反例使用贵在“巧妙”

李云

反例是与正例相对立的，是教学中不可缺少的认识对象，也是学生认知建构中常常出现的中间形态。我们不能单靠正面示范和反复练习纠正去避免学生的错误。没有反例的衬托，正确的知识不易凸现，学生对知识的理解就不易到位。小学数学课堂教学对于反例使用，贵在巧妙。只有巧妙使用，反例才能对学生的智力活动起到定向纠错、提炼升华的作用。“巧”用反例，防患未然，能使学生激活思维，豁然开朗，形成鲜明的正确印象。

    1．巧用反例，明析概念。

    概念是小学数学中最为基础的知识。教学概念时，不但要辻学生弄清“是什么”，还要搞通“不是什么”。巧用典型、生动、直观的反例，对易于模糊的概念进行比较、辨析，才能形成清晰的认识。循环小数概念中的“依次不断，重复出现”这两个关键的词语缺——不可。帮助学生正确理解这个概念，可以举出类似下面的反例：0.200820082008，3.14159265358979……。经过辨析学生认识到，第一个虽然“192重复出现”，但并没有“依次不断”；第二个虽然小数位“依次不断”，但并没有“重复出现”一个或几个数字，因此都不是循环小数。通过这样两个反例，往往可以加深学生对循环小数概念内涵的理解，使学生清晰知道“依次不断，重复出现”这两个条件必须同时满足。再如：用反例可以突出方程定义中“是等式”和“含有未知数”这两个条件；平行四边形定义中“没有交点”和“在同一平面内”这两个条件。

  2．巧用反例，引导发现。

    教学中，巧用反例，不但可以使学生发现错误和漏洞，而且可以从反例中受到启发，自主发现，从而获得正确的结论。“分数能否化成有限小数”这一教学内容，学生往往忽略“最简分数”这一重要前提。教学中我有意设计“陷阱”，强化印象。教完例题后，引导学生通过观察分母、分解质因数，逐步归纳出：分母除了2和5以外，不含有其它质因数的分数能化成有限小数；否则，这个分数就不能化成有限小数。然后，我让学生回答：下列分数哪些能化成有限小数，哪些能化成无限小数?为什么?1/5，3/8，5/11，6/13。在前述练习的基础上，我再让学生判断9/15和9/18能否化成有限小数。学生毫不迟疑地作出判断：这两个分数都不能化成有限小数!这时，我并不急于纠错，而是让学生自己去验证。当学生发现通过约分化简得到9/15=3/5，9/18=1/2，都是有限小数时，他们发生了疑惑，想知道自己总结出的结论为什么错了。这时教师让学生将检验猜想时能通过的分数和出现矛盾的分数分为两类，研究这两类分数的差异，从而找到修改猜想的方法。对“最简分数”这一前提学生就会印象深刻，以后就不易再出错了。这里的反例能够引起认知矛盾，促使学生积极思维，在认知冲突中使所学知识得以完善。

    3．巧用反例，深化理解。

    恰当的反例能从另外一个侧面理解概念或规则的本质，弥补正面教学的不足。例如，学习“等腰直角三角形”时，等腰直角三角形的内涵丰富，由“两边相等”、“有一个角是直角”、“是三角形”三个属性组成。一些学生学习后，不是丢了“等腰”，就是忘了“直角”，有的甚至丢了三角形三条边“首尾相连”的性质。对此要适当举出反例，如把等腰三角形与等腰直角三角形及时比较，凸现“直角”，否定错误的认识。另外，“等腰”“首尾相连”等性质亦可如是强调。因此，当学生对内涵丰富的知识感知不全时，可通过列举数学反例，突显出所学知识中易为学生忽视的本质属性，促进学生对所学知识的全面认识，深刻理解。

4．巧用反例，突破难点。

退位减法，难点是哪一位不够减，就从前一位退一当十再减，学生很容易发生习惯性退一或退一后仍用原数相减等问题。为了突破这个难点，可以构思、设置这样的一组反例，故意让学生找一个正确的竖式(都是错例，然后由学生诊断，再集体订正)：



    这种情况下，学生通常会因为自身对“退位减法”理解不深而真的找出一个认为正确的题目，三题都会有人误认为是对的。这时，我并不急于一一纠错，而是让学生自己去验证。当结果都错时，他们有的已知其所以然，有的还感疑惑，强烈想知道自己错在哪儿了，此时教师不说学生也会相互指正了。找“错”的过程，学生启然会去辨别，去思考该怎样退位的问题，三个反例的三个方面能使学生更深刻、全面的理解退位减法的本质，熟悉计算的方法。巧用反例，引发学生积极思维，在逐步的矛盾冲突中使学生对退位减法掌握趋于全面。

    5．巧用反例，打破消极思维定势。

    教学“比多比少”的实际问题，学生往往见“多”就加，见“少”就减，形成思维定势。在对比教学中，我们可以用实物或画示意图强化数量关系的分析，使学生理解为什么要加，为什么要减。破除学生“见多就加”的思维定势，为引导学生从分析数量关系人手来解决实际问题创造条件。如果教师能在习题教学中有意识地对学生进行常见反例的识别训练，对提高学生的思维能力和辨别能力，使之从全面地分析数量关系人手，

正确判断算法无疑是有帮助的。

在“整数加减法简便运算”教学中，由于学生对“先乘除，后加减”的误解，或者由于对简算题的某些数据特别敏感，只要看到题中的数据稍有联系，常常不管三七二十一就急于简算。在复习课上我出了这样两道诱误题：①2000÷125×8；②1/4×4÷1/4× 4让同学们练习，不出所料，很多同学贪图简便很快就得出了两题答案分别是2和1。随即我让人把过程板书于黑板，这下引来了争议，于是我便抓住契机，让他们讨论准是谁非，理由是什么?经过探讨争辩，大家得出了一致的结论：原来是顺序弄错了，进而我又让学生们把题①中的“×”改成“÷”，把题②中“÷”前后的14×4都加上小括号，这样成了两条简算题，同时也得出了原题的正确结果。在整个过程中同学们通过计算讨论，弄懂了做计算题也需认真审题，不能轻易“见宝就押”。

数学教学不仅应从正面讲清概念，性质，法则，公式等基础知识，认清知识的正面形态；还应从反面诱导学生弄清易于混淆和失误之处，使之在反例的“牛痘”接种下，增强认知的免疫功能才能牢固掌握知识，加深对数学的理解。

小学数学课堂教学，适时地引进一些反例，恰当地引导学生从反例中构建，能促使学生在不断辩证中深化、完善数学概念的认知结构，提高学生分析理解知识以及正确判断、运用的能力。