秒,而4下中间有3个间隔,说明每一个间隔的秒数为12÷(4-1)=4秒;12点敲12下,中间有11个间隔,所以一共需要4×(12-1)=44秒敲完。

3 铁路旁每隔50米有一根电线杆,某旅客为了计算火车速度,测量出从经过第1根电线杆起到经过第37根电线杆止共用了2分。火车的速度是多少?
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从第1根电线杆起到第37根电线杆,共有37-1=36个间隔;每隔50米有一根电线杆,也就是说间隔为50米;那么,行使的总路程为:50×(37-1)=1800米;2分钟=2×60秒=120秒,共行1800米,所以,火车速度为:1800÷120=15米/秒。
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 楼主| 发表于 2012-11-4 01:20:51 | 只看该作者

(七) 有趣的数阵图
把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图,即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法,我们举例说明.

一、例题与方法指导
例1.        在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数(其中已填好一个数),使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21。

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由上一讲例4知中间方格中的数为7。再设右下角的数为x,然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21,如下图所示填上各数(含x)。

  因为九个数都不大于12,由16-x≤12知4≤x,由x+2≤12知x≤10,即4≤x≤10。考虑到5,7,9已填好,所以x只能取4,6,8或10。经验证,当x=6或8时,九个数中均有两个数相同,不合题意;当x=4或10时可得两个解(见下图)。这两个解实际上一样,只是方向不同而已。
 
例2.        将九个数填入下图的空格中,使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等,则一定有

证明:         
思路导航:
设中心数为d。由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d。由此计算出第一行中间的数为2d——b,右下角的数为2d-c(见下图)。

  根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到
  3d-c-(2d-b)=3d-a-(2d-c),
  3d-c-2d+b=3d-a-2d+c,
  d——c+b=d——a+c,
  2c=a+b,
  a+b
  c=2。
  值得注意的是,这个结论对于a和b并没有什么限制,可以是自然数,也可以是分数、小数;可以相同,也可以不同。
例3.        在下页右上图的空格中填入七个自然数,使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90。

思路导航:
由上一讲例4知,中心数为90÷3=30;由本讲例2知,右上角的数为(23+57)÷2=40(见左下图)。其它数依次可填(见右下图)。

例4.        在右图的每个空格中填入个自然数,使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等。

思路导航:
由例2知,右下角的数为

  (8+10)÷2=9;由上一讲例4知,中心数为(5+9)÷2=7(见左下图),且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21。由此可得如图的填法。

二、巩固训练
  1. 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和相等.
                  




2. 把1~8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等.






3. 把1~9个数分别填入○中,使每条边上四个数的和相等.






4. 把1~10填入图中,使五条边上三个○内的数的和相等.






    5. 将1~8个数分别填入图中,使每个圆圈上五个数和分别为20,21,22.
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